“等時(shí)圓”模型的基本規(guī)律及其應(yīng)用

何福澤

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2015）15-0067-02

在中學(xué)物理中存在這樣一類問(wèn)題，要求學(xué)生能從新的物理情景中提取有效信息，挖掘隱含條件，構(gòu)建物理模型，然后把所學(xué)的物理概念和規(guī)律遷移到問(wèn)題中快速找到解決問(wèn)題的辦法。順利解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建物理模型的能力。在教學(xué)中要善于捕捉信息，把握時(shí)機(jī)，針對(duì)性地進(jìn)行這方面訓(xùn)練，以提高思維的敏捷性和建模能力。

物理模型是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象，每一個(gè)模型的建立都有一定的條件和適用范圍，在學(xué)習(xí)和應(yīng)用物理模型解決物理問(wèn)題時(shí)，最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)是把實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化成相應(yīng)的物理模型。合理利用自己熟悉的物理模型簡(jiǎn)便地解決物理問(wèn)題。在解決許多物理問(wèn)題時(shí)，借助由基本物理規(guī)律所構(gòu)建成的一些基本物理模型，可以把抽象問(wèn)題具體化，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而使得物理問(wèn)題便于理解和接受，化難為易，解決物理問(wèn)題達(dá)到意想不到的效果。下面以“等時(shí)圓”模型為例，體會(huì)如何通過(guò)巧妙地構(gòu)建物理模型達(dá)到簡(jiǎn)化求解。基于此對(duì)“等時(shí)圓”規(guī)律和應(yīng)用闡述如下：

一、物理模型概述

1.等時(shí)性的證明

設(shè)某一條弦與水平方向的夾角為a，圓的直徑為d（如右圖）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為 ，位移為 ，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為===

結(jié)論：物體任意光滑條弦運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，運(yùn)動(dòng)時(shí)間與弦的傾角、長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，僅與圓半徑有關(guān)。

2.等時(shí)圓模型（如圖所示）

3.等時(shí)圓規(guī)律

3-1物體位于同一豎直圓上從最高點(diǎn)（頂端）由靜止開始沿不同的光滑弦到達(dá)圓周上各點(diǎn)所用的時(shí)間相等。（如圖a）

3-2物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)的時(shí)間相等。（如圖b）

3-3物體沿所有光滑弦運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，都等于小球沿豎直直徑（d）做自由落體的時(shí)間，即：====（式中R為圓的半徑。）

由此可以得出一個(gè)結(jié)論： 物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)的時(shí)間相等。推論：若將圖a倒置成圖b的形式，同樣可以證明物體從最高點(diǎn)（頂端）由靜止開始沿不同的光滑弦到達(dá)圓周上各點(diǎn)所用的時(shí)間相等。像這樣的豎直圓簡(jiǎn)稱為“等時(shí)圓”。

在重力場(chǎng)中，物體處于豎直平面內(nèi)任意一個(gè)圓內(nèi)的最高點(diǎn)，沿任何一條弦無(wú)摩擦下滑的物體到達(dá)圓周上發(fā)生的時(shí)間相等，可等效為最高點(diǎn)到最低點(diǎn)物體做自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 ，可見時(shí)間t與弦的傾角、長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，僅與圓半徑有關(guān)。關(guān)鍵尋找“等時(shí)圓”，確定最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，所需要的弦，然后等效替代。拓展：在重力場(chǎng)中，物體處于豎直平面內(nèi)任意一個(gè)圓內(nèi)的圓周上沿任何一條弦無(wú)摩擦下滑到達(dá)最低點(diǎn)發(fā)生的時(shí)間相等，也可等效為最高點(diǎn)到最低點(diǎn)物體做自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。“等時(shí)圓”的適用條件是：光滑斜面上初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)（或終點(diǎn)）應(yīng)在“等時(shí)圓”的最高（或最低）點(diǎn)。

二、應(yīng)用等時(shí)圓模型解典型例題

【例1】如圖所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫出），三個(gè)滑環(huán)分別從a、b、c處無(wú)初速釋放，用t1、t2、t3依次表示滑環(huán)到達(dá)d所用的時(shí)間，則（ ）

A.t1t2>t3

C.t3>t1>t2 D.t1=t2=t3

解析：選任一桿上的環(huán)為研究對(duì)象，對(duì)小滑環(huán)，受重力和支持力，將重力沿桿的方向和垂直桿的方向正交分解，受力分析并建立坐標(biāo)如圖2所示，設(shè)圓半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律得小滑環(huán)做初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。由牛頓第二定律得：

①

再由幾何關(guān)系，細(xì)桿長(zhǎng)度 ②

設(shè)下滑時(shí)間為 ，則 ③

由以上三式得， ④

可見下滑時(shí)間與細(xì)桿傾角無(wú)關(guān)，所以D正確。

考點(diǎn)：牛頓第二定律；勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系。

專題：計(jì)算題。

分析：先受力分析后根據(jù)牛頓第二定律計(jì)算出滑環(huán)沿任意一根桿滑動(dòng)的加速度，然后根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系公式計(jì)算出時(shí)間，對(duì)表達(dá)式分析，得出時(shí)間與各因素的關(guān)系后得出結(jié)論。

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵從眾多的桿中抽象出一根桿，假設(shè)其與水平方向的夾角為%a，然后根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出時(shí)間表達(dá)式討論，利用“等時(shí)圓”模型的基本規(guī)律可知物體沿所有光滑弦運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等。

（責(zé)任編輯 全 玲）