遵循認知規律 關注思維發展

趙國防

[摘 要]小學階段的分數認識分兩個階段來進行，其原因何在？分數的再認識究竟認識些什么？認識到何種地步為最佳？結合對分數教學的實踐與研究，對上述問題做出簡要的梳理與回答。

[關鍵詞]分數 學生 認識 思維 活動

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）20-015

在小學階段，分數的認識一共出現了兩次，即三年級上學期一次、五年級下學期一次。為何這樣編排？兩次認識的聯系與區別又有哪些？特別是相隔兩年之后的再次認識，究竟要再度認識些什么？再度認識到何種程度為最佳？……一系列問題值得思考。通過研究和教學實踐，我慢慢對上述問題有了答案，現把自己不成熟的認識呈現出來，討教于各位。

思索：緣何分兩次來認識分數

分數的認識，之所以分兩個階段來進行，筆者以為有兩個基本原因：一是學生認知的需要；二是學生思維訓練的需要。

1.認知的需要：學生深入學習需要充分認識分數

在三年級學生初步認識分數之后，不同版本的教材都在五年級再次安排認識分數的相關內容。人教版小學五年級數學下冊第60～64頁“分數的意義”；新世紀版小學數學五年級上冊第34～36頁“分數的再認識”；蘇教版小學數學五年級下冊第36～37頁“認識分數”。在西南師大版、青島版、河北版的五年級下冊小學數學教材中也都安排了“分數的意義”這一學習內容。為什么要這樣安排呢？從學生的認知需求來看，需要聚焦知識點間的網絡聯系。

從縱向來看，分數的再認識是在學生初步認識分數的基礎上進行教學的，同時它更是學生進一步學習分數基本性質、約分、通分乃至分數的加減法等后續知識的基礎，具有承前啟后的關鍵作用。從橫向來看，分數的認識和小數的認識與計算、百分數的認識交織在一起。三年級上學期先初步認識了分數，然后在下學期才開始了小數的認識，這與小數是分數的一種特殊形式這一特性是分不開的。同時，在充分認識分數的基礎上，再來認識百分數，這也與分數與百分數的聯系（即百分數是分數的一種特殊形式）是分不開的。從這個意義上講，充分認識好分數，既是對小數認識與理解的一個補充與提升，更是百分數教學的基礎。可見，分數的再認識便是基于學生認知需要而設置的。

2.思維訓練的需要：分數的再認識中有高強度的思維訓練

三年級學生初步認識分數，這是他們學習生涯中第一次接觸分數，所以，此時的認識，僅僅是初步的感知，即在學生對分數的生活化感知的基礎上，進行最初步的數學化的整理和概括。內容涉及“幾分之一”的認識，了解它的產生和應用，會讀會寫簡單的分數，知道分數各部分名稱，會進行簡單的分數大小比較。所以，本次認識基本建立在分數“是什么”的基礎之上，而至于“為什么”那要靠五年級的分數的再認識來解決。同時，分數所反映的是部分與整體或一部分與另一部分之間的關系，而且與整數不同的是要用一對數來表示一個數，一個數作分子，一個數作分母。因此分數的概念比整數的概念更抽象。分數的再認識，有助于發展學生的抽象思維能力。

分數，源于分，形成于數。也就是說，分數的產生源于分物。據資料記載，“隨著生產、生活的需要，人們發現，僅僅靠自然數是遠遠不行的。如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人該得多少呢？于是分數就產生了。中國對分數的研究比歐洲早1400多年！”可見，分數源于分物，所分對象和具體分的情況，決定著分數的大小和它所表達的部分的實際大小。所以，研究分數，需要首先建立在對分的對象的討論。在三年級，分的對象僅僅是一個物體、一個計量單位，而到了五年級的再度認識分數，所分對象卻成了“一些物體”的“一個整體”。在這種情況下理解分數，便是學生認識與思維的“質”的飛躍，其間包含了高強度的思維訓練。例如，6個桃子的1/2是3個桃子，而8個桃子的1 / 2卻是4個桃子。同樣是表達單位“1”的，為何所表示的實際數量會有所不同？通過分數的再認識，必將會讓學生感受到單位“1”的實際數量不同，它的1 / 2所表達的數量也會有所不同。這其間，不僅融入了對分數意義、單位“1”的深度理解，更讓學生經歷著高強度的思維訓練。

探析：究竟要再度認識些什么

基于學生三年級對分數有了初步的認識，那么五年級的再認識，筆者認為主要認識以下幾點。

1.認識單位“1”

前面談到，分數起源于分物，那么分的對象（單位“1”）和分的方法（平均分），便成了認識分數的前提和基礎。學生只有能充分認識和把握所分對象（尤其是多個物體組成的一個整體），才能為下一步用分數表達提供可能。尤其是讓學生感受到單位“1”不僅可以表示一個物體，還可以表示一些物體，這一點至關重要。當然，這里并非需要大動干戈，花費很多的時間與精力來認識單位“1”，但是，這是一個前提，是一個基礎。

2.理解分數的意義

分數意義的理解，不同的教師可能會采用不同的教學方式，但無論哪種方式，最終都將指向分數的本質含義。我認為，分數的意義是寬泛的，而并非僅僅是“把單位‘1平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數叫分數。”尤其是到了高年級，在圍繞分數進行的計算和解決問題的過程中，分數的寬泛內涵便會充分顯現出來。例如，有這樣一個題目：1噸煤，用去1 / 2，還剩多少？有的學生回答“1 / 2噸”，而有的學生卻回答“1 / 2”。他們各有自己的理由，前者說：“1噸煤，用了一半，就剩下半噸，也就是1 / 2噸。”后者說：“1噸煤看作單位‘1，用去1 / 2，一定還剩1 / 2。”在此暫不探討問題“還剩多少？”的完整性和科學性，先從學生的回答來看他們的理解，他們已經完全接納了分數的深層含義，即表示“量”和“率”。我認為，“量”和“率”是分數意義的根本所在。張丹教授在《小學數學教學策略》一書中指出：結合國內外已有的研究成果和自己的研究實踐，我們認為對分數意義的理解應關注以下兩個基本維度和四個具體方面：

在“比的維度”和“數的維度”兩個基本維度之下，可以從四個方面來完成對分數豐富性的認識，即比率、度量、運作和商。“比率”指的是部分與整體的關系或部分與部分的關系。“度量”指的是可以將分數理解為分數單位的累積。“運作”指的是將對分數的認識轉化為一個運算的過程。“商”主要指分數轉化為除法之后運算的過程，它使學生對分數的認識由“過程”凝聚到“對象”，即分數也是一個數，也和其他數一樣進行運算。

由此看來，對分數意義的理解理應沖破“表達部分與整體關系的數”的局限，從更多的角度來認識分數，理解分數。

3.認識分子、分母所表示的意義

對分子、分母所表示意義的理解，看似簡單，但其中卻滲透了分數產生的過程，即把單位“1”平均分的份數作分母，取了其中的份數作分子。學生在“分”的過程中，表達他們的理解，而并非需要去死記硬背。在“分”中“說”，在“說”中“悟”。

4.認識分數單位

分數單位的認識，也是“分數的再認識”所應關注的重要內容。華羅庚先生曾經說過：“數起源于數，量起源于量。”度量可以很好地將分數理解為分數單位的累積。從“度量”的角度來看，分數是若干個分數單位的“累積”。從這個角度來認識分數，可以更加貼近分數的實質，更加便于學生理解分數的“來龍去脈”。因此，引導學生在豐富多彩的數學活動中，從“度量”的角度來感受和認識分數，這是二次認識分數的重要內容，更是引領學生多角度認識事物的一種訓練，一種提升。

5.感受分數之魅力

分數的教學，盡管屬于概念教學，但我們應完全超越概念教學的范疇，從哲學的角度，審視學生學習的全過程，滲透辯證思想。尤其是在認識單位“1”的過程中，可創設多種生動、活潑的情景，讓學生充分感知單位“1”的神奇與偉大，它可以表示1個蘋果，可以表示5車西瓜，還可以表示整個地球……同時，在認識分數之時，可以讓學生體會相同分數在不同情境中的不同表達。

追問：對分數再度認識到何種程度為最佳

對分數的再度認識，究竟認識到什么地步才算達到目標呢？筆者認為，只要具備以下“三會”便足以證明學生真正學好了。

1.會舉例

面對分數的意義——“把單位‘1平均分成若干份，表示這樣一份或者幾份的數，叫做分數。”這句話，有的學生可能理解了就是說不上來，也有的學生雖背熟了但不理解。面對這種情況，我認為，拋開這句話的闡述，而放手讓學生舉例。“會舉例子，就說明他真正理解了……”郜舒竹先生曾這樣講過。“舉例”和“理解”真的有如此之緊密的因果關系嗎？在不便于直接闡述概念之時，在學生無法用語言表述自己的理解之時，不妨讓他們舉例子說明。應盡量給學生空間，讓他們多舉例子，通過舉例闡釋自己的思考，表達自己的理解。

2.會應用

評價學生對分數意義的理解情況，一個很重要的方式便是看其是否會靈活應用。例如，在“分數的意義”一課中，我設計了這樣一個練習。

寫一寫：看到右圖，你能寫出幾個分數？試一試，并分別說一說每個分數所表示的意義。

學生都寫出了很多分數，并能對自己的分數一一作出說明。在這樣的過程中，學生就是“會應用”了，他們經歷了一個個“思考（觀察、分析）——呈現（應用）——表達（反思）”的過程。學生寫出的分數豐富多彩，他們的表達更是出乎人的意料。有個學生說道：“我寫了五分之一。這些彩筆一共有五種顏色，每一種顏色占這五種顏色的五分之一。”你看，這樣的孩子，他已經超越了數量的范疇，跨越了時空，在他眼前，就是五種顏色的存在，其中每種色，就是它們的五分之一。這樣的孩子，他們對分數的理解一定很深刻，很獨到。

3.會思考

學生能結合分數學習的過程，形成和完善自己的思考系統，能用辯證的眼光看待周圍的事物，思考生活與學習中的問題。

例如在“分數的意義”一課的最后，我設計了“玩一玩”這樣一個小游戲：把全班學生分成了人數不等的小組，然后我發出如下指令：“想辦法，表示你們是一個‘整體。”學生很快就找到合適的方式來表現，如牽成一個圓圈或站成一排等。再發指令：“蹲下總人數的二分之一。” “蹲下剩下的人數的二分之一。”這時，有些小組的學生已無法表達，有的學生居然采取“半蹲”的方式，表達著他們對“1 / 2”的理解。學生都積極參與，都在用自己的方式表達著自己的理解，就拿“半蹲”來說，雖不夠規范，不夠準確，但卻流露出了學生獨到的思考方式和他們對分數意義的深刻理解。我接著提問：“同樣是蹲下二分之一，為何每個小組蹲下的人數不同呢？”“就每個小組來說，每次同樣是蹲下二分之一，但為何每次蹲下的人數卻又不同呢？”學生議論紛紛，很快談出了他們的想法。兩個問題，引發學生進一步悟得：同一個分數，在不同數量的單位“1”中所表達的實際數量會有所不同。隨著單位“1”數量的變化，同一個分數所表示的具體數量也在發生變化。在活動中，學生會思考了，能就教師發出的指令迅速作出判斷與處理，再對過程進行反思與總結。

厘清：教學中應注意的幾個問題

為了提高“二次認識分數”的教學效果，教學中，教師應注意以下三點。

1.內容把握要適度

傳統的概念教學，教師為了避免內容少而枯燥，不好講的狀況，而把更多的精力花在了豐富學習資源之上，以至于出現“課堂容量大，學生難消化”、“內容挖掘深，學生難尋根”的現象。所以，就分數的再度認識來說，應把握好內容設計的度。從國際上來看，分數內容的編排有這樣的趨勢：簡化分數的教學內容；提早出現分數，并分散在各年級進行教學。這與分數的難教難學和使用范圍的逐步縮小有密切的關系。所以，教學設計時，要抓住核心內容，進行深刻理解與把握，切忌因盲目補充而增加學生的學習難度。

2.學習方式要靈活

由于分數的再認識屬于概念教學的范疇，又因概念教學很難開展一些開放性、挑戰性、實踐性的數學活動，所以常常出現“教師講得多，學生練得少”、“課堂環節多，思維空間小”的概念教學“通病”。鑒于此，教師應盡量采取形式多樣的練習活動，以激發學生的興趣，鞏固他們的理解，加深他們的認識。通常采用的活動有講故事、做游戲、搞比賽等，要根據實際需要巧妙選用，靈活處理。

3.表達方式要多樣

概念教學，很容易導致教師把過多的時間與精力放在學生對概念的理解與表達之上，因此，學生在表達的過程中常常局限于對概念的記憶與描述。這樣的方式，一方面僅僅讓一部分語言智能占優勢的學生得以展示，其他學生則沒有機會，另一方面學生的理解與表達方式受到了局限。因此，教學中不妨采取多種形式，創造各種條件，讓學生能用適合的方式呈現出自己的理解，“寫一寫”、“畫一畫”、“做一做”、“講一講”、“擺一擺”等都是很好的表達方式。

總之，教學中教師需要對教學內容進行“追根溯源”，抓根固本，豐富內涵。同時，更要在教學理念和教學方式上進行“適度超越”，超越教材，超越傳統，超越自我。

（責編 金 鈴）