高中數學解題中導數的應用價值

崔振明

摘要：導數在高數解題過程中的運用，最基本的作用是將解題過程變得簡單高效，將復雜的高數問題簡單化，為學生下一階段的數學學習做一個優質的鋪墊。導數在數學教學中的引入，加深了學生對函數的理解，激發了學生的創新思維，同時引導學生將導數解題的方式運用到實際生活中去，并且對激發學生學習數學的積極性有一定的作用；所以導數是數學教學中有利的輔助工具，注重引導學生用導數進行解題，并且能熟練掌握、靈活運用成為數學教學的教學目標之一。

關鍵詞：數學解題；價值分析

一、高中數學解題中的導數應用技巧

在高數的教學中，從教師的角度來說，熟悉導數的定義是學習導數的基礎，教師可以根據學生的學習進度適當調整導數章節的教學進度，如果基礎知識沒有掌握牢固，越往后知識越復雜就更不利于學生的理解和接受。在了解導數定義的基礎上，逐漸引入函數四則運算法則，將復雜的知識簡單化，用逐漸帶入的方式引導學生學習，打下一個堅實的導數學習基礎；學生要結合導數知識，將函數的極值判定和函數單調性要作為重要的知識點進行學習。

其實導數也不是很復雜難學的知識，只要將公式、法則、性質牢記于心，多做練習，自然就能熟練應用；運用導數求極值一般有固定的解題步驟：首先求出f′（x）的根值，根據所得數值，確定根兩側的函數單調性，再根據單調性呈現出來的遞增或遞減狀態，得到相應的最大值或最小值；如果兩側單調性相同，則說明此根處沒有相應的極值。

例如用導數求函數的極值：求函數f（x）=-x3+3x2+9x在單調區間[1，5]上的最大值；

解：函數f（x）的導數為f′（x）=-3x2+6x+9，所以在區間（-1，3）上是單調遞增的，即f′（x）﹥0，在區間（-∞，-1），（3，+∞）上是單調遞減的；對于區間[1，5]在[1，3]的范圍內f′（x）﹥0，即是遞增，在[3，5]范圍內f′（x）<0即為遞減，所以根據極值的定義可得出，在x=3處取得最大值，即f（3）=63。

這類題目在高數中是常見的基礎題型，在某一區間內求取極值的問題，根據導數的定義，在區間內如果兩側符號不同，那就說明這個區間存在極值，以此為根據，有清晰的解題思路，就能快速地解出答案。

導數在幾何解題的應用也可以有效的提高解題效率；比如常見的給出某M點坐標和曲線C方程，求出最終的切線方程，解題步驟基本上也是有固定的邏輯：首先確定M點是否在相應的曲線C上，另外要求得相應的導數f′（x）；根據題目的實際情況會得出不一樣的數值，然后結合導數知識根據具體的情況運用相應的方程公式：如果點在曲線上，那么需要用的方程為y-y0=f′（x0）（x-x0）；如果點不在曲線上，那么需要用到的方程為y1=f（x1），y0-y1=f′（x1）（x0-x1），以此為根據，得出具體的x1的值，這樣就能求得切線方程。

根據以上的解題實例可以看出，導數的運用不僅是代數，在幾何題目的解答步驟上都能使解題變得更高效簡單。學生在導數知識章節的學習中，對于導數的公式和兩個函數之間的四種求導法則，可以不用加以過多的證明，但一定要將公式和法則熟記于心，在遇到難題時，能夠正確使用相應的步驟和法則。學生在導數知識的學習過程中，也要注意適時的進行總結，對知識有一個連貫性的結構；注重知識的全面運用，可以提升學生自身的綜合學習能力。

二、高中數學解題中導數應用注意事項

在高中數學導數部分的教學過程中有一定的注意事項，首要要把握一定的教學要求，抓住教學的重點和難點，根據學生們的實際學習情況和接受進度進行相應的教學計劃調整，因為高數這門課程的思維連貫性，一旦某一部分沒有熟練掌握或者學習的不夠踏實，對接下來的學習會有很不好的影響，尤其在導數部分的學習，如果一開始的基礎知識沒有得到掌握，那么對這部分知識越往后就越難以消化。

要讓學生對導數的含義有一個很明確的了解，學習之初，對概念的認識也是很重要的學習內容，然后是對導數的各種性質的了解，因為導數在高數中起著很重要的作用，在很多題型中都可以用得到，而運用在解題中的時候，大都是依據導數的各種性質進行的，所以要求學生在熟悉導數的概念以后，對導數的性質也要牢記于心方能熟練運用。利用導數求得函數的單調性、極值、不等式和幾何方程等，可以有效地提高解題的效率和質量，從中考察學生對知識的掌握程度以及思維整合的能力。另外一點在運用導數求解的過程中，引導學生避免解題思路復雜化，全面考慮導數的各種性質找出最適合題目應用的，盡可能將其簡單化；在復合函數的學習過程中，要對將其計算法則進行重點學習，并做到熟練運用的程度，教師在復合函數練習題的難易程度要做好把控，考慮整體學生的學習情況進行安排布置，或者根據不同學習層次的學生，拿出多個具有針對性的練習方案，能更有效地幫助學生鞏固導數知識。

三、結語

教師在在導數的教學過程中，將理論知識形象化，結合一定的圖片表格，讓學生能更直觀的感受到導數的各性質之間的區別，同時也要注意引導學生將數學知識生活化，這樣也能更好地提高學生導數學習的效率。