公因數與公倍數的典型應用

張基軍

利用求最大公因數和最小公倍數的方法，可以輕松解決很多用常規方法難以解決的問題。這種方法究竟有多神奇？讓我們一起來看看吧。

【例1】一個房間長90分米，寬66分米。現計劃用正方形方磚鋪地，需要用邊長最大為多少分米的整磚多少塊，才能剛好鋪滿整個房間？

【分析與解】要想用整塊邊長盡可能大的方磚剛好鋪滿房間，那么每塊方磚的邊長必須是90和66的最大公因數。90和66的最大公因數是6，所以正方形方磚的邊長應是6分米。

房間的面積：90×66=5940（平方分米）

方磚的面積：6×6=36（平方分米）

需要方磚的塊數：5940÷36=165（塊）

此類問題的解題關鍵是抓住“邊長最大”“剛好鋪滿”等關鍵詞，找出問題的本質——求最大公因數來解決問題。

【例2】把46塊水果糖和38塊巧克力平均分給一個組的同學，結果水果糖剩1塊，巧克力剩3塊。這個組最多有幾位同學？

【分析與解】如果將多余的1塊水果糖和3塊巧克力減去，則剩下的水果糖和巧克力剛好分完。要求出這個小組最多有幾位同學，實際就是計算45（46-1）和35（38-3）的最大公因數。45的因數有1、3、5、9、15、45，35的因數有1、5、7、35，45和35的公因數是5，所以這個組最多有5人。

【例3】紅旗印刷廠印刷一批書，每12本扎成一捆，就多出11本；每18本扎成一捆，就少1本。已知這批書總本數在550～600之間，這批書共有多少本？

【分析與解】根據題意，“每12本扎成一捆，就多出11本”，也可理解為每12本扎成一捆，就少1本。將少的1本先補上，這樣書的本數就正好是12和18的倍數。12與18的最小公倍數是36。因為這批書的本數在550-600之間，600÷36=16……24，所以書的本數為36×16=576（本）。再將補上的1本減去，所以這批書總共有576-1=575（本）。

【例4】小明家到學校的路上豎有電線桿55根。原來每相隔50米的距離豎1根，現在要改成每相隔60米的距離豎1根，那么除兩端的兩根電線桿不需移動外，中間有多少根也不需移動？

【分析與解】中間第1根不必移動的電線桿，它的位置是50和60的最小公倍數處的那一根；以50和60的最小公倍數作為一個周期，看總距離中包含著幾個這樣的周期就有幾根電線桿不用移動。第1根電線桿到最后1根電線桿的總距離是50×（55-1）=2700（米），50和60的最小公倍數是300，即從第1根開始，每隔300米的那一根電線桿不需移動，這樣的電線桿共有2700÷300=9（根），再去掉最后一根，中間共有9-1=8（根）不需移動。

【練一練】

1 有336個蘋果，252個橘子，210個梨，用這些水果最多可分成若干份同樣的禮物。在每份禮物中，蘋果、橘子、梨各有多少個？

2 甲、乙兩人在同一公司上班，甲每上班2天休假1天，乙每上班3天休假1天。甲、乙兩人在某個星期天休假時商議，下一次休假若都在星期天就一起出游，則此兩人共同出游與此次商議至少需相差多少天？