輕繩模型之豎直面內圓周運動條件分析

陳學剛

（重慶市梁平中學 重慶 405200）

在學習了汽車過拱橋和凹橋的圓周運動實例之后，教師們都會給出這樣一個情境：一輕繩一端拴一可視為質點的小球，輕繩長R，使小球繞輕繩的另一端在豎直面內做圓周運動.分析小球在豎直面內做圓周運動所滿足的條件.

通常在最高點對小球進行動力學分析得出（受力分析如圖1）

從上式看得出來，速度越小，繩子的拉力將越小.由于繩子只能是拉力，所以繩子的最小拉力為零.于是有

解得

于是進一步給出結論：小球恰好能在豎直平面內做圓周運動的條件是在最高點的速度為.然而這一結論對于初學者來說接受起來非常困難.教學過程中學生提出了一些問題促使筆者做出本文完善了上述推導，并提出了更合理的解決辦法.

圖1

1 問題分析

教學過程中學生的困惑基本上有兩點：

其一，前面的推導只得出了我們想當然的圓周運動“最高點”處的最小速度而當小球在“最高點”的速度時，小球在豎直面內一定做的是圓周運動嗎？

其二，最高點處的速度為什么就不能等于零？

2 問題解決

2.1 從運動學角度分析

圖2

圖3

以最高點為原點作正交坐標系，建立方程

計算運動過程中小球與圓心的距離

由于輕繩不可伸長，小球在繩子的約束下只能沿圓周往下運動.

如圖2，設小球從右邊往上運動至最高點，若是從圓周上的某點在圓內斜拋而上，那么根據斜拋運動的對稱性可知，左邊的運動將是平拋，與前面的推證不符，所以不可能是從圓周上的某點斜拋而上至最高點，而只能是沿圓周而上，再次到達最高點速度變為（這一過程是滿足機械能守恒條件的）.換言之，小球在圓周最高點的速度為時，小球在豎直平面內做的是圓周運動，從而解決了學生的第一個問題.

2.2 從動力學角度分析

有一個事實我們很容易想到，在上述情境中若是小球做圓周運動，那么繩子將一直被拉直.因為做圓周運動需要向心力，除在最高點重力（指向圓心）完全用來提供向心力而可以不需繩子拉力外，其他地方就必須有指向圓心的繩子拉力才行.我們可以假設小球在最高點速度為時能夠保持圓周運動，若能證明除最高點外繩子處處有拉力即可.如圖4所示，設小球處在任意一點，繩子對小球的拉力為T，則

以最高點為零勢能點

圖4

由上式可得

當0≤α≤360°，有－1≤sinα≤1，則

始終成立，其中α＝90°，即小球在最高點時，T＝0.于是我們的假設得到證明.

以上兩種方法相當于是對輕繩模型情況下小球在豎直面內做圓周運動的臨界條件的完善.前面提出的結論之所以不讓人信服而需要補充說明是因為得此結論時我們從特殊位置去突破的，這種情況以點代面，以偏概全，缺乏說服力.下面的方法將從任意位置著手，做一個比較嚴密的推導.

2.3 小球豎直面內做圓周運動條件的推證

我們想象小球是從最低點以某一速度開始運動，P點是小球在圓周上的某一點，對其進行受力分析（如圖4），根據向心力公式有

變形后

因為小球要能在圖示虛線軌跡上做圓弧運動，在任意點P繩子必須是拉直或拉緊的，所以有T≥0.角度α決定了小球的位置.

當小球在第三、四象限（180°≤α≤360°）時內，由vP≥0有

又因為此時，－1≤sinα≤0，所以有T≥0恒成立，即小球在三、四象限不可能有脫離圓軌的情況.

當小球在第一、二象限（0＜α＜180°）時，若小球剛好能上到P點，因為

則

恒成立，也就是這個范圍小球的速度不可能為零.

當小球“恰好”能上到P點（此時P點不是最高點），在P處繩子將會松弛，意味著T＝0，得到小球在P點這個位置的最小速度.由于繩子開始松了，繩子拉力不存在了，恒定的重力將使小球做拋體運動，軌跡是拋物線.P點越靠近最高點，sinα的值越大，vPmin就越大，而不是趨于零.學生的第2點疑惑在這兒得到解決.

當P點就是最高點時，那么sinα＝1，小球在最高點最小速度

至此我們才可以得出這樣的結論：（輕繩模型下）小球“恰好”能在豎直面內做圓周運動，則最高點的速度必然是或者小球若能上到圓周最高點，則到達最高點的速度至少為