線性代數課程中 “逆矩陣”的教學設計與思考

文/涂正文 吳艷秋 彭揚

逆矩陣是線性代數中非常抽象的概念，學生學習難度較大，本文結合筆者的教學實踐，淺談逆矩陣的教學設計。

一、引入

在數的運算中我們知道，當數a≠0時，除以數a相當于乘上這個數的倒數a-1，有了倒數這一概念之后，除法運算全部轉化為乘法運算。對于矩陣而言，是否也存在類似于倒數作用的一個矩陣，而且有了該矩陣，就相當于有了矩陣的除法運算呢?類似于倒數作用的矩陣又該如何去定義呢?

引入的設計意圖:可將抽象的陌生的逆矩陣的概念與熟悉的數的除法運算類比，將陌生轉化為熟悉，降低學生的理解難度。

二、新課

定義1 設A為n階方陣，若存在n階方陣B，使得

AB=BA=I

則稱A是可逆矩陣，且稱B為A的逆矩陣;若B不存在，則稱A是不可逆矩陣。

首先指出對于n階方陣A而言，滿足AB=BA=I的矩陣B是唯一的。

將A的唯一的逆矩陣記為A-1，讀作A的逆，即有AA-1=A-1A=I。

設計意圖:定義1給出了判定n階方陣可逆以及求解逆矩陣的方法——待定系數法。

例1 判定下列矩陣是否可逆?若可逆，求其逆矩陣。

例1 的設計意圖:例1采用的是待定系數法，依賴于解線性方程組，不僅判斷出n階方陣A是可逆的，同時當n階方陣A可逆時，可求出它的逆矩陣。但是隨著方陣A階數的增大，此法的計算量勢必增大。

2、逆矩陣的判定定理

例2的設計意圖:利用2階方陣的伴隨矩陣的口訣“主對調，次變號”，教會學生快速寫出2階方陣的逆矩陣。

3、逆矩陣的性質及結論

(1)若n階方陣A可逆，則A-1也可逆，且 A-(1)-1=A;

(3)若n階方陣A可逆，則AT也可逆，且(AT)-1= A-(1)T;

(4)若n階方陣A、B都可逆，則乘積AB也可逆，且( A B)-1=B-1A-1;

(5)若n階方陣A可逆，且AB=AC，則B=C;

(6)若n階方陣A可逆，且AB=O，則B=O。

設計意圖:與教材相比較，教學過程中增加了結論 (5)(6)，這樣的教學設計，主要與矩陣乘法的運算規律:

若AB=AC，A≠O，不能推出B=C;若AB=O，A≠O，不能得到A≠O，B=O。

4、利用逆矩陣求解矩陣方程

含有未知矩陣X的方程稱為矩陣方程，有以下三種情況:

(1)矩陣方程AX=B，其中A為n階可逆方陣，則AX=B有唯一解X=A-1B;

(2)矩陣方程XA=B，其中A為n階可逆方陣，則XA=B有唯一解X=BA-1;

(3)矩陣方程AXB=C，其中A，B分別為n階和m階可逆方陣，則AXB=C有唯一解X=A-1CB-1.

設計意圖:與引入呼應，強調有了逆矩陣相當于矩陣有了類似于數的除法運算。

總結:線性代數課程教學，必須重視該課程的抽象性帶給學生的困擾，教學實踐中一定要將陌生的矩陣知識與熟悉的數的相關知識結合進行類比學習，降低學生的學習難度。

［1］同濟大學數學系.工程數學--線性代數 ［M］.2007年5月第五版.

［2］北京大學數學系幾何與代數教研室.高等代數 ［M］.2004年第三版.