多元表征理論指引下的解題教學——淺談對高三復習中審題的認知分析

崔佳方

（江蘇省蘇州實驗中學）

崔佳方

（江蘇省蘇州實驗中學）

數學教學很大程度上就是問題解決的教學，尤其是高三復習階段的教學。在現今的高考模式下，很多學校都安排一整個學年（甚至更長時間）進行復習，都很注重夯實基礎知識，通過大量訓練促進思想方法的領悟，但是效果總有不盡如人意的地方。常常出現反復練、反復講的題目隔了一段時間又不會的現象，碰到稍微新一點的題目又往往手足無措。究其原因，一方面是基礎知識思想方法掌握的欠缺，另一方面是學生對數學問題的理解認識不到位，也就是審題方面出了問題。這兩方面都是與學生對數學對象的認知程度的深淺有密切關聯的，前者依賴于對概念的合理表征從而形成深刻系統的知識結構及方法體系，后者側重于根據已有的知識經驗對數學命題進行意象的多元建構及靈活選擇，從而發現解題思路。本文就這兩個方面結合筆者在教學實踐中的體會作一些探討，希望能夠拋磚引玉。

一、概念的多元表征促進思想方法的滲透

數學中的問題都是圍繞概念構成的，要想深入理解問題，必須先對題中的關鍵概念進行合理表征。而實際上，在大多數情況下數學概念的內在表征又并非相應的嚴格定義，而是一種由多種成分組成的復合物，包括相應的心智圖象，對其性質及相關過程的記憶以及具體的例子等。因此，教師應最大限度地喚醒學生頭腦中的這些意象，并根據題目的要求引導學生對不同的心理表征進行聯系轉換，幫助學生形成科學嚴謹的思考方式，滲透數學思想方法。

案例1：已知函數y=ax2－x－1 只有一個零點，求實數a 的取值范圍。

高中數學中函數零點的嚴格定義是這樣的：一般地，對于函數y=（fx），我們把方程（fx）=0 的實數根x 叫作函數y=（fx）的零點。即函數的零點就是使函數值為0 的自變量的值。學生在剛學這個內容時，已經形成了一些感性的認識，容易引起誤解的是很多人把零點看成函數圖象與x 軸的交點，這是定勢思維所帶來的不良影響，但通過后續的學習和老師的強調，會糾正這個錯誤，在他們的頭腦中會形成一個穩定的印象，零點不是點，而是函數圖象與x 軸交點的橫坐標，這是圖形的觀念，另一方面，要求出這個坐標，必須解相應的方程，即（fx）=0 的根，這是數的觀念。從圖形角度來研究，討論該函數的圖象形狀（直線或拋物線）、開口方向，結合圖象過定點（0，-1），可知有三種情形：a＞0 時，不合題意；a=0 時成立；a＜0 時，Δ=0，得a=-。從方程角度來研究，a=0 時一次方程只有一根符合題意，a≠0 時，二次方程有兩重根，即Δ=0。這也充分體現了函數與方程的密切聯系，滲透了數形結合的思想。此外，從代數角度而言，方程可以作很多同解變形，可以等價轉化為其他的等式形式，如ax2=x+1，a=，前者的幾何意義是動曲線和定直線交點的橫坐標，后者的幾何意義是動直線與定曲線的交點橫坐標，通過代數形式的轉化，使得函數零點的身份從函數曲線與x 軸的交點橫坐標推廣到一般意義下兩個函數圖象交點的橫坐標，極大地豐富了零點概念的內涵和外延，同時也滲透了數形結合、化歸、轉化等數學思想方法。

由此可見，通過對概念間的不同表征成分的分析聯系轉換，幫助學生用發展的觀點看待靜止的概念，使得枯燥單調的數學概念變得“鮮活”起來；用聯系的眼光去整合學生已有的知識經驗和新學的概念，形成更高水平的知識建構，這樣的學習才是生動活潑的，才是意義長遠的。

二、數學命題的合理表征培養思維的深刻性

在高三教學中，經常會出現一講就懂、一考就懵的情形，這就說明很多學生對知識技能基本掌握，但遇到問題時，不太會分析題意，往往審題不清，陷入迷茫境地。那么如何審題，也就是如何對數學命題進行表征是至關重要的。學生必須先細致全面地掌握問題的條件和結論，分析題目的結構特征，才能通過聯想激活已有的知識和經驗，探索解題的思路。

案例2：設不等式mx2-2x-m+1＜0 對于滿足-2≤m≤2 的m 值都成立，求x 的取值范圍。這是一個常見的主元轉換的問題，解法也很簡單，但學生往往不易掌握，可能會記住解法，短時間內進行模仿操作，時間一長就容易遺忘。從表征理論來看，教師應引導學生對題目形成一些初步的認識。

（1）這是一個不等式恒成立問題。

（2）m 在區間［-2，2］上變化，即m 可以是區間［-2，2］上的任意一個值。

接下來關鍵是對m 與x 的關系進行研究，當x 取某個值時，命題成立等價于m 取遍［-2，2］上的任意一個實數時，不等式恒成立，從而有了更深的認識。

（3）相對m 變化時，x 是不變的。（即參量為x，變量為m）

（4）mx2-2x-m+1 是m 的函數。令f（m）=mx2-2x-m+1，即f（m）＜0 在-2≤m≤2 時恒成立，求參數x 的取值范圍。

至此，本題的難點得到突破，問題的本質得以揭示，但從幫助學生達到更高思維活動水平這個角度來看，我們還可以從已有的知識經驗中激發聯想出更豐富的表征形式。

（5）問題符號化表征為?m∈［-2，2］，f（m）＜0 是一個全稱命題，如何將無數個f（m）與0 進行比較，這使得我們很容易聯想到圖象這個表征方式，由此得到f（m）的圖象是一條線段這個事實，從而形成最簡的解法

（6）與已有的活動經驗相聯系，這樣的題目是很常見的，如?x∈［-2，2］，mx2-2x-m+1＜0 恒成立，求m 的取值范圍。

通過比較對照，可以發現變量與常量的確立不是由字母形式確定的，而是由給出范圍的字母確定的，從而突出了這類題的本質，強化了主元思想。

通過這些有序展開的認識活動，我們可以發現在審題時對問題作出的表征會直接影響問題解決的方式和難易程度。因此，從問題的特點出發，合理地對問題作出表征，通過各種形式的表述，逼近問題的本質，才能真正高效地解決問題。而我們遇到的數學問題，大部分都是用符號語言來表述的，這也是由數學學科的高度抽象性所決定的，所以我們要做的就是對數學符號進行準確的翻譯和理解，化抽象為具體直觀，可能剛開始這樣的翻譯是模糊的、不嚴格的、不精確的，甚至有所偏差，但是通過一次次嘗試自覺反思可以找到解題的正軌，如上面案例中“mx2-2x-m+1＜0 對于滿足-2≤m≤2 的m 值都成立”，我們可以嘗試對這個問題的一般性進行具體化，可以對m 在-2≤m≤2 時取幾個值，得到具體的幾個關于x的不等式，發現最終的某個x 值要符合要求必須滿足無數個不等式，也就是m 在-2≤m≤2 時任取一值時對應的這些不等式，從而發現相對m 變化時，x 是不變的，也就確立了m 為主元的思想。很多時候我們都可以對復雜抽象的問題進行具體化、特殊化，雖然有時不太嚴謹，但對我們發現問題本來的面貌，進而得到解題的突破口是大有幫助的。另一方面，學生對同一問題的表征是很個性化的，他們往往會根據自身的知識經驗對問題進行重組和整理，教師要引導他們對問題信息和已有經驗進行合理的聯系、科學的整合，幫助他們超越原有的知識經驗，建構更高水平的知識結構。這些過程同時也極大地豐富了學生在學習中的思維活動，有效地提高了學生的思維能力。

高中數學課堂教學本質就是基于問題解決的教學，高三階段的復習尤其如此，要讓學生掌握知識，更要幫助學生靈活運用知識解決問題，形成科學的思維方法，這對學生實現短期目標以及長遠發展都是很重要的。而達成這一目標的教學載體就是對數學對象的合理表征，這也是學習活動的起點，不管是概念的表征還是命題表征，我們要旨在多元化的表述問題，在聯系中研究，在比較中感悟，全方位、多角度地思考問題，有效培養學生的求異創新思維，提升學生的數學能力和素養。

鄭毓信.多元表征理論與概念教學［J］.中學數學教學參考，2011.