磁軸承多目標模糊控制系統的設計

陳紅燕，孫冬梅，趙萍

（南京工業大學 自動化與電氣學院，南京 211800）

磁懸浮軸承也稱為電磁軸承或磁軸承，是利用可控電磁力作用將轉子或軸穩定懸浮于空間的一種新型高性能軸承，廣泛應用于機械工業領域，如各類機床、渦輪分子泵、高速離心機、渦輪發電機以及液氦泵等高速旋轉機械［1］。然而，磁懸浮系統是一個典型的本質非線性和開環不穩定系統，所以需要對磁懸浮系統實施有效的控制。

由日本學者最先提出的T-S模糊推理模型特別適用于局部線性、能夠分段進行控制的系統［2-3］。該模糊模型的前提部是依據系統輸入與輸出間是否存在局部線性關系進行劃分，而結論部由多項式線性方程表達，從而構成規則間的線性組合，使非線性系統的全局輸出具有良好的線性描述特征［4］。利用PDC方法設計系統的模糊狀態反饋控制器，將系統的穩定性和極點配置等問題轉化為線性矩陣不等式約束的凸優化問題，不僅能使系統滿足穩定性要求，而且能使其獲得好的動態性和魯棒性。

文中首先對磁懸浮軸承進行了局部線性化，根據隸屬函數建立了T-S模糊模型。在系統穩定性和控制系統其他性能指標約束下設計模糊控制器，將控制器的多目標設計問題轉換為LMI的凸優化問題，通過MATLAB的LMI工具箱獲得控制器的參數。

1 T-S模糊模型的設計

單自由度磁懸浮控制系統的數學模型是磁力軸承控制的基礎［5］。磁力軸承的電磁力為

式中：μ0為真空磁導率；N為線圈匝數，2 024；A為氣隙面積，226.9 mm2；I為平衡位置線圈電流，0.8 A；s為氣隙間距，20.5 mm。

通常，在軸承磁鐵中有2個差動磁鐵共同作用，其作用力方向相反，由功放到磁力軸承系統的差動激勵方式如圖1所示。

圖1 磁力軸承系統的差動激磁方式

其中一個磁鐵由偏置電流i0與控制電流is之和（i0+is）驅動，另一個磁鐵則由其差值（i0-is）驅動，對應的氣隙則分別為（s0+s）和（s0-s）。因此，如果忽略鐵芯磁化作用，（1）式可表示為

取氣隙間距s和被懸浮對象的運動速度v為系統的狀態變量，即x＝［sv］，線圈電流u（is）為系統的輸入，x為系統的輸出，則系統狀態空間數學模型表示為

式中：si，isi為在位移變化范圍以及對應的控制電流的取值范圍內選取的2個工作點；Ai，Bi，C為子系統相應維數的矩陣；m為軸承質量。

T-S模糊模型建模的本質是把整體的非線性動態模型轉換為多個局部線性模型，然后通過模糊隸屬函數將其綜合起來構成全局模糊模型。T-S模糊模型是由一組if-then模糊規則描述的非線性系統。對于一階T-S模型，設第i條規則為Ri，即

式中：xi為系統狀態變量；Min為模糊集合；r為模糊規則的個數。

利用單點模糊化、乘積推理和加權平均標準的模糊推理，可得整個模糊系統的狀態方程為

2 基于LMI多目標模糊控制器的設計

2.1 并行分布補償定理（PDC）

并行分布補償定理是一種基于模型的模糊控制器設計方法［6］，是在T-S模糊模型的基礎上用來設計T-S模糊狀態反饋控制器。所設計的模糊控制器和系統的模糊模型具有相同的模糊規則前件，而控制器的后件部分是一個線性反饋控制器。

令Ci表示第i個子系統對應的控制器，整個系統的PDC控制器為

式中：Ki為狀態反饋增益矩陣。

整個系統的模糊控制器為

2.2 基于LMI的H∞狀態反饋控制

H∞狀態反饋控制的實質是在最壞干擾噪聲下使系統被控輸出最小的一種優化理論方法。H∞性能是衡量一個系統抗干擾能力強弱的重要指標［7］。T-S模糊控制系統的控制框圖如圖2所示。

圖2 系統反饋控制框圖

圖中P（s）為非線性系統模型；K（s）為系統的模糊狀態反饋控制器；w為外部輸入信號，包括給定信號、干擾和傳感器噪聲；z為被控輸出信號，通常包括跟蹤誤差、調節誤差和執行機構輸出；u和x分別為控制輸入信號和輸出信號。

設廣義被控對象的狀態空間為

式中：Bw，D為子系統相應維數的矩陣。

根據（9）式和給定的H∞的最小界γ（＞0），設計系統的狀態反饋控制器為

該控制器使閉環系統內穩定（（Ai+BiK）穩定），且滿足

令Q＝P-1，W＝KQ，上述H∞狀態反饋控制問題有解的充要條件是存在正定對稱矩陣Q和矩陣變量W，使得

用MATLAB的LMI工具箱進行求解，如果存在一組Q和W滿足上式，則可以求得狀態反饋陣K＝WQ-1，其中γ可以用優化問題求解。

2.3 局部模型的極點配置

閉環系統極點的分布情況決定了系統穩定性和動態性能。把模型的閉環極點配置在指定的區域中，從而可借助MATLAB工具箱進行求解。對復平面中的區域S，如果存在實數對稱矩陣L和實數矩陣M使得

則稱S是一個線性矩陣不等式區域（簡記為LMI區域）。LMI區域S的特征函數為

該LMI區域關于復平面上的實軸對稱。

設定LMI區域是以（-q，0）為圓心，R為半徑的圓，則

因此，（16）式可表示為

求解（13）式、（14）式和（19）式可得Q和Wi，再由Ki＝WiQ-1求得控制器的參數。通過上述設計可以看出，用線性矩陣不等式描述問題和求解程序比較簡單。

3 試驗仿真

磁懸浮系統模糊控制器設計的主要作用是根據系統狀態變量的變化調節電磁鐵的電流，從而實現軸承的穩定懸浮。文中建立系統的T-S模糊模型是在位移的變化范圍以及相應的控制電流取值范圍內選取（0，0），（0.05，-1）和（-0.05，1）3個工作點，每個工作點的系統模型即為整個系統的局部模型。對于上述磁軸承模型可以近似為

對應規則中x和u的隸屬度函數如圖3所示。

圖3 x和u的隸屬度函數

選取2個工作點，根據上述規則，由（4）式可得系統矩陣為

由此可知，模糊控制器和被控對象的規則使用了相同的模糊語言值，且具有相同的規則條數，從實際應用來看，該方法可簡化模糊控制器的設計。

利用MATLAB中的LMI工具箱求解上述的多目標矩陣，可得控制器參數為

將其代入所設計的控制器中進行仿真，系統的狀態圖和模糊控制器的輸出分別如圖4和圖5所示。

圖4 系統狀態圖

圖5 模糊控制器輸出

從圖4和圖5可以看出，多目標控制作用的模糊控制器的輸出是穩定的，系統基本保持在平衡點振動，證明該控制器具有良好的周期抑制能力，可滿足要求的性能指標，并且多目標控制器的瞬態響應優于單目標控制器的瞬態響應。

4 結束語

針對非線性系統提出了用T-S模糊模型建模的方法，該方法無需建立系統的精確模型，大大減少了模糊的規則數，簡化了設計過程。線性矩陣不等式的方法給出了一個問題求解的凸約束條件，設計的控制器可同時滿足系統穩定性和極點配置的要求。經仿真證明，T-S模糊控制方法可以滿足工作要求，并且具有較好的魯棒性。