改善和提高參數單側假設檢驗教學效果的實踐與探索

＼[作者簡介＼]李景和（1963），男，天津人。副教授，主要研究方向為工科數學教學。

＼[摘要＼]

分析了參數單側假設

檢驗教學的現狀和存在的問題，提出和論證在該部分內容的教學中應注意講好思想方法、確定好小概率事件和適當介紹參數單側檢驗中原假設的確立原則。通過加強這三個方面的工作，以期緩解學生學習的畏難情緒，提高學生的學習興趣，從而有效改善和提高參數單側假設檢驗的教學效果。

＼[關鍵詞＼]單側假設檢驗;思想方法;小概率事件;原假設;備擇假設

＼[中圖分類號＼]O212.1＼[文獻標識碼＼]A＼[文章編號＼]10054634（2015）03008403

1參數單側檢驗教學的現狀和存在的問題以及存在問題的原因分析

總體未知參數的單側假設檢驗是工科數理統計教學的正式內容，但該部分內容的教學現狀不盡人意，學生對單側檢驗的思想和方法掌握不佳，一些學生反映聽不懂，跟不上，作業完成不理想。由于目前期末考試假設檢驗部分的考題一直是以一個正態總體未知參數的雙側檢驗為主，很少涉及單側檢驗，因此教師在教學中對未知參數單側檢驗遠不如對雙側檢驗重視，參數單側檢驗的教學處于一種尷尬的境地。造成學生學習困難的一個主要原因是概率論與數理統計概念多、結論多、公式多、記憶壓力較大。未知參數的假設檢驗包含一個正態總體參數的、兩個正態總體參數的和非正態總體參數的三個大方面，而這三個大方面又各自分若干種情況，就河北工業大學使用的教材（文獻＼[1＼]）而言，假設檢驗三大方面總共介紹10種情況，每種情況又可以再分成雙側和兩種單側假設檢驗，這樣最后推得的結論共30個，教學內容顯得枯燥和繁瑣。假設檢驗是教學的最后一章，一些基礎不太好的初學者還不能消化和理解前面章節講過的抽樣分布定理和分位數等相關結論，從而不能將其應用到假設檢驗之中，在參數雙側檢驗時尚可堅持，而在單側檢驗時便感到力不從心，甚至放棄學習。

2改善和提高參數單側檢驗教學效果的內容參數單側假設檢驗是正式的教學內容，面對教學中的困難，教師不應回避矛盾，應當積極探索，大膽實踐，特別是在基礎較好的統招生的教學中，更應嚴格按照教學大綱的規定，認真講好每一部分內容。筆者以為改善和提高參數單側檢驗教學效果應從以下三個方面入手。

2.1講好思想方法

改善和提高參數單側檢驗教學效果的最重要環節是講好假設檢驗的思想方法。假設檢驗的思想方法簡單概括起來就是：在假定原假設H0成立的情況下，構造一個小概率事件，看具體抽樣中小概率事件是否發生，若發生，則拒絕H0;若沒發生，則接受H0。其思想方法根據有兩條，一是“實際推斷原理”，即認為小概率事件在一次試驗中不會發生，二是概率性質的反證法

。具體解題步驟如下。

1） 寫出原假設H0和備擇假設H1。

2） 假定原假設H0成立，選擇適宜的統計量，根據統計量的分布和分位數的定義寫出小概率表達式。

3） 根據原題給的樣本值，通過計算統計量的觀察值看小概率事件是否發生。若發生，則拒絕H0;否則接受H0。

值得注意的是從參數雙側假設檢驗到單側假設檢驗，其思想方法沒變，具體解題步驟沒變，統計量的選擇也沒變。變化的是H0或H1中的

等式變為不等式，小概率表達式中由統計量落入兩個區間的并變為統計量落入單個區間，即統計量大于等于某個數或小于等于某個數的概率是小概率α，從而最后得到的拒絕域由兩個區間變為單個區間。教材中在介紹參數假設檢驗時，對每種情況都將雙側和單側檢驗一起給出，筆者以為可參考文獻＼[2＼]的順序，先集中介紹雙側假設檢驗，然后再講解單側假設檢驗更為適宜，這樣可使坡度變緩，利于初學者循序漸進地掌握內容。雙側假設檢驗的教學必須突出假設檢驗的思想方法，并在一個正態總體—兩個正態總體—非正態總體的過程中不斷體會這一思想，同時進一步加深記憶和理解檢驗統計量及其分布，為單側檢驗教學打下良好的基礎。

2.2確定好小概率事件

改善和提高參數單側檢驗教學效果的另一個重要環節是確定好小概率事件。在假定原假設H0成立的情況下，結合備擇假設H1，分析檢驗統計量的觀察值理應偏大還是偏小，偏小或偏大不正常，從而寫出小概率表達式是最直觀簡便的方法＼[2＼]，下面以一個正態

總體方差的假設檢驗為例說明。

設X～N（μ，σ2），μ未知，（X1，X2，……，Xn）是來自總體X的樣本，在顯著性水平a下檢驗假設H0：σ2≥σ20，H1：σ2<σ20。取檢驗統計量χ2=（n-1）S2σ20，樣本方差S2是總體方差σ2的一個較好的估計量（是無偏和一致估計量），S2的觀察值s2比σ2越大，對H0越有信心，否則s2比σ20越小，傾向于拒絕H0。顯然，若σ2≥σ20，則S2的觀察值s2對于σ20而言理應偏大，即s2使（n-1）s2σ20偏大，否則偏小是不正常的，是小概率事件。當σ2=σ20時，χ2=（n-1）S2σ20～χ2（n-1）。

根據教材（文獻[1]）中分位數的定義，有P{χ2≤χ2a（n-1）}=α，H0的拒絕域為（-∞，χ2a（n-1）＼]。

需要進一步說明的是，這里P{χ2≤χ2a（n-1）}=α是在σ2=σ20時成立的，事實上當σ2>σ20時，可證明P{χ2≤χ2a（n-1）}≤α，即當σ2>σ20時，{χ2≤χ2a（n-1）}依然是小概率事件，證明如下：當σ2>σ20時，統計量χ2=（n-1）S2σ20可計算其觀察值，但不知其分布，而在此時已知分布的是，

χ20=（n-1）S2σ2～χ2（n-1），

有：P{χ20≤χ2a（n-1）}=α。由σ2>σ20知：

（n-1）S2σ20>（n-1）S2σ2，

有：

（n-1）S2σ20≤χ20（n-1）

（n-1）S2σ2≤χ2a（n-1）

。

故：

P{χ2≤χ2a（n-1）}=P（n-1）S2σ20≤χ2a（n-1）

≤P（n-1）S2σ2≤χ2a（n-1）

=P{χ20≤χ2a（n-1）}=α。

從而此時事件{χ2χ2a（n-1）}的概率不超過α，依然是小概率事件。若檢驗假設是H0：σ2=σ20，H1：σ2<σ20，則當原假設成立時，結合備擇假設知χ2=（n-1）s2σ20偏小是

不正常的，是小概率事件，從而拒絕域仍為（-∞，χ2a（n-1）＼]。

所有參數單側檢驗都可以在假定原假設成立情況下，結合備擇假設，通過分析檢驗統計量的觀察值理應偏大還是偏小，偏小或偏大不正常，從而寫出小概率表達式，這是初學者確定好參數單側檢驗小概率事件一個很好的切入點，同時在所有參數單側檢驗中，經過分析對原假設中等號成立時由相應檢驗統計量和顯著性水平所確定的小概率表達式，可以證明這個小概率表達式中的小概率事件在原假設中的不等號（原假設中的不等號均含有等號，即為“大于等于”或“小于等于”）去掉等號后，仍然是小概率事件，即其概率不超過顯著性水平α。

2.3適當介紹參數單側檢驗中原假設的確立原則

參數單側檢驗中如何正確確立原假設和備擇假設問題是教學難點，也是必須面對的問題，因為在不同的教材或輔導書中，同一個參數假設檢驗問題，當原假設和備擇假設的內容交換以后，可能對檢驗的問題會做出截然相反的結論，學生會對此感到困惑，甚至一些老師也沒徹底弄明白。事實上，原假設和備擇假設不是對等的，不能隨意對換。假設檢驗主要是檢驗備擇假設的，當結論是拒絕原假設而接受備擇假設時理由是比較充分的，應當說有1-α的把握;當結論是接受原假設時，只能說是根據已得到的數據還不能接受備擇假設而已＼[3＼]，正確的設立原假設方使假設檢驗達到目的，原假設的確立原則可大

致簡單歸納如下＼[46＼]。

1） 將有較大信心成立和不能輕易否定的結論作為原假設H0。一般來說，把應該受到保護、有足夠證據時才能否定的命題或“不證自明”的命題作為原假設， 拒絕原假設應當謹慎，在沒有充分證據時不能輕易拒絕原假設H0。

2） 將希望否定的現象作為原假設H0。由于假設檢驗拒絕原假設比接受原假設的理由更加充分，因此在實際應用中應將檢驗者希望否定的現象設定為原假設，將研究者希望肯定的現象設定為備擇假設。例如，要檢驗新方法、新材料或新工藝是否比原來的好，則在假設檢驗中將原方法、原材料或原工藝取為原假設H0，以便有足夠的理由來說明新方法、新材料或新工藝比原來的要好。

3） 原假設中應包含等號。顯然，檢驗時，小概率的表達式是在原假設中等號成立

時成立的，此時未知參數取常數，方得到檢驗統計量，因為統計量是不能含有未知參數的，因此原假設一定是“等于”、“大于等于”、“小于等于”某值三種情況之一。

4） 使后果嚴重的錯誤為第一類錯誤。 此前已向學生介紹了假設檢驗中的兩類錯誤，在某些情況下， 將造成后果嚴重的錯誤設置為第一類錯誤， 以此確定原假設，因為犯第一類錯誤的概率是可以通過選取顯著性水平α的大小來控制的，犯第二類錯誤的概率β是無法控制的。

5） 根據建立假設的角度和側重點。原假設的確立有時和檢驗者看問題的角度和側

重點有關，比如X是某產品的使用壽命，其數學期望是μ，產品合格的標準是μ≥μ0，這時若將原假設定為H0：μ≥μ0，則控制犯第一類錯誤是控制將合格品當作不合格品;若將原假設定為H0：μ≤μ0，則控制犯第一類錯誤是控制將不合格品當作合格品。顯然

第二種原假設是側重于保護消費者利益的。實際生活中如何選取原假設可能比較復雜，需要在實踐中去體會和積累經驗，根據實際情況去判斷，而初學者需要在熟悉基礎概念的基礎上認真思考，深入體驗假設檢驗的方法。在教學中，介紹該部分內容應從實際出發，立足學生的基礎和學時數。在做題時，一般題目中與上面歸納的5條相關描述是比較清楚的，需仔細審題，看清題意，從而正確選取原假設和備擇假設。

3結語

假設檢驗作為數理統計的基本方法，其應用日益重要，其中參數單側檢驗在實際生活中普遍存在，如產品的使用壽命越長越好，次品率越低越好，方差越小越好等等。參數單側檢驗是正式的教學內容，是雙側檢驗的繼續和延伸，通過單側檢驗的學習可進一步加深體會假設檢驗的思想方法。同時在講好雙側檢驗的基礎上使學生掌握好單側檢驗是完全可行的，學習單側檢驗和學習雙側檢驗所需要的基礎知識完全相同，無需死記硬背結論與公式，只須掌握思想方法，在理解基礎上進行記憶，并對規律進行總結，比如參數單側檢驗中表示拒絕域的不等號的方向總是和備擇假設中不等號的方向是一致的等等，通過深入理解思想，熟練掌握方法和總結結論中的規律來緩解記憶壓力。

筆者近幾年在學校統招生和城市學院（獨立學院）從事概率論與數理統計教學工作，在講授參數單側假設檢驗時，按照上面提及的三個方面進行了探索和實踐，感到學生對學習參數單側檢驗的畏難情緒有所減弱，記憶壓力得到緩解，自信心和學習興趣有較大提高。這種教學實踐特別受基礎較好準備考研同學的歡迎。實踐表明，講好思想方法和確定好小概率事件以及適當介紹參數單側檢驗中原假設的確立原則是改善和提高參數單側假設檢驗教學效果的重要環節和有益探索。

參考文獻

＼[1＼] 金大永，徐勇.概率論與數理統計＼[M＼].北京：高等教育出版社，2011：198216.

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