多視角審視下的圓錐曲線教學(xué)

梅永常

近幾年廣東高考的圓錐曲線的考查，考生得分率一直較低，要在這版塊里有真正的改善，提升學(xué)生解決圓錐曲線問題的能力，需要在多視角下重新審視，下面結(jié)合具體的例子加以說明.

圓、橢圓、雙曲線和拋物線同屬于圓錐曲線.早在兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼（Apollonius）采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線.他用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓，當(dāng)平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當(dāng)平面再傾斜些時就可以得到雙曲線.

在中學(xué)的教學(xué)中，圓錐曲線的這個奇妙的來源令學(xué)生很好奇，而用代數(shù)研究幾何，采用是是容易明白、方便建系的定義，如果在導(dǎo)向上把握不好，很容易導(dǎo)致過多地模式化的代數(shù)技巧演練，學(xué)生對幾何特質(zhì)的視角逐步變窄，令本來充滿鮮活性的圓錐曲線問題變得索然無味.所以要真實地回歸幾何定義，精心設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入圓錐曲線的奇妙之旅.

學(xué)生學(xué)完橢圓后，在進(jìn)入雙曲線學(xué)習(xí)時，筆者嘗試以課本的課后練習(xí)題（人教A版2-1P62-6）作為引入，收到很好的效果.

例：如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓內(nèi)一個定點，P是圓是任意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑所在直線交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

視角1：因為剛剛學(xué)完橢圓，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)到點Q的幾何特征：

|QA|+|QO|=|PQ|+|QO|=|PO|=r>OA.

∴點Q的軌跡是橢圓.

視角放在在點A與圓的位置關(guān)系上，提出問題：如果定點A在圓上，會發(fā)生什么事？

問題一出，學(xué)生的思維受到激發(fā)，很快發(fā)現(xiàn)這種情形下，Q點總是與圓心重合，從而軌跡為一點.

在好奇心的驅(qū)使下，學(xué)生很自然地提出第二個問題：如果定點在圓外，點Q的軌跡又會是什么？

類比下，學(xué)生不費多大工夫發(fā)現(xiàn)了點Q的幾何特征：|QA|-|QO|= |PO|=r.當(dāng)然，較多學(xué)生容易漏了另一種情形：|QO|-|QA|=|PO|=r.

繼續(xù)點撥下，雙曲線的幾何特征就出來了：||QA|-|QO||=|PO|=r< |OA|.

整個過程在學(xué)生的積極想象和觀察下，再借助《幾何畫板》的輔助演示，既達(dá)到鞏固橢圓定義、和熟悉雙曲線的作用，也為兩種曲線搭上了很好的橋梁.

視角2：不謀而合的是，蘇教版教材2-1（P43-11）也有類似的一道題：在紙上畫一個圓O，在圓外任取一點F，將紙片折起，使圓周通過F，然后展開紙片，得到一條折痕l（為了看清楚，可以把直線l畫出來），這樣繼續(xù)下去，得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？

很顯然，蘇教版教材著眼于讓學(xué)生通過操作得到軌跡，非常直觀實用，如果敢于實踐，學(xué)生對軌跡特征的認(rèn)識應(yīng)該更深刻.

圓錐曲線具有豐富的幾何特性，就定義本身，就玄妙無比，教學(xué)中，就要啟發(fā)學(xué)生去觀察，通過問題的設(shè)置，激發(fā)求知欲，提升思考力.要學(xué)生克服對圓錐曲線的畏懼情緒，就要引領(lǐng)學(xué)生逐步形成自己獨特的解題視角，學(xué)會欣賞問題，一定的積累，形成對圓錐曲線的審美能力，解題也就水到渠成.

責(zé)任編輯羅峰