解繁瑣一元二次方程的一個(gè)小技巧

盧麗麗

【內(nèi)容摘要】本文通過(guò)蘇教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)的第一章第4節(jié)《用一元二次方程解決問(wèn)題》正義難點(diǎn)，教學(xué)中，通過(guò)不斷研究我發(fā)現(xiàn)一個(gè)很好的解這類繁瑣一元二次方程的一個(gè)小技巧（ax +b）（cx+d）=e（a≠0，c≠0）的一元二次方程。若e=0，直接就是ax+b=0或是cx+d=0，方程的兩個(gè)解易求。我們?cè)谶@研究e≠0的情況。

【關(guān)鍵詞】繁瑣一元二次方程 ?技巧 ?蘇教版

眾所周知，蘇教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)的第一章第4節(jié)《用一元二次方程解決問(wèn)題》對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)難題。在歷年中考中基本上都有一個(gè)大題出現(xiàn)，對(duì)于很多學(xué)生來(lái)說(shuō)，能列出方程已實(shí)屬不易，可是這其中又有很多方程系數(shù)很大，不論是教師還是成績(jī)好的學(xué)生遇到這樣的方程都非常頭疼。

教學(xué)中，通過(guò)不斷研究，我發(fā)現(xiàn)一個(gè)很好的解這類繁瑣一元二次方程的一個(gè)小技巧，當(dāng)然并不是所有的題目都能用，但是我敢負(fù)責(zé)任的說(shuō)百分之九十以上的題目都可以這樣解。

這種方法一般來(lái)說(shuō)適應(yīng)于形如：（ax +b）（cx+d）=e（a≠0，c≠0）的一元二次方程。若e=0，直接就是ax+b=0或是cx+d=0，方程的兩個(gè)解易求。我們?cè)谶@研究e≠0的情況。

下面我來(lái)介紹這種方法，它分為三種情況：

【情況1】（九上26頁(yè)）問(wèn)題4：龍灣風(fēng)景區(qū)旅游信息：人數(shù)不超過(guò)30人，人均收費(fèi)800元，超過(guò)30人，每增加1人，人均收費(fèi)降低10元，但人均收費(fèi)不低于500元，某公司組織一批員工到該風(fēng)景區(qū)旅游，支付給旅行社28000元，你能確定此次參加旅行的人數(shù)嗎？

解：經(jīng)過(guò)分析可知這次旅行的人數(shù)在30至60之間。我們可以設(shè)增加x人。

列方程為（30+x）（800-10x）=28000

整理為（30+x）（80-x）=2800

我們很容易想到40×70=2800，交換位置70×40=2800

當(dāng)（30+x）（80-x）=40×70=2800 時(shí)，令30+x=40，此時(shí)x=10。

恰好80-x=80-10=70。故x1=10，

當(dāng)（30+x）（80-x）=70×40=2800 時(shí)，令30+x=70，此時(shí)x=40。

恰好80-x=80-40=40。故x2=40

所以此方程解為x1=10，x2=40

能用這種解法的題目在書(shū)中頻頻出現(xiàn)。

如：九年級(jí)上冊(cè)24頁(yè)問(wèn)題1：列出方程為x（11-x）=30，我們很容易想到5×6=30。通過(guò)上述方法易求出x1=5，x2=6。

再如九上27頁(yè)練習(xí)題2：列出方程為x（50-x）=600，我們很容易想到20×30=600。通過(guò)上述方法易求出x1=20，x2=30。

還有其他題目在這我就不一一列舉了。

【情況2】（九上25頁(yè)）問(wèn)題3：某商場(chǎng)銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場(chǎng)采取了降價(jià)措施。假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降1元，商場(chǎng)平均每天可多銷售2件。如果商場(chǎng)通過(guò)銷售這批襯衫每天盈利1250元，那么襯衫的單價(jià)降了多少元？

解：設(shè)襯衫單價(jià)降了x元。

列方程為（20+2x）（40-x）=1250

先同時(shí)除以2得（10+x）（40-x）=625

對(duì)于625，我們最先想到的是25×25=625

如果10+x=25，x=15，此時(shí)40-x=40-15=25，所以x1=25，對(duì)于這種兩個(gè)數(shù)相同的情況，方程的兩個(gè)解一定是相等的，所以x1=x2=25

【情況3】一塊矩形菜地的面積是120平方米，如果它的長(zhǎng)減少2米，那么菜地就變成正方形，則原菜地的長(zhǎng)是多少？

解：我們可以設(shè)原來(lái)菜地的長(zhǎng)為x米，則寬為（x-2）米。

列方程為x（x-2）=120

我們很容易想到12×10和10×12，顯然對(duì)于12×10，令x=12，x-2=10，滿足方程，故x1=12。

對(duì)于10×12，令x=10，此時(shí)x（x-2）=10×8=80≠120，這時(shí)我們就試-10×（-12），容易驗(yàn)證這時(shí)可以，所以此方程的解為x1=12，x2=-10。

書(shū)中的題目如：九上25頁(yè)練習(xí)1：列出方程為x（x-5）=150，這題我們嘗試的是15×10=150和（-10）×（-15）= 150。通過(guò)上述方法易求出x1=15，x2= -10。

對(duì)于形如（ax+b）（cx+d）=e（a ≠0，c≠0，e≠0）的一元二次方程的解法技巧，我概括如下：如果很容易看出e=m×n，我們先令ax+b=m，解出x，代入cx+d，如果cx+d=n，此時(shí)x就是方程的一個(gè)解。（如果cx+d≠n，此時(shí)x就不是方程的一個(gè)解，仿照這種方法再嘗試e的其它兩個(gè)因數(shù)，如果連續(xù)嘗試幾次都不成功，那就老老實(shí)實(shí)的用公式法或是配方法吧）。

嘗試時(shí)：若m=n，這個(gè)方程就有兩個(gè)相等的根。若m≠n，再令ax+b=n，解出x，代入cx+d，如果cx+d=m，此時(shí)x 就是方程的另一個(gè)解。如果cx+d≠n，這時(shí)我們嘗試用e=-n×（-m），令ax+b= -n，解出x，代入cx+d，如果cx+d=-m，此時(shí)x就是方程的另一個(gè)解。

筆者在上面已強(qiáng)調(diào)，并不是所有形如：（ax+b）（cx+d）=e（a≠0，c≠0，e≠0）的一元二次方程都可以用這種方法解題。但是可以大膽地說(shuō)百分之九十以上的方程可以用此方法解。由于在用一元二次方程解決問(wèn)題的題目時(shí)，列出方程后，只需要直接寫(xiě)出結(jié)果，不要求寫(xiě)出解方程的過(guò)程，所以我們可以用這種方法試一試，很容易就能夠得出結(jié)果，而用公式法或是配方法沒(méi)有三分鐘或是更長(zhǎng)時(shí)間是解決不了的，并且計(jì)算量很大，容易出錯(cuò)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，還有很多規(guī)律和技巧，只要我們不斷探究其中規(guī)律，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，我們的思路會(huì)打開(kāi)，思維能力會(huì)增強(qiáng)，我們可以把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。中考難題也就會(huì)變的簡(jiǎn)單的多。數(shù)學(xué)也就沒(méi)有傳說(shuō)中的那么恐怖了。

（作者單位：江蘇省徐州市開(kāi)發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校）endprint