南京師大附中南京金陵中學月考試卷調研

試卷報告

本試卷嚴格按照高考《考試說明》和課程標準的要求命制，難易程度上貼近高考要求.試卷Ⅰ（必做題）的填空題主要考查基本概念、基礎知識和基本能力，解答題突出考查理性思維和思想方法；試卷涵蓋了高中數學的主要內容，而且主干知識地位突出，重點內容重點考查，注重知識的交匯，如第13題考查解析幾何與向量的交匯，第14題考查數列和不等式的交匯，第15題考查三角與向量的交匯等.同時淡化特殊技巧和特殊方法，注重基本數學思想方法的考查，第6、7、12、13、16、17、18題考查數形結合思想，第5、9、12、13、15、18、20題考查函數與方程思想，第4、8、10、11、12、13、14、16、17、18、20題考查轉化與化歸思想.

？搖？搖試卷Ⅱ（附加題）的選做題第21題注重考查基本知識和基本方法，難度不大；必做題第22題考查空間向量在求解立體幾何問題中的應用，難度中等；第23題考查數列、二項式系數、導數等知識的綜合，對理科學生的能力要求較高，有較大的區分度.

難度系數：★★★★

第Ⅰ卷

（總分160分，考試時間120分鐘）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分. 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上.

1. 設集合A={x-1≤x≤2}，B={x0≤x≤4}，則A∩B=________.

2. 已知復數z=■（i為虛數單位），則復數z的虛部為________.

3. 已知雙曲線■-■=1（a>0，b>0）的漸近線方程為y=±■x，則該雙曲線的離心率為________.

4. 從甲、乙、丙、丁4位同學中隨機選出2名代表參加座談會，則甲未被選中的概率是________.

5. 若函數f（x）=■是奇函數，則m=________.

6. 圖1是一個算法流程圖，則輸出S的值是________.

7. 圖2所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩個小組（每小組4人）在期末考試中的數學成績. 乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以a表示. 已知甲、乙兩個小組的數學成績的平均分相同，則乙組四名同學數學成績的方差s2=________.

8. 已知sin（α-45°）=-■，且0°<α<90°，則cos2α的值為________.

9. 若直線y=x+m與曲線y=lnx相切，則實數m的值為________.

10. 在△ABC中，“A>■”是“sinA>■”的________條件. （填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”之一）

11. 已知正實數x，y滿足x+2y=4，則■+■的最小值為________.

12. 已知f（x）=x2-9+x2+kx，若關于x的方程f（x）=0在（0，4）上有兩個實數解，則k的取值范圍是________.

13. 已知圓C過點P（1，1），且與圓M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r>0）關于直線x+y+2=0對稱. 若Q為圓C上的一個動點，則■·■的最小值為________.

14. 已知數列{an}和{bn}中，a1=a（其中a>1），{bn}是公比為■的等比數列. 若bn=■（n∈N？鄢），且不等式an>an+1對一切n∈N？鄢恒成立，則實數a的取值范圍是________.

二、解答題：本大題共6小題，計90分. 解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區域內.

15. （本小題滿分14分）已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m=（1，2），n=cos2A，cos2■，且m·n=1.

（1）求角A的大小；

（2）若b+c=2a=2■，求證：△ABC為等邊三角形.

16. （本小題滿分14分）如圖3，AB為圓O的直徑，四邊形ABCD為正方形，點E，F在圓O上，AD⊥AF，且C，D，E，F四點共面，AB=4，EF=AF=2.

（1）求證：EF∥平面ABCD；

（2）求三棱錐B-CEF的體積.

17. （本小題滿分14分）設橢圓方程■+■=1（a>b>0），橢圓上一點到兩焦點的距離和為4，過焦點且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點，AB=2.

（1）求橢圓的方程；

（2）若M，N是橢圓C上的點，且直線OM與ON的斜率之積為-■，是否存在動點P（x0，y0），若■=■+2■，有x■■+2y■■為定值.

18. （本小題滿分16分）如圖4是一塊鍍鋅鐵皮的邊角料ABCD，其中AB，CD，DA都是線段，曲線段BC是拋物線的一部分，且點B是該拋物線的頂點，BA所在直線是該拋物線的對稱軸. 經測量，AB=2米，AD=3米，AB⊥AD，點C到AD，AB的距離CH，CR的長均為1米. 現要用這塊邊角料裁一個矩形AEFG（其中點F在曲線段BC或線段CD上，點E在線段AD上，點G在線段AB上）. 設BG的長為x米，矩形AEFG的面積為S平方米.

（1）將S表示為x的函數；

（2）當x為多少米時，S取得最大值，最大值是多少？

19. （本小題滿分16分）設數列{an}的前n項和為Sn，且Sn-1+Sn+Sn+1=3n2+2（n≥2，n∈N？鄢）.

（1）若{an}是等差數列，求{an}的通項公式.

（2）若a1=1，

①當a2=1時，試求S100；

②若數列{an}為遞增數列，且S3k=225，試求滿足條件的所有正整數k的值.endprint

20. （本小題滿分16分）已知函數f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R.

（1）若函數y=f（x）有三個極值點，求t的取值范圍；

（2）若f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a

（3）若存在實數t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，試求正整數m的最大值.

第Ⅱ卷

（附加題，共40分）

21. 【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，每小題10分. 請選定其中兩題，并在相應的答題區域內作答.

A. （選修4-1：幾何證明選講）在△ABC中，AB=AC，過點A的直線與其外接圓交于點P，交BC延長線于點D，求證：AP·AD=AB·AC.

B. （選修4-2：矩陣與變換）△ABC的頂點A（1，2），B（3，3），C（2，1），求在矩陣2 00 -2對應的變換下所得圖形的面積.

C. （選修4-4：坐標系與參數方程）已知直線l1：x=1+t，y=-5+■t （t為參數）和直線l2：x-y-2■=0交于點P.

（1）求P點的坐標；

（2）求點P與Q（1，-5）的距離.

D. （選修4-5：不等式選講）設a，b是正數，證明：■≥■·■.

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.

22. 在如圖6所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，點P在棱DF上.

（1）若P是DF的中點，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；

（2）若二面角D-AP-C的余弦值為■，求PF的長度.

23. 已知1+■xn展開式的各項依次記為a1（x），a2（x），a3（x），…，an（x），an+1（x），設F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x）+…+nan（x）+（n+1）an+1（x）.

（1）若a1（x），a2（x），a3（x）的系數依次成等差數列，求n的值；

（2）求證：對任意x1，x2∈[0，2]，恒有F（x1）-F（x2）≤2n-1（n+2）-1.