二項分布及其應用、正態分布

余樹寶

二項分布與正態分布是常見的隨機變量概率分布模型，也是高考理科數學的必考內容之一. 縱觀歷年的高考試題，有關二項分布與正態分布的問題，尤其是二項分布的問題經常在解答題中出現，因此重視此類問題的解決非常重要.

重點難點

重點：理解n次獨立重復試驗模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題；了解正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

難點：正確判斷隨機變量的概率分布模型；正確應用二項分布、正態分布等有關知識解決生產、生活中的實際問題.

方法突破

1. 判斷隨機變量的概率分布是否為二項分布模型，首先要判斷隨機試驗是否為獨立重復試驗，此時就要看每次試驗的條件是否相同，如果不同，那么某事件發生的次數X不會服從二項分布.

因此，二項分布只有事件滿足以下條件時才能適用：

（1）每次試驗的結果只有一種并且是相互對立的，如正面或反面，活著或死亡等.

（2）如果某一事件發生的概率為p，那么其對立事件發生的概率為1-p. 在實際計算中，p是從大量觀察中獲得的比較穩定的數值.

（3）在相同的條件下進行n次試驗，并且每次試驗的結果是相互獨立的，即每次試驗的結果是不會受到其他試驗結果影響的，就像要求疾病無家族性、無傳染性等.

2. 二項分布B（n，p）中有兩個參數，一個是獨立重復試驗的總次數n，另一個是每次試驗中某事件A發生的概率p. 正確解決二項分布問題首先要準確地確定好這兩個量.

3. 若隨機變量X∽B（n，p），則P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n），它恰好是（q+p）n的二項展開式中的第k+1項（其中q=1-p），故名二項分布. 其分布列為：

其數學期望與方差可直接由E（X）=np，D（X）=np（1-p）來進行計算，這樣可以大大減少運算量，提高解題速度.

4. 正態分布由參數μ，σ唯一確定，如果隨機變量ξ∽N（μ，σ2），那么根據定義有：μ=E（ξ），σ=D（ξ）. 正態曲線具有以下性質：

（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交，曲線與x軸之間的面積為1.

（2）曲線關于直線x=μ對稱，且曲線在x=μ處達到峰值■.

（3）當x<μ時，曲線上升；當x>μ時，曲線下降. 并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近.

（4）當μ一定時，曲線的形狀由σ確定. σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.

應用數形結合的思想方法理解以上四條性質并進行解題非常關鍵和有效.

典例精講

■例1 （2014年高考遼寧卷） 一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖1所示.

■圖1

將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立.

（1）求在未來連續3天里，有連續2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；

（2）用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數，求隨機變量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）.

思索 此題（2）問中的X是服從二項分布的，原因是題設中告訴我們每天的銷售量相互獨立，且由（1）問知“每天的銷售量不低于100個”發生的概率為0.6，符合二項分布的應用條件，可判定X是服從二項分布的. 于是由P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）可求X取每一個值的概率，從而進一步得到分布列. 其數學期望與方差可直接由E（X）=np，D（X）=np（1-p）進行計算，方便快捷.

破解 （1）設A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續3天里有連續2天日銷售量不低于100個且另1天銷售量低于50個”. 因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，P（A2）=0.003×50=0.15，P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108.

（2）X可能取的值為0，1，2，3，相應的概率分別為：P（X=0）=C03·（1-0.6）3=0.064，P（X=1）=C13·0.6（1-0.6）2=0.288，P（X=2）=C23·0.62（1-0.6）=0.432，P（X=3）=C33·0.63=0.216.

故X的分布列為：

■

因為X∽B（3，0.6），所以期望E（X）=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72.

■例2 某人參加射擊，擊中目標的概率是■.

（1）設ξ1為他射擊6次擊中目標的次數，求隨機變量ξ1的分布列；

（2）設ξ2為他射擊1次擊中目標的次數，求隨機變量ξ2的分布列；

（3）設η為他第一次擊中目標時所需要射擊的次數，求η的分布列；

（4）若他連續射擊6次，設X為他第一次擊中目標前射擊的次數，求X的分布列；

（5）設他只有6顆子彈，若他擊中目標，則不再射擊，否則子彈打完，求他射擊次數Y的分布列.

思索 此題有五個小問，涉及五個隨機變量，其中（1）中的變量ξ1服從的是二項分布，因為6次射擊相當于6次獨立重復試驗，每次試驗“擊中目標”的概率都是■，所以射擊6次擊中目標的次數ξ1服從二項分布；（2）問中ξ2服從的是兩點分布（又稱0-1分布），關于兩點分布與二項分布的關系，事實上，兩點分布是一種特殊的二項分布，即是n=1的二項分布；其他三個小問中變量η，X，Y服從的不是二項分布，它們雖然都表示射擊的次數，但它們各自表示的意義是不一樣的，所以解題時要正確理解.endprint

破解 （1）隨機變量ξ1服從二項分布B6，■，則P（ξ=k）=C■■■k·■6-k（k=0，1，2，3，4，5，6），故ξ1的分布列為：

■

■

（2）隨機變量ξ2服從兩點分布B1，■，故ξ2的分布列為：

■

（3）設η=k，表示他前k-1次未擊中目標，而在第k次射擊時擊中目標，則η的取值為全體正整數1，2，3，…，則P（η=k）=■k-1·■ （k=0，1，2，3，…）. 故η的分布列為：

■

（4）設X=k表示前k次未擊中目標，而第k+1次擊中目標，X的取值為0，1，2，3，4，5，當X=6時，表示射擊6次均未擊中目標，則P（X=k）=■k·■（k=0，1，2，3，4，5），而P（X=6）=■6. 故X的分布列為：

■

（5）設Y=k，表示前k-1次未擊中，而第k次擊中，k=1，2，3，4，5，所以P（Y=k）=■k-1·■（k=1，2，3， 4，5）；而Y=6表示前5次未擊中，第6次可以擊中，也可以未擊中，所以P（Y=6）=■5. 故Y的分布列為：

■

■例3 如果X∽B20，■，則使P（X=k）取最大值的k的值是_______.

思索 問題的解決沒有必要分別求出X取0，1，2，…，20時的概率，如果那樣做的話，運算量顯然是巨大的. 應該去考慮比值■=■·■=1+■，當k<（n+1）p-1時，P（X=k+1）>P（X=k），即概率隨k值的增大而增大；當k>（n+1）p-1時，P（X=k+1）

破解 由已知可得■=■=■×■≥1，得k≤6. 所以當k≤6時，P（X=k+1）≥P（X=k）；當k>6時，P（X=k+1）

■例4 在某市組織的一次數學競賽中，全體參賽學生的成績近似地服從正態分布N（60，100），已知成績在90分以上的學生有13人.

（1）求此次參加競賽的學生總數共有多少人；

（2）若計劃獎勵競賽成績排在前228名的學生，問：受獎學生的分數線是多少？

思索 我們知道，正態密度函數φμ，σ（x）=■e■，若X∽N（μ，σ2），則對于任意a>0，P（μ-a

破解 設學生的得分為隨機變量X，X∽N（60，100），則μ=60，σ=10.

（1）P（3090）=■[1-P（30

（2）成績排在前228名的學生數占總數的0.0228. 設分數線為x0，則P（X≥x0）=0.0228，所以P（120-x0

變式練習

1. 甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采取五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結束，假定甲每局比賽獲勝的概率均為■，則甲以3∶1的比分獲勝的概率為（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

2. 在高三的一個班中，有■的學生數學成績優秀，若從班中隨機找出5名學生，那么數學成績優秀的學生數ξ～B5，■，則使P（ξ=k）取最大值的k的值為（ ）

A. 0？搖？搖？搖？搖？搖？搖 B. 1？搖？搖 ？搖C. 2 ？搖？搖 D. 3

3. 已知三個正態分布密度函數fi（x）=■e■（x∈R，i=1，2，3）的圖象如圖2所示，則（ ）

A. μ1<μ2=μ3，σ1=σ2>σ3？搖？搖

B. μ1>μ2=μ3，σ1=σ2<σ3

C. μ1=μ2<μ3，σ1<σ2=σ3？搖？搖

D. μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3

■

圖2

4. 某籃球隊與其他6支籃球隊依次進行6場比賽，每場均決出勝負，設這支籃球隊與其他籃球隊比賽勝場的事件是獨立的，并且勝場的概率是■.

（1）求這支籃球隊首次勝場前已經負了兩場的概率；

（2）求這支籃球隊在6場比賽中恰好勝了3場的概率；

（3）求這支籃球隊在6場比賽中勝場數的期望和方差.

5. 在某次數學考試中，考生的成績X服從正態分布，即X∽N（100，100），已知滿分為150分.

（1）試求考試成績X位于區間（80，120]內的概率；

（2）若這次考試共有2000名考生參加，試估計這次考試及格（不小于90分）的人數.

參考答案

1. A 2. B 3. D

4. （1）■ （2）■

（3）E（X）=6×■=2，D（X）=6×■×1-■=■.

5. （1）0.9544 （2）1683人 ■