“恒成立”條件下參數范圍的求解策略

徐創瑜

下面就數學中常見的恒成立條件下參數范圍的求解問題作一總結。

1.分離參數法

若在等式或不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩側，則可將恒成立問題轉化為函數的最值問題進行求解。

在給出的不等式中，如果通過恒等變形不能直接解出參數，則可將兩變量分別置于不等式的兩邊，即：若f（a）≥g（x）恒成立，只須求出g（x）max，則f（a）≥g（x）max，然后解不等式求出參數a的取值范圍;若f（a）≤g（x）恒成立，只須求出g（x）min，則f（a）≤g（x）min，然后解不等式求出參數a的取值范圍，問題還是轉化為函數求最值。

2.變換主元法（適用于一次函數型）

在給出的含有兩個變量的不等式中，我們習慣把變量x看成是主元（未知數），而把另一個變量a看成參數，在有些問題中這樣的解題過程比較繁瑣.如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數，則可得到意想不到的效果，使問題能更迅速地得到解決。

例對于滿足|p|≤2的所有實數p，求使不等式x2+px+1>2x+p恒成立的x的取值范圍。

分析：在不等式中出現了兩個變量：x、p，并且是給出了p的范圍要求x的相應范圍，直接從x的不等式正面出發直接求解較難，若逆向思維把p看作自變量，x看成參變量，則上述問題即可轉化為在[-2，2]內關于p的一次函數函數值大于0恒成立求參變量x的范圍的問題。

解：原不等式可化為（x-1）p+x2-2x+1>0，令f（p）=（x-1）p+x2-2x+1>0，則原問題等價于f（p）>0在p∈[-2，2]上恒成立。

方法一：x-1<0f（2）>0或x-1>0f（-2）>0∴x<-1或x>3。

方法二：f（-2）>0f（2）>0即x2-4x+3>0x2-1>0解得：x>3或x<1x>1或x<-1

∴x<-1或x>3。

評注：利用函數思想，變換主元，通過直線方程的性質求解。

3.數形結合法

先將不等式（等式）兩端的式子進行合理的變形，然后把不等式（等式）兩端的式子分別看作兩個函數，且正確作出兩個函數的圖象，然后通過觀察兩圖象（特別是交點時）的位置關系，判斷參數的范圍。

評注：數形結合是數學中的一種基本思想方法，要養成從數、形兩個方面去思考問題的習慣，這在高中數學的學習中是極為有益的。

4.利用二次函數的性質

有關含有參數的一元二次不等式問題，若能把不等式轉化成二次函數或二次方程，通過根的判別式或數形結合思想，可使問題得到順利解決。常常有以下兩類情況：

（1）可化為二次函數在R上恒成立問題

設f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

①f（x）>0在x∈R上恒成立？圳a>0且△<0;

②f（x）<0在x∈R上恒成立？圳a<0且△<0。

例對于x∈R，不等式x2-2x+3-m≥0恒成立，求實數m的取值范圍。

解：不妨設f（x）=x2-2x+3-m，其函數圖象是開口向上的拋物線，為了使f（x）≥0（x∈R），只需△≤0，即（-2）2-4（3-m）≤0，

解得m≤2？圯m∈（-∞，2]。

評注：對于有關二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）的問題，可設函數f（x）=ax2+bx+c，由a的符號確定其拋物線的開口方向，再根據圖象與x軸的交點問題，由判別式進行解決。

（2）可化為二次函數在閉區間上恒成立問題

設f（x）=ax2+bx+c（a≠0）當a>0時，

為了使f（x）≥k在x∈[-1，+∞）恒成立，構造一個新函數F（x）=f（x）-k是解題的關鍵，再利用二次函數的圖象性質進行分類討論，使問題得到圓滿解決。

（作者單位：甘肅省民勤縣第四中學）