妙用“不變量”的最小公倍數

江麗芳

在解答一些有關比的復雜的應用題時，如果善于從已知條件中找出“不變量”，然后求出“不變量”的最小公倍數，使“不變量”的份數相同，那么復雜的問題就會迎刃而解。“不變量”要根據具體題目確定，可能是其中的某一個數量，也可能是總量，還可能是某兩個量的差。

【例1】甲、乙兩個班原有圖書本數的比是5：6，如果甲增加125本，這時兩個班圖書本數的比是5：4。兩個班原來各有圖書多少本？

【分析與解】由題意可知，乙班的圖書本數沒有變。乙班的圖書本數是“不變量”，但份數變化了，原來是6份，現在是4份。如果能使這兩種情況中乙班的圖書份數相同，問題就能迎刃而解。我們先求出6和4的最小公倍數12。

原來：甲：乙=5：6=10：12

現在：甲：乙=5：4=15：12

這樣在兩種不同的情況中，乙班的份數都是12份。由此可知，甲增加的125本，相當于15-10=5（份），每份數是125÷5=25（本）。所以，甲班原來圖書本數就是25×10=250（本），乙班原來圖書本數就是25×12=300（本）。

【例2】甲、乙兩袋大米原來的重量比是4：3，如果從甲袋取20千克放入乙袋中，這時甲、乙兩袋大米的重量比是1：1。原來甲、乙兩袋大米各多少千克？

【分析與解】由題意可知，雖然甲、乙兩袋大米都發生了變化，但兩袋大米的總重量沒有變化。總重量是“不變量”，但總份數發生了變化。原來的總份數是4+3=7（份），現在的是1+1=2（份）。我們不妨借用“不變量”的最小公倍數，即借用總份數7和2的最小公倍數14來巧解題。

原來：甲：乙=4：3=8：6

現在：甲：乙=1：1=7：7

這樣就使得兩種情況的總份數都是14份。由此可知，對甲袋而言，減少20千克的大米，相當于減少了8-7=1（份），每份是20÷1=20（千克）。所以，原來甲袋有大米20×8=160（千克），乙袋有大米20×6=120（千克）。

【例3】甲、乙兩件衣服原來的價格比是7：4，后來兩件衣服都降價140元，兩件衣服的價格比是7：2。甲、乙兩件衣服原來的價格是多少元？

【分析與解】因為甲、乙兩件衣服都降價140元，所以降價前后兩件衣服的價格差不變。價格差是“不變量”，但價格差的份數發生了變化。降價前兩件衣服的價格差為7-4=3（份），降價后兩件衣服的價格差為7-2=5（份），如果能使降價前后的價格差的份數相同，問題也就解決了。3和5的最小公倍數是15。

原來：甲：乙=7：4=35：20

現在：甲：乙=7：2=21：6

這樣降價前后的價格差都是15份。由此可知，甲衣服的價格下降140元，也就是降價了35-21=14（份），每份是140÷14=10（元）。所以，甲衣服的價格是10×35=350（元），乙衣服的價格是10×20=200（元）。