關(guān)于利用光電效應(yīng)元件作為直流電源的若干討論

常 亮

（北京教育學(xué)院宣武分院 北京 100053）

湯家新

（北京市第十五中學(xué) 北京 100054）

2015年高考北京理綜試卷的第24題是一道利用光電效應(yīng)元件作為直流電源的綜合題目.題目繼承了北京卷這幾年注重考查物理概念、規(guī)律深入理解的特色，也秉承了近幾年利用微觀機(jī)制解決宏觀現(xiàn)象的傳統(tǒng)，是在前幾年改革突破基礎(chǔ)上的又一次有益嘗試.

【原題】（2015年高考北京理綜卷第24題）真空中放置的平行金屬板可以作為光電轉(zhuǎn)換裝置，如圖1所示，光照前兩板都不帶電.以光照射A板，則板中的電子可能吸收光的能量而逸出.假設(shè)所有逸出的電子都垂直于A板向B板運動，忽略電子之間的相互作用.保持光照條件不變，a和b為接線柱.已知單位時間內(nèi)從A板逸出的電子數(shù)為N，電子逸出時的最大動能為Ekm，元電荷為e.

圖1

（1）求A板和B板之間的最大電勢差Um，以及將a和b短接時回路中的電流I短.

（2）圖示裝置可看作直流電源，求其電動勢E和內(nèi)阻r.

（3）在a和b之間連接一個外電阻時，該電阻兩端的電壓為U，外電阻上消耗的電功率設(shè)為P；單位時間內(nèi)到達(dá)B板的電子，在從A板運動到B板的過程中損失的動能之和設(shè)為ΔEk.請推導(dǎo)證明：P＝ΔEk.

（注意：解題過程中需要用到，但題目沒有給出的物理量，要在解題中做必要的說明）

分析：如果僅以解題為目的來看待此題，只要對相應(yīng)的物理概念有正確的理解，那么解決此題應(yīng)該是沒有什么問題的.

但如果我們拋開解題不談，僅借助題目給我們建立的物理模型，來研究這個過程中的具體細(xì)節(jié)，卻會發(fā)現(xiàn)很多值得思考的問題：

（1）在這樣的一個電路中能量到底是如何轉(zhuǎn)化的？

（2）這里的“電動勢”應(yīng)如何理解？其數(shù)值和斷路電壓是否相同？

（3）題目中所涉及的“內(nèi)阻”具體是由什么機(jī)制造成的？決定“內(nèi)阻”大小的因素是什么？

為了回答這幾個問題，我們首先看題目給出的短接情況.根據(jù)外電路短路的特點，我們可以確定兩點：（1）從能量角度講電源中非靜電力所做的功將全部消耗在內(nèi)阻上.（2）A，B兩板等勢.再結(jié)合本裝置的特點，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)A板中的電子首先吸收了一份光子能量hν，在逃離A板的過程中就消耗掉了W＋ΔE1的能量，其中W是逸出功，相當(dāng)于脫離金屬對電子的“勢阱”所消耗的能量，ΔE1是電子在逃離金屬過程中與其他原子實相碰所生的熱①這里將ΔE1看做是“電子在逃離金屬過程中與其他原子實相碰所生的熱”完全是一種經(jīng)典金屬理論的猜測.現(xiàn)代量子力學(xué)告訴我們，當(dāng)金屬發(fā)生光電效應(yīng)時溢出電子的動能幾乎均為最大初動能，極個別的電子動能小于這個數(shù)值.因此在這里做這個假設(shè)也只是對本題“內(nèi)阻”的一種解讀，并不作為對光電效應(yīng)的一種理解..電子脫離A板后，由于A，B兩板等勢而勻速通過A，B兩板之間的區(qū)域，然后與B板發(fā)生相互作用，再沿導(dǎo)線無能量損失地回到A板，進(jìn)入A板的過程也就是回到“勢阱”的過程.

經(jīng)過這樣一次循環(huán)我們可以發(fā)現(xiàn)，整個過程中能量只消耗在兩個地方：一個是電子逃離A板時與其他原子實相碰所生的熱，一個是與B板發(fā)生相互作用時損失的能量.又因為外電路短路，全部能量只能消耗在內(nèi)電路，所以電子在涌向B板時所具有的動能一定要全部消耗在與B板發(fā)生相互作用的過程中，即電子將與B板發(fā)生完全非彈性碰撞喪失全部動能.因此從能量角度講這兩部分能量損失（從A板逸出，與B板撞擊）就代表了此電源的“內(nèi)阻”.這里值得說明的是逸出功W，因為電子經(jīng)過一次循環(huán)又回到“勢阱”所以整體來看這份能量并沒有發(fā)生轉(zhuǎn)化，不算是能量消耗.

那這兩部分能量消耗到底消耗了多少能量呢？如果我們用ΔE2來表示電子與B板作用所消耗的能量的話，不難發(fā)現(xiàn)如下的能量關(guān)系

因此

因為從能量角度講電源中非靜電力所做的功將全部消耗在內(nèi)阻上.所以ΔE1＋ΔE2＝hν－W就是電源對每一個電子所做的非靜電力的功.這與電子逸出A板時的動能無關(guān)，對于任何一個光電子都相同.因此從電源電動勢的定義出發(fā)與題目中所算的斷路路端電壓相同.

在外電路是通路的情況下，由于外電阻R的存在，A，B兩板間必然存在U＝IR的電勢差，因此電子由A板逸出后必將減速通過兩板，此時電子的動能減少，電勢能增加，完成了非靜電力做功轉(zhuǎn)化為電勢能的過程.這部分增加的電勢能又通過外電路轉(zhuǎn)化為其他形式的能，這便是題目中第三問所要證明的問題.但與此同時，因為A，B兩板此時的電勢差一定比第一問所求的最大電勢差小，因此電子雖然在兩板間減速前進(jìn)，但在到達(dá)B板之前仍有剩余動能，這部分動能在電子與B板撞擊過程中轉(zhuǎn)化為其他形式的能.這份由于撞擊而損失的能量再加上電子逸出時由于生熱所消耗的能量也就是此時內(nèi)阻消耗的能量.至此可以看出，短路與通路在解釋內(nèi)阻成因及電動勢大小時是一致的.（此模型的能量轉(zhuǎn)化與原電池恰恰相反.原電池中電勢的躍遷發(fā)生在兩個極柱附近，內(nèi)阻由兩極間的電解液構(gòu)成.而這里電勢能的增加是在兩板間逐漸形成的，而內(nèi)阻卻是在兩極板附近突變造成的.）

解決了內(nèi)阻的形成機(jī)制，我們再來看看影響內(nèi)阻的因素.按題目給我們的線索，內(nèi)阻在光電效應(yīng)的背景下Um由電子的最大初動能決定，也就是由光的頻率和A板材料決定；I短即單位時間內(nèi)逸出電子數(shù)，與光強(qiáng)和A板材料有關(guān).由此可看出“阻礙”雖是由A，B兩板造成的，但內(nèi)阻r的大小卻主要由入射光的參數(shù)決定.不僅如此，如果進(jìn)一步思考就會發(fā)現(xiàn)，嚴(yán)格說來確定的是電路處于短路狀態(tài)下的內(nèi)阻，至于通路狀態(tài)下的內(nèi)阻呢？其阻值是否與短路情況相一致呢？在通路情況下這里的Um仍指電動勢，在不改變內(nèi)電路裝置結(jié)構(gòu)及參數(shù)，只改變外電路阻值的情況下，Um恒定；UAB指通路狀態(tài)下A，B兩板間的電壓；I指通路狀態(tài)下的實際電流.正如前面所分析的，當(dāng)電路處于通路的情況下，電子不會像短路時勻速由A到B，必將做減速運動，而且不僅做減速運動，由于電子從A板逸出時的動能并不都是Ekm，因此那些初動能小的電子必將沒有機(jī)會到達(dá)B板.這樣一來單位時間內(nèi)由A到B的電子數(shù)目就會減小，也就是說電流I會減小.假設(shè)當(dāng)外電路電阻取某值時，UAB恰為，若要此時的內(nèi)阻r與短路時相同，就要求單位時間由A到B的電子數(shù)目是即初動能大于的電子數(shù)目要等于假設(shè)當(dāng)外電路電阻取某值時，UAB恰為若要此時的內(nèi)阻r與短路時相同，就要求單位時間由A到B的電子數(shù)目是即初動能大于的電子數(shù)目要等于.因為只是特例，不過以此為例我們可以看出，若要通路時的內(nèi)阻恒定且與短路時的內(nèi)阻相同，就要求逸出電子的動能是均勻分布的，即每一能量值下對應(yīng)的電子數(shù)目一樣多.

其關(guān)系如圖2所示，其中橫軸是逸出電子的序列，向上的縱軸是逸出電子的動能.如果逸出電子的動能是均勻分布的，將所有N個電子按能量由小到大排列其Ek－n關(guān)系就應(yīng)該是一條直線.向下的半軸代表電子從A板逸出時生熱所消耗的能量，顯然逸出時所攜帶動能越小就說明在逸出過程中損失能量越多，對于任何一個電子都存在Ek＋ΔE1＝hν－W.由此可知，當(dāng)外電路短路時內(nèi)阻消耗的能量就是圖中上、下兩個大三角形的面積（下面的三角形代表從A板逸出時消耗的能量，上面的三角形代表與B板撞擊時消耗的能量）.當(dāng)UAB恰為時只有能量大于的電子可以到達(dá)B板，而且這些電子在由A到B的過程中都要損失因此在從A板逸出和與B撞擊過程中，消耗在內(nèi)阻上的能量僅為圖中兩陰影面積（下面的陰影代表從A板逸出時消耗的能量，上面的陰影代表與B板撞擊時消耗的能量），此時的陰影面積恰好是兩個大三角形面積的的結(jié)果.而且由圖可知，此時外電路消耗的能量恰好為兩個大三角形面積的是內(nèi)阻消耗能量的2倍，與分壓關(guān)系相符.

圖2

因此，無論從U－I關(guān)系還是能量關(guān)系上看，若要內(nèi)阻r恒定，都要求逸出電子的動能是均勻分布的.這也是本題的一個重要隱含條件，由于解題過程并不需要這個條件，所以題干中并沒有給出，但作為理解此裝置工作細(xì)節(jié)的重要條件，教師對此還應(yīng)引起足夠的重視.

綜上所述：

（1）在本電路中電勢能來自于電子在A，B兩板間減速時消耗的動能.

（2）這里的“電動勢”由光子能量和逸出功共同決定，其數(shù)值和斷路電壓相同.

（3）題目中所涉及的“內(nèi)阻”具體是由電子在A，B兩板內(nèi)與原子實相互作用生熱所致.決定“內(nèi)阻”大小的因素是入射光和金屬參數(shù)以及逸出電子的能量分布.