數字1金字塔的研究

周小輝， 王 剛（.浙江財經大學東方學院，浙江嘉興34408；.新疆師范大學數學科學學院，新疆烏魯木齊830054）

數字1金字塔的研究

周小輝1， 王 剛2
（1.浙江財經大學東方學院，浙江嘉興314408；2.新疆師范大學數學科學學院，新疆烏魯木齊830054）

根據對一個賽爾金（F.B.selkin）數字金字塔的研究與符號［b］k的引入，首先解決對于任意整數k，［1］k×［1］k＝？的問題，在定理1中給出了解的結構。其結論在定理2與定理3中做了更進一步的推廣。最后，考慮在任意整數n，m且m≠n的情形下［1］n×［1］m＝？的問題，并在定理4中討論了解的結構。

賽爾金金字塔；符號［b］k；任意整數

1 符號解釋

1.1 賽爾金金字塔［1，2］

古埃及法老們為了在死后仍然顯示其高貴和尊嚴，驅使千千萬萬奴隸修建金字塔。然而在數學王國中也有許許多多的“金字塔”。賽爾金（F.B.selkin）發現一個如下的“金字塔”：

1×1＝ 1

11×11＝ 121

111×111＝ 12321

11111×11111＝ 1234321

111111×111111＝ 123454321

1111111×1111111＝12345654321

等號左右2座塔都是對稱的。下面將這個金字塔往下繼續延伸。直到第九層都是對稱的，那么九層往后的情況如何呢？先引入下面符號。

1.2 符號［b］k

表示一個整數是由連續k個數字b組成的。例如［1］4＝1111、［12］3＝121212、［123］3＝123123123。該符號對于加法運算有下列性質：

（1）任意k∈N，n1，n2.…….ni∈｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，則［n1n2…ni］k＝n1［n2…nin1］k－1n2…ni.例如：［12］3＝1［21］22＝121212

（2）任意的k∈N，存在k1，k2∈N，使得k＝k1＋k2，則［n1n2…ni］k＝［n1n2…ni］k1［n1n2…ni］k2.例如：［12］4＝［12］1［12］3＝［12］2［12］2

（3）任意的k及n1，n2，…ni，；m1，m2，…，mi，若nj＋mj≤9，j＝1，2，…，i，則［n1n2…ni］k＋［m1m2…mi］k＝［（n1＋m1）（n2＋m2）…（ni＋mi）］k.例如：［13］3＋［25］3＝［38］3

（4）任意的k1，k2，若k1＞k2，則存在k3，使得k1＝k2＋k3，那么滿足3的條件的ni，mi有［n1n2…ni］k1＋［m1m2…mi］k2＝［n1n2…ni］k3［（n1＋m1）（n2＋m2）…（ni＋mi）］k2

例如：［12］5＋［13］3＝［12］2［25］3

注意：（1）［n1n2…ni］k1［m1m2…mi］k2≠［m1m2…mi］k2［n1n2…ni］k1.

例如：［1］2［2］3≠［2］3［1］2

（2）對上述3、4中，當nj＋mj＞9時，按照加法運算法則應當向前位進1.例如：［67］3＋［24］3＝［91］3.若對所有的nj＋mj＞9時，

［n1n2…ni］k＋［m1m2…mi］k＝1［（n1＋m1－9）（n2＋m2－9）…（ni＋mi－9）］k－1（n1＋m1－9）（n2＋m2－9）…（ni＋mi－10）＝1（n1＋m1－9）（n2＋m2－9）…（ni－1＋mi－1－9）［（ni＋mi－9）（n1＋m1－9）…（ni－1＋mi－1－9）］k－1（ni＋mi－10）.

例如：［67］3＋［56］3＝1［24］223

2 數字金字塔的幾個定理

現在討論關于1組成的兩數（1的個數不相同時）相乘具有金字塔規律。

結論成立，

同理當r為其他情況時結論也成立。

因此該定理成立。

說明：定理1與定理4從不同的方面討論了數字1的金字塔規律，但是他們的結論卻是相容的，在定理4中若m＝n時就是定理1的情況。