怎樣利用幾何作圖法來求解物理問題

孫智勇 王金聚

（浙江省溫州中學，浙江 溫州 325000）

幾何作圖法充分運用“數形結合”的思想，把抽象而繁雜的物理過程轉化成一幅幅具體而清晰的物理圖像，將物理問題轉化成一個個幾何問題.通過幾何圖形所蘊含的物理意義從圖中來尋求答案，既直觀形象，又易于理解，且避免了一些繁瑣的推理與計算，對啟迪學生的思維、拓展學生的思路、提高學生的學習興趣有著不可替代的重要意義.

下面通過幾個具體實例，來展示一下幾何作圖法在高中物理教學中的妙用.

1 求作形狀規則薄板的重心

質量分布均勻的物體，其重心的位置只跟物體的形狀有關.形狀規則且質量分布均勻的物體，其重心的位置就在物體的幾何中心.由此，我們可以通過幾何作圖的方法，來求作均質且形狀規則的物體的重心位置.

例1.有一塊如圖1所示的均勻薄板ABCDEF，試用作圖法求出其重心的位置.

解析：求作重心的步驟如下.

（1）如圖2所示，沿DC方向將薄板分割成上、下兩個長方形，分別連接對角線找出其各自的重心O1、O2，則其整體的重心必在O1O2的連線上；

（2）如圖3所示，沿BC方向將薄板分割成左、右兩個長方形，分別連接對角線找出其各自的重心O3、O4，則其整體的重心必在O3O4的連線上；

（3）如圖4所示，連接線段O1O2、O3O4，其交點O即為整體的重心.

圖1

圖2

圖3

圖4

2 作等時圓來解決最短時間問題

從豎直圓環的最高點沿任意光滑弦軌道滑到圓環的時間都相等，這樣的圓被稱為“等時圓”.當碰到豎直面內的最短時間問題時，我們不妨考慮一下畫“等時圓”.

例2.如圖5所示，質點自傾角為α的斜面上方定點O沿光滑的斜槽從靜止開始下滑，為使質點在最短時間內從O點到達斜面，斜槽與豎直方向的夾角β應等于多少？

解析：如圖6所示，以經過O點的豎直線上的一點O′為圓心，OO′為半徑作圓，并使該圓與斜面恰好相切于A點，與OO′延長線交于B點.由于從O點由靜止出發沿傾角不同的光滑斜面下滑的質點，到達圓周上不同點所需時間相等，所以可以看出，質點沿OA方向從靜止開始滑到斜面上所需時間比沿其他方向滑到斜面上所需要的時間都要短.

圖5

圖6

3 作矢量三角形

對于3個共點力作用下物體的平衡問題，根據矢量三角形法則，我們常作出由3個力的圖示矢量為邊長的矢量三角形，然后由三角形中各邊、角之間的數學關系求解.實際上，對于4個及更多的共點力平衡的情況，我們也可以想辦法利用三角形法則，那就是先把某些力合成，合成到只剩3個力的時候，再作矢量三角形就可以了.

圖7

圖8

圖9

4 作等效運動路線圖

例如你先以速率v1慢跑了一段時間t1，接著以速率v2快跑了一段時間t2，當我們研究你運動的總時間的時候，我們不妨把這兩種運動“合二為一”，即看作是你一直在慢跑或快跑.具體而言，若看作一直在慢跑，則慢跑的總路程為v1（t1＋t2）；若看作一直在快跑，則快跑的總路程則為v2（t1＋t2），這兩種看法都能保證你運動的總時間未發生改變.對某些運動這種簡單、等效的轉換，對解一些復雜的運動問題有時會收到意想不到的效果.

例4.設湖岸MN為一直線，有一小船自岸邊的A點沿與湖岸成α＝15°角方向勻速向湖中駛去.有一人自A點同時出發，他先沿岸行走一段路程再入水中游泳去追船.已知人在岸上行走的速度為v1＝4m/s，在水中游泳的速度為v2＝2m/s.試求船速至多不能超過多大，才能確保此人能夠追上小船？

圖10

圖11

解析：如圖11所示，設人在B點追上船，則人到達B點可能有很多途徑，如A→C→B，A→D→B，A→E→B等，這些途徑中耗時最少的途徑對應著允許的最大船速，作∠NAP＝30°，并分別作CK、DH、EF垂直AP，其中設BDH為直線.又設想MN線下方的湖岸也變成湖水區域，因為AC＝2CK，所以人由K點游泳到C點所用時間與人在岸上由A點走到C點所用時間是相等的.故人按題設情況經路徑A→C→B所用時間與假想人全部在水中游泳游過路徑K→C→B所用時間相等，同理，人按題設情況經路徑A→D→B所用時間與假想人全部在水中游泳游過路徑H→D→B所用時間相等，人按題設情況經路徑A→E→B所用時間與假想人全部在水中游泳游過路徑F→E→B所用時間相等.顯然，在這些途徑中，因為HDB是直線，因此所用時間最少.

由以上分析可知，人沿等效途徑HDB游泳就能費時最少地剛好追上船，這對應著小船具有最大的船速，設為vmax，則有

因為△AHB是等腰直角三角形，所以AB＝BH.故得

5 用圓的半徑來表示大小不變的旋轉矢量

在求解兩個力的合成時，若其中的一個分力大小不變且合力的方向也保持不變，此時可以以合力的作用點為圓心，大小不變的那個力為半徑作圓，然后來討論另一個分力的變化情況，會使另一分力的變化情況非常明顯地顯示出來，這是個十分簡潔明快的方法.

例5.在兩個共點力合成的實驗中，用A、B兩個測力計拉橡皮條的結點，使其處于O處，如圖12所示，此時α＋β＝90°.然后保持A的讀數不變，當α角由圖12所示的大小逐漸減小時，要使結點仍在O處，可以采用的辦法是

（A）增大B的讀數，同時減小β角.

（B）增大B的讀數，同時增大β角.

（C）減小B的讀數，同時減小β角.

（D）減小B的讀數，同時增大β角.

解析：對結點O來說，受測力計A、B的拉力FA、FB和橡皮筋的拉力FT作用.當α逐漸減小時，要使結點的位置不改變，說明橡皮筋所受的拉力FT不能改變，由共點力的平衡條件可知，FA、FB的合力也不變.

圖12

圖13

以結點O為圓心，FA的大小為半徑畫圓，如圖13所示，當FA繞O點逆時針方向轉動，即α角逐漸減小時，由三角形法則作出一系列矢量合成圖.由圖可看出，FA1→FA2，α逐漸減小時，要使結點仍在O處，FB及β角均應減小，故正確選項為（C）.

6 利用同心圓解決光的折射問題

在光的折射現象中，如果已知入射光線的方向和兩種介質的折射率，我們可以用幾何作圖法借助畫同心圓來作出折射光線的方向.當光線由介質射向真空時，入射角增大到一定程度就會發生全反射現象，對于發生全反射現象的臨界角的大小，類似地，也可以用畫同心圓的辦法求得.

6.1 利用同心圓求作折射光線

例6.如圖14所示，一束光線由真空射向折射率為n的某種介質，入射點為O，試用圓規、刻度尺、三角板等工具用作圖法作出折射光線的方向.

解析：作圖法求作折射光線的步驟如下.

圖14

（1）以入射點為圓心，以1和介質折射率n為半徑做兩個圓⊙P和⊙Q，如圖15所示.

（2）延長入射光線，與⊙P交于點D，過D點做界面的垂線（或法線的平行線），交⊙Q于C點.

（3）連接OC即為折射光線.

上述作圖法的證明：由圖15中的幾何關系可知，入射角i等于∠ODE，折射角r等于∠OCE.在直角△OED和直角△OEC中，可得

圖15

6.2 利用同心圓求作全反射的臨界角

圖16

如圖16所示，一折射率為n的介質，介面為AA′，其上為真空，當光線由介質內射向介面AA′時，它發生全反射現象的臨界角怎樣用幾何作圖法作出呢？

作法：（1）作出過O點的法線ON；（2）以O為圓心，分別以1和n為半徑作兩個同心圓⊙M和⊙Q；（3）過介面與內圓的交點P作介面AA′的垂線交外圓于D點；（4）連接DO，則∠DON就是我們所要求作的臨界角C.

作法證明：在圖16中，由直角三角形ODP可以得到

不難看出，幾何作圖法直觀、形象，一目了然，更易于凸顯各物理量之間的相互關系，能使抽象問題具體化、復雜問題簡單化.在中學課堂里恰當地介紹幾何作圖法，對提高學生的學習興趣、拓展思路、啟迪創新思維、提高分析問題與解決問題的能力，都具有重要的意義.