一種基于最大似然估計的合作目標多維參數跟蹤算法

魏子翔 崔 嵬李 霖 吳 爽 吳嗣亮

(北京理工大學信息與電子學院 北京 100081)

一種基于最大似然估計的合作目標多維參數跟蹤算法

魏子翔 崔 嵬*李 霖 吳 爽 吳嗣亮

(北京理工大學信息與電子學院 北京 100081)

空間交會對接微波雷達采用基于延遲鎖定環(DDLL)、鎖頻環(FLL)和鎖相環(PLL)的算法處理合作目標轉發的直接序列擴頻信號，獲得入射信號的時延、頻率及波達角(DOA)估計。針對當前基于DDLL, FLL和PLL(DFP)的算法沒有充分利用接收信號有效信息的問題，該文提出一種基于極大似然估計(MLE)的低代價閉環跟蹤(MLBT)算法。該算法利用代價函數的梯度正比于參數誤差的特性，設計了參數誤差鑒別器。在此基礎上給出了相應的擴頻信號多參數跟蹤環路。分析并驗證了鑒別器的方差特性，從而給出MLBT算法的參數估計均方根誤差(RMSEs)下限。仿真實驗驗證了對MLBT算法參數估計均方根誤差下限分析的正確性。此外仿真結果表明，MLBT算法相比DFP算法有限地增加運算量，同時獲得了更優的參數估計性能。

雷達；直接序列擴頻信號；時延；頻率；波達角

1 引言

空間交會對接微波雷達作為我國空間交會對接過程中中長距離測量的主要傳感器，具有測量精度較高和測量范圍跨度較大等特點。微波雷達采用陣列天線接收合作目標上搭載的應答機轉發的直接序列擴頻連續波信號。經數據處理后，微波雷達獲得目標的距離，速度及波達角(Direction Of Arrival, DOA)估計，從而實現對合作目標的空間定位及運動狀態測量。受飛行器載荷功耗及重量限制，微波雷達數據處理算法對資源消耗控制十分嚴格，故微波雷達當前的數據處理算法采用導航系統中常見的數字延遲鎖定環(Digital Delay Locked Loop, DDLL)，鎖頻環(Frequency Locked Loop, FLL)和鎖相環(Phase Locked Loop, PLL)相結合的方式低代價地獲得目標的位置與運動狀態信息。然而現有數據算法[1?3]仍存在一些不足：測距測速過程中采用的DDLL及FLL只對單根天線的數據進行處理，并沒有充分利用接收信號所包含的信息；長短基線法得到的最終角度估計的精度事實上只受最長基線的兩個天線的信號影響，亦沒有充分利用接收信號中的有效信息。因此，低代價條件下高性能的擴頻信號多維參數估計算法的研究仍有必要。

對于信號的時延，頻率及DOA聯合估計問題，相關文獻主要分為兩類：子空間類算法和確定性參數估計算法。子空間類算法中，文獻[4]提出一種基于旋轉不變子空間技術的算法實現了角度，時延及頻率的聯合估計(Joint Angle Delay and Frequency Estimation - Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, JADFEESPRIT)。該算法在構建兩個特殊的包含信號時延及多普勒頻移信息的相關矩陣基礎上，通過求取相關矩陣的廣義特征值及廣義特征向量，并經后續處理后分別獲得目標的DOA及時延，頻率估計。此外，還有一些文獻提出了部分參數的聯合估計算法，如文獻[5]提出的基于多重信號分類的角度和時延聯合估計(Joint Angle and Delay Estimation - MUlti SIgnal Classification, JADE-MUSIC)算法在空時子空間中進行2維聯合搜索獲得時延及DOA估計。為了降低運算量，文獻[6]進一步提出了不需要搜索的基于旋轉不變子空間技術的角度和時延聯合估計算法(Joint Angle and Delay Estimation -Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, JADE-ESPRIT)算法。對于另一類常見的信號多維參數估計算法—確定性參數估計算法，這里的“確定性”指的是已知發射信號的形式，此時可以采用最大似然估計算法獲得多維參數的估計。直接搜索的最大似然估計(Maximum Likelihood Estimation, MLE)算法[7,8]以及為了降低運算量而產生的改進最大似然算法(包括Levenberg-Marquardt(LM)算法[9,10]，遺傳及模擬退火算法[11,12]等)已經在信號處理領域獲得了廣泛的應用。然而受微波雷達數據處理算法對資源消耗的限制，以上提及的各算法均難以應用于微波雷達數據處理算法的實現中。

導航系統中常見的跟蹤環路算法采用了閉環的結構低代價地實現了參數的高精度估計。據此，本文提出一種基于極大似然估計的擴頻信號多維參數閉環跟蹤(Maximum Likelihood estimation Based Tracking, MLBT)算法。MLBT算法利用代價函數的梯度正比于參數誤差的特性設計了參數誤差鑒別器，并將參數誤差鑒別結果代入跟蹤環路獲得參數估計。由于閉環結構的采用，MLBT算法在保證參數估計性能的基礎上，仍保持較低的運算代價。本文分析了該算法的鑒別器的熱噪聲性能并給出了跟蹤環路參數估計均方根誤差下限。仿真實驗驗證了MLBT算法相比DFP算法的優越性。

2 信號模型

交會對接微波雷達接收并處理應答機轉發的擴頻信號，得到目標距離，速度以及DOA的估計。為簡便記，假設雷達采用L元線陣接收到遠場信源發射的無線信號x (t)=[x1(t), x2(t),…,xL(t)]T。

其中，a(υ)=[1,ejd2υ,ejd3υ,…,ejdLυ]T為導向矢量且υ=πsin θ, di(i=2,3,…,L)為天線i到天線1的間距與半波長的比值)，τ為信號傳輸延時，n(t)為各通道互不相關的高斯白噪聲矢量，s(t)為信源發射的擴頻信號。

其中，f為接收信號的載波頻率，c(t)是已知的偽隨機序列，A, φ分別為信號的幅度及初相。經過A/D采樣后，接收信號離散為

3 基于極大似然估計的目標跟蹤算法及其

性能分析

3.1 基于極大似然估計的目標跟蹤算法

對式(4)分別求關于參數A, φ和2σ的偏導，令其為零并將結果代回式(4)可得簡化的代價函數為

代價函數最大化的過程可以通過直接搜索或者L-M等算法實現，然而這些算法運算量往往較大。閉環的跟蹤算法具有運算量小，參數估計精度高的特點，但是需要設計參數誤差鑒別器獲得參數誤差的估計。注意到代價函數關于各參數的梯度正比于參數的誤差，故可以利用這個特性將修正后的梯度作為參數誤差估計代入跟蹤環路中從而獲得最終的參數估計。將式(5)中的代價函數簡記為(f,τ,υ)=VHV，其中(kT)a(υ)c(kT?τ)ej2πkfTs，然后分s s別計算代價函數相對于各參數的偏導，可以得到代價函數的梯度為

其中

式(9)中λτ, λf和λυ分別為時延、頻率及參數υ的歸一化梯度修正量。將參數誤差估計代入環路濾波器抑制噪聲影響后，經數控振蕩器(Numerically Controlled Oscillator, NCO)累加便可得到時延，頻率以及變量υ的估計。其中，n(kTs)為各通道互不相關的復高斯白噪聲，且其協方差矩陣為。則

(1)各梯度的均值和方差： 代價函數關于頻率的梯度的均值和方差分別為

式(10)給出了3個參數跟蹤環路，式中hτ,hf和hυ分別為各參數跟蹤環路中濾波器的脈沖響應。而目標的DOA估計則可由式(11)給出

3.2 參數估計的方差

本節分析了式(9)描述的鑒別器的方差特性，并據此給出了MLBT算法參數估計的均方根誤差下限。文獻[14]給出隨機變量商的統計特性為

代價函數關于時延的梯度的均值和方差分別為

據此為了獲得各鑒別器的方差理論值，只需分別計算出各梯度及代價函數的均值和方差以及各梯度與代價函數的協方差，并將結果代入(12)式即可。將接收信號表示為

代價函數關于變量υ的梯度的均值和方差分別為

其中Im[·]為對變量取虛部運算。

(2)代價函數的均值、方差分別為

(3)各梯度與代價函數的協方差為

式(14)～式(18)中，SNR為接收信號的信噪比，且

將式(14)～式(18)的結果代入式(12)中便可得到鑒別器的方差理論值。

對于式(10)描述的跟蹤環路，當環路穩定后參數估計誤差將保持為接近為零的較小值，此時各參數估計的方差可近似表示為

式(21)和式(22)中T為數據處理周期且T=NTs, Bf, Bτ和Bυ分別為相應環路的環路濾波器帶寬。這兩式亦是MLBT算法參數估計的均方根誤差下界：當目標處于穩態時，參數估計均值為零，則各參數的均方根誤差統計結果將與相應參數方差分析值相吻合；目標機動后，參數估計均值非零，則各參數的均方根誤差統計結果將大于相應參數方差分析值。

3.3 擴頻信號多維參數估計的克拉美羅界

對于式(13)給出的接收信號模型，將未知參數表示成矢量形式ξ=[ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5]=[A,φ,f ,υ,τ]，則各通道互不相關高斯白噪聲條件下Fisher信息矩陣[15]可表示為

經過計算可以得到Fisher信息矩陣的主對角線元素分別為

其中，D為碼片個數，Tc為碼片時長，bm為碼數據且取值為±1。繼而計算偽碼序列關于時延的導數為

式(28)中，偽碼序列可表示為

由于當τ1≠τ2時，等式δ(kTs?τ1)δ(kTs?τ2) =0成立，故而可得

式中pm和pn分別為碼序列中相鄰碼片符號跳變的位置和非跳變的位置，Dc和Dn分別為碼序列中相鄰碼片符號跳變和非跳變的個數。由于偽隨機碼序列完整碼周期中相鄰碼片符號跳變和非跳變的個數相等，則式(28)中

項可表示為式中Brec為接收機前端濾波器帶寬，S(f)為δ(t)函數的頻譜且S(f)=e?j2πfτ。對式(33)化簡并將結果代入式(28)，則[I(ξ)]55可化簡為

不難證明交叉項[I(ξ)]12, [I(ξ)]13, [I(ξ)]14, [I(ξ)]15, [I(ξ)]25, [I(ξ)]35和[I(ξ)]45全都為0。其它交叉項分別為此時參數[f,τ,υ]的克拉美羅界可由式(38)給出

4 仿真驗證

此外根據式(11)可得角度估計的CRLB為

假設接收線陣包含4個陣子，陣子i(i=2,3,4)到陣子1的距離分別為7, 22, 29倍半波長。擴頻信號參數分別為：擴頻信號碼長1023，碼速率為1.023 Mcs，數據處理周期為1 ms。DFP算法實現時，設定DDLL, FLL和PLL 3種跟蹤環路的環路濾波器帶寬分別為5 Hz, 5 Hz和20 Hz。相應地在MLBT算法實現中，設定延遲跟蹤環的環路濾波器帶寬Bτ為5 Hz，頻率跟蹤環路的環路濾波器帶寬Bf為5 Hz，變量υ跟蹤環的環路濾波器帶寬Bυ為20Hz。

4.1 參數估計的均方根誤差

考慮一個遠場動態目標，目標動態如圖1所示。靜止目標在1 s時刻開始分別進行徑向加速度為10 m/s2以及角度上速度為?10°/s機動。目標在4 s后徑向加速度和角速度分別置為零。進行1000次仿真試驗，統計各個參數的均方根誤差結果如圖2所示。從圖中可以看出MLBT算法的參數估計性能優于DFP算法：穩態時MLBT算法各參數估計的均方根誤差小于DFP算法；當目標機動后，MLBT算法各參數估計的均方根誤差增大，但仍與DFP算法各參數估計的均方根誤差值相當。此外理論分析給出的MLBT算法參數估計的均方根誤差下限與仿真結果吻合，驗證了前文對MLBT算法熱噪聲性能分析的正確性。

4.2 天線數目對參數估計精度影響

圖1 目標徑向及切向運動狀態

圖2 參數估計均方根誤差

為了評估天線數目對兩種算法參數估計精度的影響，本節使用不同陣元個數的天線陣列分別對兩種算法進行仿真實驗。為了簡便起見，模擬相鄰天線陣子間隔為半波長的均勻線陣接收遠場目標轉發的來波信號。仿真中被觀測的目標保持靜止狀態，統計載噪比為45 dBHz情況下兩種算法收斂后10000點的跟蹤結果的均方根誤差，統計結果如圖3所示。對于信號的時延及頻率估計，由于DFP算法只對單根天線的信號進行參數估計，因而天線數目的增加并沒有獲得更優的性能。而MLBT算法隨著天線數目的增加，時延及頻率估計性能亦更優。角度估計方面，DFP算法隨著天線數目的增加基線長度逐漸變長，從而獲得了更優的角度估計結果，但仍劣于MLBT算法。隨著天線數目的增加，兩種算法的角度估計均方根誤差的差距愈發明顯。此外，MLBT算法的頻率及角度的均方根誤差性能均逼近CRLB。時延估計方面由于式(8)中采用的差分近似的方法獲得偽碼導數，MLBT算法時延估計的均方根誤差距CRLB仍有一段距離。不過隨著差分間隔的減小(從=1/2減少到=1/8)，時延估計精度也隨之提高。然而較小的差分間隔將造成環路收斂速度變慢，因而實際應用中應根據目標的動態和參數估計精度的要求折中選取合適的差分間隔。

4.3 運算量分析

當快拍數較大時，各算法的運算量主要體現在相關計算方面，因而本節各算法進行相關計算所需的復乘及復加的運算量。各算法的運算量統計結果如表1所示：

表1中，L-M算法可以較為快速地通過迭代獲得參數的最大似然估計，然而當信噪比較低時，算法迭代次數M一般為5次左右，因而其運算量約為DFP算法的15倍。對于JADFE-ESPRIT算法而言，較長的碼片個數將造成采樣后得到的完整周期快拍數較大，此時計算信號的協方差矩陣運算量遠遠大于其它算法。此外，矩陣的特征值分解以及1維的時延搜索亦需要大量運算。實際應用時，可通過降低采樣率或者截短數據長度來降低計算量，但同時將導致參數估計性能惡化。MLBT算法運算量約為DFP算法運算量的兩倍。MLBT算法的運算量相比DFP算法并沒有明顯增加，從而加大了算法實時實現的可能性。

表1 算法運算量統計

圖3 天線數目變化對參數估計性能影響

5 結束語

針對擴頻信號多維參數估計問題，本文提出了一種基于最大似然估計的跟蹤算法。該算法首先利用代價函數的梯度正比于參數誤差的特性獲得參數誤差估計，隨后建立了多參數跟蹤環路獲得參數估計。分析并驗證了鑒別器的熱噪聲特性，從而給出了MLBT算法參數估計均方根誤差的下限。仿真實驗驗證了MLBT算法熱噪聲分析的正確性。仿真實驗結果表明，MLBT算法相比DFP算法擁有更優的參數估計精度；且隨著天線數目的增加，參數估計性能的優勢愈發明顯。運算量分析結果表明MLBT算法運算量約為DFP算法的兩倍。相比其它算法，MLBT算法與DFP算法運算量接近，因而增加了算法實時實現的可能。MLBT算法是一種局部極值的精估算法，因而對初值較為敏感。初值獲取方面可參考其它文獻，不在本文贅述。

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魏子翔： 男，1987年生，博士生，研究方向為擴頻信號處理.

崔 嵬： 男，1976年生，博士，教授，研究方向為雷達信號處理.

李 霖： 女，1989年生，碩士生，研究方向為數字信號處理.

Maximum Likelihood Estimation Based Algorithm for Tracking Cooperative Target

Wei Zi-xiang Cui Wei Li Lin Wu Shuang Wu Si-liang
(School of Information and Electronics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

The scheme which is based on the Digital Delay Locked Loop (DDLL), Frequency Locked Loop (FLL), and Phase Locked Loop (PLL) is implemented in the microwave radar for spatial rendezvous and docking, and the delay, frequency and Direction Of Arrival (DOA) estimations of the incident direct-sequence spread spectrum signal transmitted by cooperative target are obtained. Yet the DDLL, FLL, and PLL (DFP) based scheme has not made full use of the

signal. For this reason, a novel Maximum Likelihood Estimation (MLE) Based Tracking (MLBT) algorithm with a low computational burden is proposed. The feature that the gradients of cost function are proportional to parameter errors is employed to design discriminators of parameter errors. Then three tracking loops are set up to provide the parameter estimations. In the following section, the variance characteristics of discriminators are investigated, and the low bounds of Root Mean Square Errors (RMSEs) of parameter estimations are given for the MLBT algorithm. Finally, the simulations and computational efficiency analysis are provided. The low bounds of Root Mean Square Errors (RMSEs) of parameter estimations are verified. Additionally, it is also shown that the MLBT algorithm achieves better performances in terms of estimators accuracy than those of the DFP based scheme with a limited increase in computational burden.

Radar; Direct-sequence spread spectrum signal; Delay; Frequency; Direction Of Arrival (DOA)

TN958.91

： A

：1009-5896(2015)06-1450-07

10.11999/JEIT141150

2014-09-02收到，2014-12-02改回

上海航天科技基金(SAST201215)和新世紀優秀人才支持計劃(NCET-13-0034)資助課題

*通信作者：崔嵬 cuiwei@bit.edu.cn