高中函數的分析報告

陶 華

（常州市北郊高級中學）

函數是實際生活中的重要模型，也是中學數學中的基本概念.函數常是高考的出題重點，占40分左右，難度大.理清高中函數的概念、常見題型、出題意圖或許可以幫助我們深入理解函數，學好函數.

一、函數的概念

設A，B是兩個非空的數集，如果按某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應，那么這樣的對應叫做從A到B的一個函數，通常記為y=f（x），x∈A.這是高中數學中對函數的定義，從集合、對應出發來描述兩個變量之間的依賴關系.

高中階段主要討論五大基本初等函數，即常函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數，像反三角函數、狄利克雷函數等賞析即可.高中函數以二次函數為核心展開函數的學習，涉及三次函數、分式型函數、含絕對值的函數、y=ex、y=lnx、y=x+等.對于函數的性質，以單調性為主，涉及奇偶性和周期性，不討論凹凸性等.

二、常見函數題型

以江蘇高考為例，填空題主要考查分段函數、函數的性質、函數的零點等，大多為求值、求參數范圍類題型，指對冪一般考查概念的理解，以運算為主，一般是2～3題.解答題一般是2題，一道函數應用題，一道導數題，以函數的單調性為出發點，利用函數的圖象，研究函數的最值、極值、零點等.壓軸題大多是函數和其他知識點的綜合，比如數列.解答題中學生經常忽視定義域，導致錯誤.

解題方法靈活，其中特殊值法在填空題中優勢明顯，在解答題中可以給出解題方向.函數解題中務必抓住兩大“工具”：數形結合和分類討論.

三、常見出題意圖

1.函數本身

考查函數的概念、基本性質、函數的圖象、函數與方程，一般是5分的填空題，難度不大.比如2012年第5題考查定義域，2013年第11題考查奇函數的性質與圖象，從函數的本身出題，注重考查基礎知識和基本技能.

2.函數與其他結合

解答題中的壓軸題一般是函數與其他知識點的結合，比如導數、不等式、數列等.利用導數研究函數的單調性與極值是必出題，通常是16分的解答題.以2015年第19題為例，考查三次函數的單調性、圖象、零點.第（1）問需對參數a進行三種情況討論，難度不大，注意答題規范.第（2）問同樣是受到參數a的“阻礙”，先轉化條件，由已知函數有三個不同的零點，可知極大值為正，極小值為負；然后確定a為主元，討論關于a的函數在特定范圍恒成立問題.

3.實際問題

函數應用題以實際問題為背景，利用數學工具解決實際問題.高中主要是考查一些基本的數學模型，學會運用函數思想理解和處理現實生活中的簡單問題，培養學生的邏輯性思維能力和數學建模能力.2015年江蘇卷以山區修路為背景，處理利用導數求函數的最值問題.

四、總結分析

江蘇高考說明中函數部分雖然無C級要求，但高考中比重大，不容小覷.在高中數學的學習中，（1）多畫圖，函數的圖象和性質緊密相連；（2）分清變量與參數，進行討論.這兩點正是數形結合和分類討論兩大數學思想的體現.（3）導數要過關，答題格式要規范，注意步驟完整.（4）加強函數應用題的審題環節，將文字語言轉化為數學符號，建立正確的函數關系，提高數學建模能力.

楊歡濤.高中數學函數教學的幾點關注［J］.數學學習與研究，2015（01）：52.