小小等號話方程

張懿菁

【摘 要】 一個小小的等號，折射出的是方程中最重要的等價思想。理解這個小小的等號，既了解了方程概念的本質，也感悟到了列方程時的建模思想，體會到了解方程中的化歸思想，這才是方程思想的本質！這才是方程學習的價值！這才是方程教學的意義！

【關鍵詞】 等號 方程 建模 化歸

教方程會遇到學生提出的各種問題，僅僅告訴孩子“這是規定”肯定是不夠的。怎樣才能向學生說清楚這些規則背后的“為什么”？一日，突然頓悟：問題的根源其實很簡單——“=”，一個小小的等號就能說明這一切！

一、等號的含義

等號，可算得上數學中最普通的符號了，四則運算、解方程、列方程解決實際問題、等式變形等各類數學活動中都離不了它。1557年，數學家雷科德（R.Recorde，1510—1558）在他的《智慧的激勵》（The Whetstone of Witte）一書中首先富有創見地用兩條平行且相等的直線段“=”來表示“相等”，叫做“等號”。

等號的含義有兩個方面：一是表示“運算的結果”，二是表示“等價關系”。 在四則運算中，“=” 是一種分隔符號，意味著開始運算并得到運算結果，等號的右邊被認為應當就是答案。也就是說，在四則運算中更多的是用等號來“作某件事的信號”，并顯示一個結果。學生在很長的一段時期里所接觸到的等號都是這樣的含義。隨著年級的升高，等號出現在新的學習內容——“方程”中。從本質上說，方程呈現的是兩件事情相互等價的一種形態，方程中的“=”則表示在等號左右兩邊的兩件事情在數學上的一種等價關系。

或許是因為這個小小的符號實在太普通、太渺小、太常見了，在實際教學中，我們反而忽視了對它的關注，忽略了它在方程中含義的轉變，弱化了它在方程學習中起到的作用，才引發了學生在接觸方程初期這一系列的“不適應”和“為什么”。事實證明，倘若教師沒能有意識地進行滲透，學生很有可能需要較長的一段思維過渡期來漸漸體會等號含義的新變化，適應等號的新用法。

那么 在方程教學中，如何幫助學生理解等號的含義？學生理解“=”的含義究竟能對方程學習起到什么樣的積極作用？

二、等號的啟示

1.更清晰地理解方程的概念

史寧中教授曾在“第九屆全國新世紀小學數學課程與教學系列研討會8226；北京會場”的報告中提到如何理解方程的定義問題，他說：“雖然教科書中定義為‘含有未知量的等式，但應當知道方程的本質是在講兩個故事，這兩個故事有一個共同點，在這個共同點上兩個故事的數量相等。”也就是說從這個定義出發去判斷一個式子是不是方程，意義不大。方程有兩個重要的核心思想：建模和化歸。這才是方程的數學本質，也是方程教學的重點。至于什么叫方程，什么是一元一次方程等等，在這兩個核心思想面前，就顯得不那么重要了。如果偏離了這個教學重點，對學生領悟數學本質，發展數學思維都是不利的。

上世紀90年代初，原西南師范大學的陳重穆和宋乃慶在《淡化形式，注重實質》一文中提出了“在數學教學中要注意淡化形式、注重實質”的觀點，文中特別談到了方程的概念，其中有兩點很值得我們注意：（1）方程的概念并沒有文字上的定論。文中提及了多個地方對方程概念的敘述，很明顯并不一致。（2）人們對于方程的研討，都是按照方程的實際意義來理解并進行處理的，而不是按定義的條文來進行處理的。

張奠宙教授也發表過類似的觀點，他認為：“含有末知數的等式”對方程進行定義無非是種形式化的描述而己，沒有實質性的意義。

我們可以清楚地得出結論：在方程的概念教學中，最重要的是體會等號的含義，體會方程的等價關系。在沒有實際意義的前提下，討論“諸如x=0，2x÷5=5……1這樣的特殊形式是不是方程”完全沒有價值。“含有未知數的等式就是方程”的這種說法，掩蓋了方程的模型思想，雖然在形式上符合，但本質上并不是真正意義上的方程。

2.在列方程中體會建模思想

史寧中教授在關于方程思想的訪談中說過：“用等號將相互等價的兩件事情聯立，等號的左右兩邊等價，至于其中的關系是用自然語言表示的，還是用數學符號表達的，都不太重要，重要的是等號左右兩邊的兩件事情在數學上是等價的。這就是數學建模的本質表現之一。”

表面上看，方程的建立似乎就是把兩個等值的代數式用等號連接起來，但究其實質，不難發現列方程的第一步就是根據等號所體現的等價含義，從現實情景中找到相互等價的兩個量，即我們常說的找到等量關系。這也是最關鍵的一步。在實際解題時，只有首先在心中建立起這個等號，形成一種等價意識，才能有目的地從現實情景中找到相互等價的兩個量，然后概括為等價的自然語言，最后抽象成數學表達，用數學符號建立方程，解決問題。這正是建模的過程，也是方程思想的精髓之一。如果沒有第一步建立等價意識，那么后面的列方程也就無從談起，這正是建模思想的源頭所在。

3.在解方程中體會化歸思想

解方程的關鍵在于轉化，將新出現的方程問題轉化為已經解決的方程問題，回歸到已知的算法，這正是化歸思想。方程的化歸將未知轉化成已知，其實質則是運算的優化。遵循最佳途徑進行運算可以訓練學生將復雜問題簡單化的思維方式，這對于他們思維習慣的影響是很有裨益的。這就是方程教育價值所在。

學生在透徹理解解方程的過程后，就自然理解了解方程過程中的各種規定，也就不會因為受到四則運算的思維習慣的干擾而出現這么多的“格式錯誤”了。

一個小小的等號，折射出的是方程中最重要的等價思想。理解這個小小的等號，既了解了方程概念的本質，也感悟到了列方程時的建模思想，體會到了解方程中的化歸思想，這才是方程思想的本質！這才是方程學習的價值！這才是方程教學的意義。

【參考文獻】

[1]義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社.

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