對一道物理題目中靜態(tài)平衡和動態(tài)平衡的辨析

王璐珠 郭志君

（湖南師大附中，湖南 長沙 410081）

進(jìn)入高中階段物理學(xué)習(xí)后，學(xué)生已能初步建立一些理想模型去分析描述運(yùn)動的3個物理量——位移、速度和加速度的意義以及它們的相互關(guān)系，并能夠討論物體在一定力的作用下如何運(yùn)動等問題，例如復(fù)雜的變加速直線運(yùn)動、曲線運(yùn)動等，但有時在分析問題和知識遷移過程中也會存在一些誤區(qū).本文通過一道經(jīng)典例題來闡述靜態(tài)平衡點(diǎn)和動態(tài)平衡點(diǎn)的不同之處.

圖1

題目.如圖1所示，質(zhì)量為m的物塊套在光滑豎直桿上，不可伸長的輕繩跨過固定的光滑小滑輪O（大小不計），小滑輪到桿的水平距離OB＝0.3m.繩的另一端掛一質(zhì)量為M＝2m的物塊，當(dāng)細(xì)繩與豎直桿間的夾角為60°時，系統(tǒng)恰可保持靜止?fàn)顟B(tài).不計輕繩的重力和一切阻力（g取10m/s2），當(dāng)將m由B點(diǎn)起從靜止開始釋放后，m將在BC間做往復(fù)運(yùn)動，求m的最大速度.

典型錯解：由題意知，m在A位置能處于平衡狀態(tài)，當(dāng)m從B點(diǎn)靜止釋放后，經(jīng)過A位置時合力為0，加速度為0，物塊的速度最大.則根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒有

錯因分析：做直線運(yùn)動的物體，經(jīng)過平衡位置時合力為0，加速度為0，而物體的運(yùn)動速度最大，這是我們的一個解題思路.在本題中，當(dāng)系統(tǒng)恰可保持靜止?fàn)顟B(tài)，是當(dāng)細(xì)繩與豎直桿間的夾角為60°時，即圖1中所示A點(diǎn)——靜態(tài)平衡點(diǎn)，而當(dāng)m在BC間做往復(fù)運(yùn)動時，A點(diǎn)是否仍是BC間運(yùn)動過程中的動態(tài)平衡點(diǎn)？其實(shí)不然，原因在于物體m在往復(fù)運(yùn)動過程中，參與了沿繩方向的運(yùn)動和繞以滑輪為圓心的圓周運(yùn)動過程，它的加速度在沿繩方向上應(yīng)是其向心加速度和物塊M的加速度的矢量和，分析過程如下.

圖2

則物塊m的速度為

經(jīng)過一小段時間Δt后，物塊M和m速度變?yōu)関M′和v′，同理可得

因此在Δt時間內(nèi)速度的改變量為

當(dāng)Δt→0，有Δθ→0，cosΔθ＝1，sinΔθ＝Δθ，因此

故物塊m的加速度為

其中

因此

證法2：求導(dǎo)法.如圖3所示，x2＋xOB2＝L2，兩邊分別對時間求導(dǎo)，

因此

若再對該方程求導(dǎo)可得

則

圖3

小結(jié)：物塊m的加速度在沿繩方向上是其向心加速度和物塊M的加速度的矢量和.倘若A點(diǎn)是BC運(yùn)動過程中的動態(tài)平衡點(diǎn)，則物塊m在A點(diǎn)時加速度a＝0，此時Tcos60°＝mg，再對物塊M受力分析得到aM＝0.這顯然與實(shí)際不符，根據(jù)以上分析可知，當(dāng)物塊m的加速度為0時，物塊M正處于超重狀態(tài)，有豎直向上的加速度，因此A點(diǎn)并不是在BC往復(fù)運(yùn)動過程中的動態(tài)平衡點(diǎn).

那么如何求得動態(tài)平衡點(diǎn)——最大速度位置？解題過程如下.

解法1：如圖4所示，設(shè)物塊m在E點(diǎn)位置速度最大，此時細(xì)繩與豎直桿間的夾角為θ，根據(jù)

a＝0時有

圖4

根據(jù)牛頓第二定律

有

則

即

根據(jù)機(jī)械能守恒定律

即

由（1）、（3）式得

解得θ＝67.45°.代入（1）式得v＝1.08m/s.

解法2：直接由機(jī)械能守恒定律（2）式得到

當(dāng)（v2）′＝0時，v有最大值.同樣可解得

θ＝67.45°，v＝1.08m/s.

本文希望這道多本參考資料都曾出現(xiàn)過的物理問題可以給學(xué)生帶來一些啟示，不同問題的形式或內(nèi)容存在一定的差異性，學(xué)生要善于運(yùn)用已學(xué)過的基礎(chǔ)知識發(fā)現(xiàn)差異，澄清混淆，從而達(dá)到從易到難、由淺入深的學(xué)習(xí)境界.