楊咸啟，劉勝榮，褚園，錢勝

（黃山學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，安徽 黃山 245041）

工程實(shí)踐中2個相互接觸的物體承受較大載荷的情況較常見，如軸承零件內(nèi)部接觸、齒輪嚙合接觸、火車輪軌接觸等，通常都需要計算接觸部位的應(yīng)力，校核其材料的屈服強(qiáng)度。下文基于彈性接觸理論［1］，通過對Hertz理論結(jié)果的分析，建立了應(yīng)力狀態(tài)的簡化計算方法，并給出了接觸應(yīng)力屈服強(qiáng)度模型，以便于工程實(shí)際計算。

1 Hertz接觸應(yīng)力理論

根據(jù)初始接觸狀態(tài)的不同，將接觸分為點(diǎn)接觸和線接觸。球軸承或調(diào)心滾子軸承中滾動體與套圈滾道接觸是典型的2個光滑的曲面體在外力Q作用下的點(diǎn)接觸，如圖1a所示。2個曲面的2個方向上主曲率分別為ρI1，ρI2，ρII1，ρII2。其中，I，II代表2個主方向，1，2代表2種接觸體。物體材料的彈性模量和泊松比分別為E1，ν1和E2，ν2。

圖1 軸承滾動體與滾道曲面體接觸

根據(jù)Hertz理論［1］，施加載荷后，接觸區(qū)域一般為橢圓（圖1b），整個接觸區(qū)上的壓應(yīng)力分布如圖1c所示，即

式中：e為接觸橢圓率；δ為2個物體初始接觸點(diǎn)變形之和（趨近量）；~E為當(dāng)量等效彈性模量；Γ（e）為第一類完全橢圓積分；Π（e）為第二類完全橢圓積分；∑ρ為2個表面主曲率代數(shù)和。

2 接觸應(yīng)力的簡化計算

為方便計算接觸應(yīng)力，建立輔助函數(shù)。設(shè)曲面的2個方向上主曲率半徑為RI1，RI2，RII1，RII2，則定義輔助函數(shù)［2］

顯然，當(dāng)已知接觸表面的主曲率后，由（9）式、（10）式就可以確定接觸橢圓率e，進(jìn)一步可以計算出第一類和第二類完全橢圓積分，最后可求出接觸區(qū)橢圓半軸長度。

為了利用簡化公式，并與文獻(xiàn)［2］的表達(dá)形式一致，將接觸參數(shù)表示為

要得出表1中各量的值，需先計算出F（ρ），再利用直接查表或插補(bǔ)［4-5］的方法計算，為了便于應(yīng)用，擬合出了一種簡化的近似計算公式

表1 量綱一化的接觸參數(shù)

利用（14）式計算出e值的誤差可以控制在1%以內(nèi)。

在具體的軸承接觸應(yīng)力計算時，輔助函數(shù)F（ρ）和∑ρ的表達(dá)式如下［4］：

（1）球軸承

內(nèi)圈溝道接觸點(diǎn)

式中：Dw為球徑；fi，fe為內(nèi)、外溝道曲率系數(shù)；γ＝Dwcosα／Dpw，Dpw為球組節(jié)圓直徑；α為軸承名義接觸角。

（2）調(diào)心滾子軸承

內(nèi)圈滾道接觸點(diǎn)

式中：Dw為滾子直徑；R為滾子輪廓半徑；ri，re為內(nèi)、外滾道曲率半徑。

3 接觸應(yīng)力狀態(tài)與塑性屈服

為了分析軸承接觸屈服強(qiáng)度，首先需要計算接觸應(yīng)力狀態(tài)。根據(jù)彈性力學(xué)理論，文獻(xiàn)［2］中已經(jīng)給出了計算曲線結(jié)果。為了方便工程實(shí)際應(yīng)用，針對多種接觸條件下的應(yīng)力，根據(jù)文獻(xiàn)［2］中的結(jié)果，給出了幾種關(guān)鍵點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)估計式。

（1）對于點(diǎn)接觸情況，接觸中心點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為

這是一種3向受壓的應(yīng)力狀態(tài)，材料可能出現(xiàn)塑性變形。采用第四強(qiáng)度理論的計算等效應(yīng)力為

式中：［σc］為材料屈服極限壓應(yīng)力；m為當(dāng)量系數(shù)，取0.2～0.6；［σcp］為許用壓應(yīng)力。

由于軸承鋼材料的屈服極限應(yīng)力通常為［σc］＝300 MPa，則［σcp］＝600～1 200 MPa。

對于軸承額定靜載荷，GB／T 4662—2012《滾動軸承 額定靜載荷》提出了相應(yīng)的允許接觸面材料發(fā)生0.000 1Dw（滾動體直徑）的塑性變形，這時可以認(rèn)為材料達(dá)到塑性安定狀態(tài)，塑性安定的應(yīng)力條件為

通常取［σsp］＝2 400～4 800MPa。國際標(biāo)準(zhǔn)推薦值為［4］：調(diào)心球軸承［σsp］＝4 600 MPa，其他球軸承［σsp］＝4 200 MPa；滾子軸承［σsp］＝4 000 MPa。

4 校核計算實(shí)例

球與弧形凹槽為點(diǎn)接觸（球軸承接觸模型），如圖2所示。球的半徑r＝11 mm，槽的2個接觸主方向上的半徑為R1＝70 mm，R2＝11.51 mm。2種接觸材料均是鋼材，E＝207 GPa，ν＝0.3。取［σcp］＝1 200 MPa，［σsp］＝4 200 MPa。接觸載荷Q＝3.5 kN。

圖2 點(diǎn)接觸模型

由（8），（9）式得：ρI1＝ρII1＝0.090 90 mm-1，ρI2＝0．014 28 mm-1，ρII2＝-0．086 88 mm-1，∑ρ＝0．109 2 mm-1，F(xiàn)（ρ）＝0．926 37，代入（14）～（16）式計算得e＝0．991 95，Γ（e）＝3．462 65，Π（e）＝1．023 75。

而利用直接查表和插補(bǔ)計算方法得到的e＝0．992 35，兩者的相對誤差ε＝0．04%。

顯然，pmax＞［σcp］，該接觸應(yīng)力已經(jīng)超出了材料的屈服極限值，進(jìn)入到塑性變形。但pmax＜［σsp］，可以認(rèn)為塑性變形處在安定狀態(tài)。

5 結(jié)束語

通過對Hertz接觸應(yīng)力理論的分析，將接觸應(yīng)力計算過程進(jìn)行了簡化。采用擬合的接觸曲率函數(shù)與接觸橢圓率e的關(guān)系函數(shù)，省去了復(fù)雜的計算過程，使接觸應(yīng)力計算變得相對簡化。另外，對接觸區(qū)上關(guān)鍵點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)采用近似估計公式，為接觸屈服強(qiáng)度校核創(chuàng)造了條件。同時，建立了接觸屈服強(qiáng)度和屈服安定校核方法。通過對工程實(shí)例的分析，證明了該方法是有效的。