各向同性硬化參數對板料成形極限曲線計算結果的影響

夏　夢(上海交通大學材料科學與工程學院,上海200240)

各向同性硬化參數對板料成形極限曲線計算結果的影響

夏夢(上海交通大學材料科學與工程學院,上海200240)

摘要：板料的成形極限曲線可以通過材料的本構方程結合塑性失穩理論進行計算得到。本文使用了金屬的彈塑性本構模型結合極限點分叉理論進行計算，研究了各向同性硬化指數n及強度系數k對金屬材料的成形極限的影響。

關鍵詞：各向同性硬化參數；成形極限曲線；塑性失穩理論

1　導論

板料的成形極限反映了它在加工達到塑性失穩前能獲得的最大的變形程度，是板材成形的重要性能指標。1965年Keeler[1]及Goodwin[2]提出的以極限應變構成的成形極限曲線（FormingLimitCurve，FLC）為定量衡量板材拉伸失穩極限提供了一種簡便實用的工具，至今仍廣泛應用于板材成形領域。成形極限曲線可以通過試驗測定和理論計算兩種方法獲得，其中理論計算主要是通過采用不同的屈服準則和塑性本構關系，利用拉伸失穩準則作為頸縮或斷裂發生的判據來進行的[3]。隨著有限元法及計算機技術的發展，板材成形極限圖的理論計算更容易實現，其應用也更加廣泛。

材料的應變硬化能力決定了材料在頸縮前依靠硬化使材料均勻變形的能力的大小，顯然，材料的應變硬化參數對它的成形極限有著很大的影響。本文用彈塑性本構模型表征材料的力學行為，以極限點分叉理論作為頸縮發生的判據，使用ABAQUS進行了金屬材料的成形極限曲線的預測計算，通過控制變量法研究了各向同性硬化指數n及強度參數k對成形極限曲線計算結果的影響。

2　材料的力學行為

計算使用的材料為彈塑性材料。當金屬材料經歷大變形時，其彈性變形遠小于塑性變形，其力學行為一般采用次彈塑性模型來表征[4]，次彈性響應定律為：

其中HY為一個標量模量，它與材料各向同性強化常數有關，Cep為四階彈塑性切線模量的Voigt矩陣形式，a為表征加載方式的指數，當a=1時表示塑性加載，a=0表示彈性加載或卸載。

一般情況下，材料在斷裂前內部組織會發生惡化，因此本文引入Lemaitre損傷理論提出的損傷標量d來表征金屬材料中的微裂紋、孔隙等微損傷，變量d的定義為：

式中S、Sdef、Seff分別表示單位體積單元上某截面的面積、該截面的損傷面積及該截面的有效承載面積。在Lemaitre模型中，如果考慮微裂紋和微空洞的方向性，那么d就是法向量的函數，本文中假設損傷是各向同性的，即金屬在各方向上微缺陷都是相同的，因此將損傷變量d作為標量考慮且取值區間為[0,1]。d等于0時表示單元完全無損傷，d等于1時表示單元完全受損分裂成兩部分。

那么在此模型下材料某截面上的有效應力與名義應力之間則具有如下關系：

二者關系的物理解釋為損傷系數為d的單位體積元某截面名義應力對應的應變等效于無損傷的單位體積元該截面上有效應力對應的應變。損傷參數d的演化方程為：

其中Hd為一個標量模量，與材料常數β、Sa、sb，彈性應變能釋放率Ye及其閾值Yei有關。

使用式（6）新定義的有效應力取代公式（1）（2）（3）中的應力張量，經過推導可以得到新的應力率與總變形率之間的關系為：

式（5）與式（9）即為我們計算時使用的材料本構方程，計算時將以上本構關系通過UMAT用戶子程序實現，程序中采用4階龍格庫塔算法來進行應力迭代更新。

3　Va lanis極限點分叉理論

極限點分叉理論是一種預測材料的分散性失穩的理論，最早由Valanis在1989年提出，所以又稱為Valanis極限點分叉理論，它認為頸縮發生時名義應力是不變的，即有：

其中，N為名義應力張量，T為第一類P-K應力張量，F為變形梯度，Lt為連接變形梯度材料時間導數與第一類P-K應力率的切線模量，在使用以t時刻的當前時刻構形為參考構形的更新拉格朗日方法時它具有如下表達形式：

于是，頸縮發生時切線模量Lt是奇異的，必有一個特征值為0，在計算時當出現第一個為0的特征值時，此時det（Lt）=0，式（10）得到滿足，此時程序停止計算，輸出的長軸應變與短軸應變值即為該材料在該加載路徑下的極限應變值。

4　計算結果

本文的計算分別在無損傷彈塑性材料模型和帶損傷彈塑性模型下進行，材料服從第二節所述的本構關系和Ludw ig各向同性硬化準則，計算使用的主要材料參數如下表所示，其中的損傷參數只適用于帶損傷模型。各向同性硬化模型硬化模型的兩個重要參數分別為強度系數k和硬化指數n，下面將采用控制變量法來進行計算以研究這兩個參數對材料成形極限的影響。當k取值變化時，n始終取值為0.6；同樣地，當n取值變化時，k的取值始終為550MPa。計算結果如圖1及圖2所示。

計算使用材料模型的主要參數

硬化指數n對FLCs的影響的計算結果如圖1所示。結果顯示，盡管損傷的演變改變了成形極限曲線的形狀并降低了材料的成形極限，但n值的大小對材料成形極限的影響趨勢都是相同的，即硬化指數值越大變形集中出現得越晚，板料的成形極限曲線越高，但是曲線的整體形狀并不受其取值大小的影響。應變硬化指數n反映的是材料在頸縮失穩發生前依靠硬化進行均勻變形的能力，n值越高，材料由均勻變形到不均勻變形的轉折點越往后推移。

圖2顯示了強度系數k對FLCs的影響。圖2（a）顯示出在不考慮損傷時，參數k的取值越大，材料的成形極限曲線的位置越高即材料的成形性能越好，但是這種影響并不是均勻的，可以看出k=1500MPa與k=1000MPa時的成形極限之間的差異要明顯小于k=1000MPa與k=500MPa時的成形極限之間的差異。文獻研究表明k值能反映材料的抗塑性變形能力、可承受均勻變形的最大程度以及實際的承載能力，因此可以作為一個衡量板料成形能力的指標。而圖2（b）顯示的結果則完全不同于圖2（a）的結果，在材料存在損傷時，反而是應變強度系數k值越大，成形極限曲線越低，并且k值的改變還有可能影響成形極限曲線的形狀，當k值從500MPa變為1000MPa時，成形極限曲線的形狀發生了明顯的變化，且在拉-壓區成形極限之間的差異較小，而在拉-拉區成形極限之間存在明顯的差異。造成這種差異的可能原因是：k值的不同會影響材料損傷發展的程度，當損傷發展帶來的負面影響要高于k值增加帶來的正面影響時就會出現如圖2（b）所示的變化趨勢。應變強化系數與損傷之間的關系還有待驗證，但是顯然k值對板料成形極限的影響并不是獨立的，如何用它來準確衡量板料的成形極限還有待研究。

5　結論

本文使用金屬材料的彈塑性本構模型，結合Valanis極限點分叉理論，使用ABAQUS軟件對材料的成形極限曲線進行了理論計算，研究了各向同性硬化指數n和強度系數k對金屬材料的成形極限曲線的理論預測值的影響，結果顯示：n值越大，曲線越高即材料的成形性越好；在無損傷時，k值越大曲線越高，而在有損傷時，k值越大曲線越低，我們認為這是由于損傷帶來的負面影響高于k值帶來的正面影響造成的，可能與設定的損傷相關參數取值有關，具體關系有待進一步驗證。

參考文獻：

[1]Keeler,S.P.Determination of the forming limitsin automotive stamping[J]. Sheet Metal Industr ies,1965(42): 683-703.

[2]Goodwin, G.M..Application of the strain analysis to steel metal forming in press shop[J].La Metal lurgia Ital iana ,1968(08):767-772.

[3]陳劼實，周賢賓.板料成形極限的理論預測與數值模擬研究[J].塑性工程學報，2004,11(01):13-17.

[4]莊茁譯.連續體和結構的非線性有限元[M].北京:清華大學出版社，2002:534-537.

作者簡介：夏夢（1990-），女，碩士生，主要研究方向為金屬薄板的成形性。