關注解三角形中的“開放性”試題

◇ 甘肅 黃麗川

由于解三角形中的“開放性”試題在題設條件方面具有不確定性，能較好地考查學生對創新試題的適應能力，有效培養學生的探索、創新精神，所以此類問題值得關注.

1 與三角函數綜合，考查值域問題

例1在①C，②a2-這兩個條件中任選一個補充在下面問題中的橫線上，并解答相應的問題.

在銳角△ABC 中，內角A，B，C 的對邊分別為a，b，c，且 滿 足，若m=2sin2B-2sinBcosC，求m 的取值范圍.

解析

于是，m=2sin2B-2sinBcosC=1-cos2B-

點評

若選①，需考慮正弦定理與三角恒等變換的綜合運用；若選②，解析過程最為簡捷！

2 與三角函數綜合，考查是否存在型問題

例2在①2acosB=2c-b，②（sinA+sinB）·（a-b）+bsinC=csinC 這兩個條件中任選一個補充到下面問題中，若問題中的C 存在，求C 的值，若C不存在，請說明理由.

設△ABC 的內角A，B，C 的對邊分別為a，b，c，已知，是否存在C，使得

解析

選①，問題中的C 不存在，理由如下.

因為2acosB=2c-b，所以由正弦定理知2sinAcosB=2sinC-sinB.又因為sinC=sin（A+B），所以2sinAcosB=2sin（A+B）-sinB，即2cosAsinB=sinB.又因為sinB＞0，所以cosA=又因為0＜A＜π，所以

選②，問題中的C 不存在，理由如下.

由（sinA+sinB）（a-b）+bsinC=csinC 及正弦定理可得a2-b2+bc=c2，由余弦定理得cosA=又因為0＜A＜π，所以以下與選①解題過程相同.

點評

對比可知：若選①，則必須考慮解三角形中的正弦定理與三角恒等變換的靈活運用；若選②，則必須考慮解三角形中正弦定理、余弦定理的綜合運用.

綜上，通過對解三角形中“開放性”問題的求解，有利于增強學生對解三角形與三角函數知識的綜合運用能力，有利于提高學生分析、解決問題的實際能力，有利于提升學生的數學核心素養，故必須引起我們的高度重視.