淺談函數的基本性質的應用

吳加火

（福建省大田縣第一中學）

函數簡單的理解就是一個量隨著另一個量的變化而變化，函數的性質可以簡單地分為函數的單調性、對稱性、周期性三個基本性質。

一、函數的單調性

函數的單調性，反應的就是函數圖象的走勢，是學習函數最基本的函數基礎，而在學習與考試中則是比較函數的大小，解不等式與求最值。這是函數單調性應用最多的幾種題型，例如：已知函數f（x）對任意x,y∈R均滿足：f（x+y）=f（x）+f（y）；f（1）=2；當且僅當x＜0時，f（x）＜0，求：當-3≤x≤3時，求f（x）的最大值與最小值。

解：在方程f（x+y）=f（x）+f（y）中取x=0，y=0，可得f0=0，取y=-x，可得f（x）=-f（-x），即函數f（x）是奇函數，在f（x）的定義域R內任取x1，x2，使x1＜x2，即x1-x2＜0則f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）＜0，故f（x）在定義域R內是單調遞增函數，因為f（1）=2，所以f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=6，f（-3）=-f（3）=-6，故當-3≤x≤3求f（x）的最大值為6，最小值-6。這就是一道經典的對函數單調性理解的利用而對于函數的單調性的判斷一般通過函數的四則運算最終實現。

二、函數的對稱性

函數的對稱性可以理解為函數圖象的對稱性以及奇偶函數的對稱性。函數圖象的對稱性一般我們定義為若函數y=f（x）的圖象有兩條垂直對稱軸x=a和x=b（a不等于b）,那么f（x）為周期函數，2|a-b|是它的一個周期。若函數y=f（x）的圖象有一個對稱中心M（m，n）和一條垂直對稱軸x=a，那么f（x）為周期函數，且4|a-m|為它的一個周期。若一個函數的反函數是它本身，那么它的圖象關于直線y=x對稱。奇偶函數的性質則可以簡單地說奇加減奇為偶，偶加減偶為偶，奇乘奇乘為偶，偶乘偶為偶。

三、函數的周性

函數的周期性反映的是函數的重復性，如果函數存在一個非零數使得當定義域內的每一個值時都成立，那么就把函數叫做周期函數，非零常數叫做這個函數的周期。在了解函數的性質后，從而應用到函數有關的題目中，在解決負數求證時都將用到函數的周期性的基本性質。

孫宜新.函數的基本性質的解題中的應用［J］.數學愛好者，2006（02）.