基于N分隨機乘法模型的多重分形海雜波仿真

胡 沖 羅 豐范一飛 陳帥霖

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

基于N分隨機乘法模型的多重分形海雜波仿真

胡 沖 羅 豐*范一飛 陳帥霖

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

2分隨機乘法模型的倍乘因子的分布要求是關于1/2對稱的，所以基于此模型仿真出海雜波數據的多重分形譜函數形狀比較受限制。該文在分析2分隨機乘法模型構造過程的基礎上，提出N分隨機乘法模型，它是2分隨機乘法模型的推廣，但卻突破倍乘因子分布關于1/2對稱的限制，更利于仿真具有期望形狀的多重分形譜函數的海雜波數據。理論推導和實驗結果均表明倍乘因子的分布決定多重分形譜函數的形狀。

目標檢測；多重分形；海雜波；隨機乘法模型

1 引言

傳統的海雜波建模與仿真一般是基于海雜波的統計分布特性，仿真一般要求滿足時域的統計分布要求，頻域滿足特定的功率譜形狀[1?3]，比較有代表性的方法有球不變隨機過程法(Spherically Invariant Random Process, SIRP)和零記憶非線性變換法(Zero Memory Nonlinearity, ZMNL)等。然而自文獻[4]提出分形理論以來，海雜波的分形理論受到了廣泛關注[5?8]，因此有學者從分形及多重分形角度對海雜波進行了建模、分析和仿真，其中一種模型便是2分隨機乘法模型。文獻[9]提出用2分隨機乘法模型對海雜波進行建模，并從多重分形角度對其做了理論解釋，文獻[10,11]也根據2分隨機乘法模型的思想分析了實測海雜波的多重分形特性，文獻[12-14]運用2分隨機乘法模型仿真了具有多重分形特性的海雜波，但2分隨機乘法模型的倍乘因子統計分布是關于1/2對稱的，這種限制不利于仿真出具有期望形狀多重分形譜函數的海雜波數據。

本文在分析2分隨機乘法模型構造過程的基礎上，提出N分隨機乘法模型，該模型倍乘因子的統計分布沒有對稱性的限制，更有利于仿真出具有期望形狀多重分形譜函數的海雜波數據。因為2分隨機乘法模型是N分隨機乘法模型在N=2時的特殊情況，所以文中直接對N分隨機乘法模型進行介紹，并推導該模型的多重分形特性，給出標度指數與多重分形譜函數跟倍乘因子之間的關系且通過實測數據驗證了N分隨機乘法模型在N≠2時倍乘因子的非對稱性。最后通過實驗給出不同的倍乘因子統計分布會得出不同的非對稱多重分形譜函數，驗證了該模型的有效性。

2 N分乘法模型介紹

2.1 定義

考慮一段具有單位質量單位長度的線段。將此線段分為等長的N份，此時每段線段對應的尺度為N?1，同時將單位質量按照比例r:r:…:r

12N

(r1+r2+…+rN=1且0＜ri＜1, i=1,2,…,N)分配給這N等份線段。然后對N個線段中每個線段同樣進行這樣的長度N等分而質量按照比例r1:r2:…:rN的分配操作，一直這樣操作下去，過程如圖1所示，此模型稱為“N分乘法模型”。 其中的比例因子r1,r2,…,rN稱為“倍乘因子”。若r1,r2,…,rN為常數c1,c2,…,cN時，則稱為“N分常乘法模型”，若r1,r2,…,rN為服從某種統計分布的隨機變量時，則稱為“N分隨機乘法模型”。

圖1 N分乘法模型構造過程示意圖

2.2 模型的多重分形特性證明

N分常乘法模型在第n階段將產生Nn個數據。若N個常倍乘因子c1,c2,…,cN不滿足c1=c2=…=cN=1/N 時，則它是多重分形的。下面用Q階矩結構分割函數法(Qth order Moment Structure Partition Function, Q-MSPF)[15]法來證明它的多重分形特性。

設序列{xi}, i=1,2,…,Nn是N分常乘法模型在第n階段產生的序列。很明顯它滿足歸一化條件

根據式(1)求序列在第n階段的配分函數χq(ε)，其中ε=N?n為第n階段的尺度[9]。

然后通過式(2)求q次相關指數τ(q)[9]：

由序列{xi}的構造過程可知，在第n階段式(3)成立：

可將式(2)改寫為

其中a為常比例因子。由式(3)可知對于任意的尺度ε(即對于任意的h)，當q=1時，χq(ε)=1。那么，當q=1時取h=0得a=1。所以

式(5)兩邊取對數得到τ(q)～q 曲線的函數關系：

由式(6)可知，當ci(i=1,2,…,N)不同時為1/N時，τ(q)～q曲線不是一條直線，因此N分常乘法模型是多重分形的[15]。

2.3 倍乘因子與標度指數的關系

多重分形的標度指數α(q)與其τ(q)存在的關系[9,16]為

將式(6)代入式(7)，得

不妨設c1＜c2＜c3＜…＜cN，則式(8)可寫為

或者

由式(9)和式(10)可以得出α(q)的取值范圍：

由式(11)和式(12)知，倍乘因子的分布范圍決定了標度指數的分布范圍，由式(8)知，倍乘因子的分布形式決定了標度指數的分布形式。而多重分形譜函數與標度指數的關系為

將式(6)和式(8)代入得

由式(14)知，倍乘因子的分布也決定了多重分形譜函數的形式.

2.4 倍乘因子的統計分析

實測海雜波數據的倍乘因子ri(i=1,2,…,N )一般都不是常數，而是隨機的值，設其概率密度函數為p(ri)(0＜ri＜1)。當N=2時，由于倍乘因子r與1?r在邏輯上的對稱性，所以它們有著同樣的概率密度函數p(r)并且p(r)的形狀是關于r=1/2軸對稱的[13,14]。當N≠2時，ri與1?ri在邏輯上不存在對稱性，所以其概率密度函數p(ri)不是對稱的，但由于要滿足，所以它們往往在r=1/N處取得均值。下面采用實測數據驗證該結論的正確性。

文中采用來自加拿大McMaster大學的IPIX雷達在加拿大東海岸Dartmouth附近一個30 m高的山崖上測得的#283(19931118_035737_stareC0000. cdf)數據文件。文件中的數據集包含14個距離單元，每個距離單元由連續217個時域數據組成，共14×217個數據，每個數據由I通道和Q通道數據表示(I+jQ)。數據有兩種極化方式：水平極化發射水平極化接收(Horizontal transmission, Horizontal reception, HH)和垂直極化發射垂直極化接收(Vertical transmission, Vertical reception, VV)。實驗中的目標是由金屬絲纏繞的直徑為1 m的錨定聚乙烯物體。有目標距離單元為第10單元，第8、第9、第11和第12距離單元為目標擴展單元，其它為海雜波單元。圖2為14個距離單元一段時間的海雜波數據模值。IPIX雷達的主要參數如表1所示。

表1 IPIX雷達參數

首先需要提取實測海雜波的倍乘因子。設實測海雜波序列為X={x1,x2,…,xL},L=Nn。由序列X計算序列Y={y1,y2,…,yL/N}，使其滿足

那么可以計算出倍乘因子序列R={r1,r2,…,rL}滿足

表2 實測海雜波倍乘因子均值

表3 實測海雜波倍乘因子的偏度

3 仿真海雜波數據的多重分形特性驗證

通過本文第2部分的分析，不妨先尋求一個滿足條件的概率密度函數作為倍乘因子r的概率密度函數來仿真海雜波。對于2分隨機乘法模型，本文用對稱的正態分布的概率密度函數來生成倍乘因子，對于N分隨機乘法模型，我們用非對稱的瑞利分布的概率密度函數來生成倍乘因子。但是正態分布隨機變量的取值是在(?∞,∞)之間的，瑞利分布隨機變量的取值是在(0,∞)之間的，而倍乘因子的取值是在(0,1)之間的，那么本文提出一種保留舍棄法來產生在特定區間服從某種分布的隨機變量的方法。

若X1和X2是[0,1]區間上的均勻分布隨機數，由式(17)和式(18)確定的隨機數Y1和Y2是相互正交的標準正態隨機數

圖2 實測海雜波數據

圖3 實測海雜波數據倍乘因子統計分布

任意一個正態分布隨機數可由標準正態隨機數得到。

若X1和X2是兩個獨立均值為零的正態隨機數，則式(19)確定的隨機數Y為瑞利分布的隨機數。

任意一個瑞利隨機數可由均值為零的正態隨機數得到。

每產生一個隨機數，檢驗其是否在(0,1)區間里。如果在，保留；如果不在，舍棄。直到保留點的隨機數個數達到所需的數目為止。本文給出了當N=3時仿真產生的兩組不同倍乘因子分布時的海雜波數據，并對幾組仿真數據的非高斯性、長時相關性和尺度不變性進行了驗證[17,18]，證明了仿真數據具有多重分形特性。圖4和圖5給出了其中一種倍乘因子分布時仿真產生的海雜波數據及其logN(Sm(q))～logN(m)曲線、τ(q)～q曲線和多重分形譜函數，圖6和圖7給出了另一種倍乘因子分布時仿真產生的海雜波數據及其logN(Sm(q))～logN(m)曲線、τ(q)～q曲線和多重分形譜函數。從圖4、圖5、圖6和圖7知，本文產生的海雜波數據具有多重分形特性。

根據本文2.3節對倍乘因子與標度指數關系的分析，倍乘因子的統計分布間接影響多重分形譜函數的形狀。圖8是N=3時，不同倍乘因子分布時和其對應的多重分形譜函數，可以看到不同分布的倍乘因子對應不同對稱性的多重分形譜函數，當倍乘因子分布偏左時，仿真出的海雜波的多重分形譜函數偏右，反之，當倍乘因子分布偏右時，仿真出的海雜波的多重分形譜函數偏左，驗證了本文2.3節倍乘因子分布決定多重分形譜函數形式的結論。

4 結束語

本文提出N分隨機乘法模型仿真具有多重分形特性的海雜波，它是2分乘法模型的推廣，但卻突破了倍乘因子統計分布對稱性的限制，更有利于產生具有期望非對稱性的多重分形譜函數的數據。文中對該模型的多重分形特性做了證明，并給出了標度指數與倍乘因子之間的關系。最后通過實驗證明運用該方法仿真出的海雜波數據具有多重分形特性且可以根據倍乘因子的統計分布產生不同特性的多重分形海雜波數據。

圖4 第1組倍乘因子分布仿真的海雜波數據及其logN(Sm(q))～logN(m)曲線

圖5 第1組倍乘因子分布仿真海雜波數據 的τ(q)～q 曲線和其多重分形譜函數

圖6 第2組倍乘因子分布仿真的海雜波數據及其logN(Sm(q))～logN(m)曲線

圖7 第2組倍乘因子分布仿真海雜波數據的τ(q)～q 曲線和多重分形譜函數

圖8 不同分布的倍乘因子對應不同的多重分形譜函數

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胡 沖： 男，1987年生，博士生，研究方向為海雜波特性分析與建模、海雜波背景下的目標檢測等.

羅 豐： 男，1971年生，博士，教授，研究方向為雷達信號與信息處理、海雜波特性分析與建模、雜波背景下的目標檢測、跟蹤與航跡關聯等.

范一飛： 男，1989年生，博士生，研究方向為海雜波特性分析與建模、海雜波背景下的目標檢測等.

陳帥霖： 男，1986年生，博士生，研究方向為雜波背景下的目標檢測、跟蹤及航跡關聯等.

Simulating Multifractal Sea Clutter by N-partitioned Random Multiplicative Process Model

Hu Chong Luo Feng Fan Yi-fei Chen Shuai-lin
(National Laboratory of Radar Signal Processing, Xidian University, Xi'an 710071, China)

The distribution of a multiplier of 2-partitioned random multiplicative model is symmetric about 1/2, which makes the shape of multifractal function of the simulation data be fixed. Based on the analysis of the construction process of the 2-partitioned random multiplicative model, the N-partitioned random multiplicative model is proposed, as a generalization of the 2-partitioned and it breaks the limitation that the multiplier is symmetric about 1/2. The model is more convenient to simulate data with the desired shape of multifractal function. It is proved theoretically and experimentally that the distribution of the multiplier determines the shape of the multifractal function.

Target detection; Multifractal; Sea clutter; Random multiplicative process model

TN959.72

： A

：1009-5896(2015)06-1470-06

10.11999/JEIT141042

2014-08-04收到，2014-10-20改回

國家部委基金資助課題

*通信作者：羅豐 luofeng@xidian.edu.cn