蔡氏電路的混沌仿真研究

鮑林云,周尚波,虞繼敏,趙　麗（重慶郵電大學自動化學院,重慶　400065）

蔡氏電路的混沌仿真研究

鮑林云,周尚波,虞繼敏,趙麗
（重慶郵電大學自動化學院,重慶400065）

摘要：蔡氏電路是能產生混沌現象的典型且最簡單三階自治電路。該文通過對該非線性電路建立數學模型，解釋了產生混沌現象的原因，由李雅普諾夫指數分析了系統的動力學行為，從理論分析和Mat lab仿真兩個方面分別進行了研究。結果表明，在一定條件下蔡氏電路能夠產生雙渦旋混沌吸引子，混沌行為復雜，從而理論分析在仿真實驗中得到了證實。

關鍵詞：蔡氏電路；李雅普諾夫指數；混沌

1　引言

物理、化學、生物學，以及社會講科學等等各個學科領域中都有混沌現象。作為一種普遍存在的非線性現象，今年來許多專家和學者對非線性電路的混沌行為進行了廣泛研究[1-6]，其中最典型的是由美國Berkeley大學的Leon.O.Chua提出的蔡氏電路（Chua’sCircuit），它是能產生混沌行為的最小、最簡單的三階自治電路[7]，其非線性動力學行為復雜豐富，這使得該混沌電路有可能在更廣的領域得到應用，如混沌保密通信技術，傳感器應用，混沌擴頻通信技術等?；谶@些特點，對蔡氏電路的討論和研究也有較高的實踐意義。

2　蔡氏電路模型

一般自治動力系統產生混沌現象需要具備一定的條件：系統至少有三個狀態變量，并且存在一定的非線性環節[8]。蔡氏電路使用三個儲能元件（電感L、兩個電容C1和C2）和一個非線性電阻NR，電路如圖1所示。

由Kirchhoff電流定律（KCL）和K irchhoff電壓定律（KVL），可推出圖1電路的狀態方程為：

其中，VC1為電容C1兩端的電壓，VC2為電容C2兩端的電壓，iL為通過電感L的電流，i(VC1)為非線性電阻NR的伏安特性函數：

非線性電阻NR是分段線性的蔡氏二極管，是核心元件，它由兩個非線性電阻RN1與RN2并聯構成，每個非線性電阻又分別由1個運算放大器和3個電阻組成，兩個非線性電阻及其伏安特性如圖2所示。

當適當選取電阻的參數值，使E2＞＞E1，同時也使E2遠大于蔡氏電路正常工作時|VC 1|的變化范圍，則在電路工作范圍內，RN 2是一個線性負電阻，RN1與RN2并聯后可實現非線性電阻NR的伏安特性，其中

3　蔡氏電路動力學系統的平衡點分析

將式（3）化成線性方程：

中，都有唯一的平衡點：

對非線性動力學系統來說，從相空間的角度來分析問題，耗散系統的一個重要特征就是在系統的演化過程體積收縮。

4　蔡氏電路動力學系統的Matlab仿真

通過計算，其李雅普諾夫指數譜如圖3所示。

由系統的李雅普諾夫指數譜圖分析可得，在一定區域內，第一個李雅普諾夫指數，為正值，說明其混沌吸引子的相鄰軌線之間呈現出以正指數率彼此互相排斥的特性；另外兩個李雅普諾夫指數λL2、λL3均為負值，說明其混沌吸引子的相鄰軌線之間呈現出以負指數率互相收縮折疊的特性。在系統動力學行為的演化過程中，由于李雅普諾夫指數值具有正值與負值的性質，導致系統的軌跡在相空間不斷伸展與折疊，從而系統相圖才形成了奇怪吸引子。該三維非線性自治混沌動力學系統的李雅普諾夫維數是分數維數，其維數為：

其中x-y、x-z、y-z以及x-y-z的二維相平面圖是三維相平面圖在對應坐標軸上的投影。而這個三維非線性自治混沌動力學系統的時域波形如圖5所示，其時域波形是非周期的，不可預測的，或者說其時域波形的周期是無窮大。

5　結束語

通過仿真和數值計算結果表明，在一定的參數和初值條件下，蔡氏電路的結構雖然簡單，卻有著豐富復雜的混沌動力學特征，在相同的混沌行為預期下，仿真實驗與真實實驗的參數范圍可能存在一些差別，但是總體而言，仿真實驗與真實實驗有較好的對等性，而且仿真實驗更能預判混沌行為，更準確地觀測到混沌吸引子的行為特征。隨著對蔡氏電路的深入研究，其必將在保密通信，災害預測，電力系統，傳感器應用等諸多領域等到更加廣泛的應用。

參考文獻:

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作者簡介：鮑林云(1990-)，男，福建永泰人，碩士研究生，研究方向：非線性控制系統、混沌及保密通信。