Alpha穩定分布噪聲下基于柯西分布的相位鍵控信號碼速率最大似然估計

金 艷 朱 敏姬紅兵

(西安電子科技大學電子工程學院 西安 710071)

Alpha穩定分布噪聲下基于柯西分布的相位鍵控信號碼速率最大似然估計

金 艷 朱 敏*姬紅兵

(西安電子科技大學電子工程學院 西安 710071)

針對現有的相位鍵控(PSK)編碼信號碼速率估計方法在Alpha穩定分布中性能嚴重退化的問題，該文提出一種基于柯西分布的碼速率最大似然估計(CMLE)新方法，該方法可同時估計碼速率與定時偏差。CMLE利用窗口法將信號劃分為定時偏差窗和多個寬度一定的非重疊且已同步的時域窗，每個窗只包含一個碼元符號；在Alpha穩定分布噪聲下，利用窗中符號信息構造了基于柯西分布的似然函數，可同時獲得定時偏差窗寬與碼元符號窗寬的最大似然估計。仿真結果表明，該方法能有效抑制Alpha穩定分布噪聲并具有良好的參數估計性能。

信號處理；Alpha穩定分布；柯西分布；相位鍵控編碼信號；碼速率；最大似然估計(MLE)

1 引言

相位鍵控(Phase Shift Keying, PSK)編碼信號具有抗干擾性強，保密性好等優良性能，是通信系統中的常用信號，其參數估計是電子對抗中的研究熱點[1]。碼速率能表征PSK信號的編碼特性，因此，碼速率的估計是PSK信號處理的重要一環。高斯分布滿足中心極限定理，且易于處理和分析，在傳統的PSK信號的碼速率估計中，一般假設背景噪聲服從高斯分布。然而，在實際噪聲或雜波環境中，如閃電，海雜波，低頻大氣噪聲等均具有很強的沖激特性。在這類脈沖噪聲下，基于高斯噪聲模型的常規處理方法性能退化甚至失效。Alpha穩定分布是描述此類非高斯脈沖噪聲的一種有效模型，與高斯分布相比，其具有更厚的統計拖尾和顯著的脈沖特性[2?4]。

針對PSK信號的碼速率估計，目前已有多種有效的分析方法。文獻[5]提出的時域自相關法，對接收信號做自相關處理，通過提取峰值估計信號的碼速率，但該方法在相關積分時間選取較大時，運算量明顯增大。文獻[6,7]提出的循環譜相關估計法和循環自相關法，計算信號的循環統計量，并檢測離散譜線，即可估得信號的碼速率，但當噪聲中存在幅值較大的分量時，基于循環統計量的二階方法性能嚴重退化。文獻[8,9]提出的基于相位差分和基于小波變換的碼速率估計方法，對于噪聲的抑制作用較低，在信噪比較高時才能獲得參數的準確估計。文獻[10]通過建立最大似然函數，求取極值獲得碼元信息，但該方法需要定時偏差等先驗信息。此外，上述方法是以高斯噪聲為背景的分析與處理，在Alpha穩定分布噪聲背景下均失效。

針對Alpha穩定分布噪聲下，傳統的相位編碼信號碼速率估計失效的問題，本文提出一種基于柯西分布的碼速率估計方法。該方法利用窗口法將接收信號劃分為定時偏差窗和多個寬度一定的非重疊且已同步的時域窗，每個窗只包含一個碼元符號信息。利用碼元符號信息，構造基于柯西分布的最大似然函數，即可估計信號的碼元寬度即碼速率。

2 信號和噪聲模型

設觀測信號為x(t)=s(t)+v(t)，其中相位編碼信號[11]s(t)可表示為式中，f為載頻，?0為初相，?(t)為相位編碼調制序列。

其中{?m}為信號符號集，δm(n)=δ(n),m =1, 2,…,M, δ(?)為離散Dirac函數，T0為定時偏差，Tc為碼片時寬。當M=2，相位?1和?2的間隔為π時，s(t)為二進制相位鍵控(Binary Phase Shift Keying, BPSK)編碼信號；當M=4，相位之間的間隔為π/2時，s(t)為四進制相位鍵控(Quaternary Phase Shift Keying, QPSK)編碼信號。q(t)=。v(t)為加性Alpha穩定分布噪聲[12]。觀測信號離散采樣點為t=nTs, Ts為采樣周期。

一般情況下，Alpha穩定分布的概率密度函數(Probability Distribution Function, PDF)沒有統一的封閉表達式，通常采用特征函數描述：

其中

是符號函數。參數α為特征參數，表征PDF的尖銳程度與拖尾厚重程度，α值越小，PDF曲線越尖銳且拖尾越厚。參數γ＞0為分散系數，又稱為尺度系數，與高斯分布的方差類似。?1≤β≤1為對稱參數，β=0為對稱Alpha穩定分布(Symmetric α-Stable, SαS)。當α=1,β=0時對應為柯西分布[13]；當α=2, β=0時對應為高斯分布，且柯西分布與高斯分布均具有封閉形式的PDF。?∞＜a＜+∞為位置參數，對于SαS, 0＜α＜1時，則a表示中值，1＜α≤2時，則a表示均值。若滿足a=0且γ=1，則Alpha穩定分布稱為標準Alpha穩定分布。Alpha穩定分布噪聲不具有統一封閉形式的PDF，但可通過特定的算法仿真體現。圖1與圖2分別表示不同α值下標準SαS的PDF曲線和時域分布，由圖可知，α值越小，PDF曲線越尖銳且拖尾越厚重，時域表現為大幅度樣本即大脈沖出現的概率越大。另外，當α=1時對應于標準柯西分布，其PDF曲線尖銳，拖尾較為厚重，時域沖激特性明顯。此外，理論研究證明對于Alpha穩定分布噪聲，僅當階數p小于其特征指數α的統計矩是有限的[12]。因此，傳統的基于二階統計量的信號處理方法在Alpha穩定分布噪聲下性能嚴重退化甚至失效。

圖1 標準SαS概率密度函數曲線

圖2 不同α值下標準SαS的時域分布

3 基于柯西分布的碼速率最大似然估計

3.1 柯西分布噪聲下信號的PDF

柯西分布具有封閉形式的PDF，且其PDF曲線拖尾厚重，沖激特性明顯，是Alpha穩定分布噪聲的典型代表。已有許多學者提出在柯西分布噪聲下的信號處理方法，并將其推廣至一般的Alpha穩定分布噪聲情況，分析并驗證了其具有較好的性能，如基于最大似然位置估計的Myriad[14]和Meridian[15]濾波器等。為便于分析，本文推導了基于標準柯西分布的PSK信號碼速率的最大似然估計，且仿真實驗證明，該方法可應用于一般的Alpha穩定分布噪聲情況。標準柯西分布為滿足參數1,1, α=γ=

β=0,a=0的Alpha穩定分布，其 PDF為

標準柯西分布噪聲下，碼元符號?m, m∈{1,2,…,M}的信號模型可表示為y=?m+v ，其中v為標準柯西分布噪聲，則y的PDF為

式中，fv(y)為標準柯西分布的PDF, ?m為獨立同分布序列，其概率滿足ψ(?i)=ψ(?j)=1/M,i,j∈{1,2,…,M}且。

3.2 碼速率的最大似然估計

設標準柯西分布噪聲下，觀測到的PSK信號為Sr={s0,S}={s0,s1,s2,…,sK}，其中，s0表示定時偏差窗內的信號，S={s1,s2,…,sK}={s(1),s(2),…,s(N)}

下面以BPSK信號為例，闡述信號窗口的劃分。如圖3所示，s0表示定時偏差窗內的信號，其寬度為NT0; si表示BPSK信號中第i個窗內的同步信號，Nsi表示信號si的寬度，Ns={Ns1,Ns2,…,NsK}為同步信號窗口寬度集合。為K個碼元符號窗內信號，其PDF為

由式(5)可推得信號分量si的PDF為式中，NT0表示定時偏差窗寬，在非協作方式下所截獲到的信號，其定時偏差一般不為0。表示前i?1個窗內的信號采樣點數之和。其中M表示調制進制數，M=2時, ?m∈{0,π}, ψ(?m)=1/2; M=4時；?m∈{π/4,3π/4,5π/4,7π/4}; ψ(?m) =1/4。將式(7)代入式(6)并取對數，可得信號S的對數似然函數

圖3 無噪聲情況下碼元符號及其對應的BPSK信號

設每個碼元內的平均采樣點數為Ns，則Ns=Tc/Ts，且K?Ns=N，對于給定的Ns，則Nsi均可唯一確定，特別地，當Ns為整數時，Ns=Nsi=Nsj,i,j∈{1,2,???,K}。因此，在已知信號載頻f后，可由信號S的對數似然函數估計未知參數Ns, NT0

去除式(9)中的無關常數項可得需要注意的是NT0的取值范圍與Ns的取值有關。因此，在由定時偏差窗寬NT0域和碼元符號窗寬Ns域形成的2維平面(NT0,Ns)上進PSK信號的碼速率c=1/(s?Ts)。行峰值搜索，^得到峰值所對應的2維坐標，即可估得s，則

4 仿真結果及分析

設PSK信號參數滿足：觀測時間T0=0.1 s，初相θ=0，采樣頻率fs=10 kHz，采樣點數N=10000；其中，BPSK信號和QPSK信號的碼元符號窗寬分別為Ns=6.6和Ns=6.9；定時偏差窗寬NT0=4。

仿真中噪聲為加性標準SαS分布噪聲，由于其不存在有限的二階矩(α≠2.0時)，使得方差的概念失去意義，因此采用廣義信噪比[12]:

圖4(a)和圖4(b)分別為BPSK信號和QPSK信號在α=1.0, GSNR=0 dB的噪聲下，2維平面(NT0,Ns)上取NT0=4的1維切片圖。峰值所在位置分別為Ns=6.6, Ns=6.9，從而可估得信號的碼速率。圖4(c)和圖4(d)分別為BPSK信號在α=1.0, GSNR=?3 dB和GSNR=?5 dB的噪聲下的基于CML方法的切片圖。

本文以歸一化均方根誤差(Normalized Root Mean Square Error, NRMSE)評價在Alpha穩定分布噪聲下碼速率估計方法的性能，并與基于循環自相關函數(Cyclic Autocorrelation Function, CAF)和基于Haar小波變換(Haar Wavelet Transform, HWT)的傳統方法進行對比。假設Monte Carlo仿真實驗的次數為R，所估計的參數為θ，第i次實驗中的估計值為，則參數θ估計的歸一化均方根誤差為。

實驗1 在不同的廣義信噪比下，對BPSK信號經過200次Monte Carlo實驗，所得結果如圖5所示。由圖可知，在α=0.5的Alpha穩定分布噪聲下，當GSNR≥?3 dB , CMLE方法能準確估計碼速率；在α=1.0和α=1.5的Alpha穩定分布噪聲下，基于CMLE的方法分別在GSNR≥?4 dB和GSNR≥?5 dB時達到準確估計。HWT方法是基于一階統計量的方法，利用Haar小波變換檢測信號的相位突變點，從而獲取信號碼速率的估計。然而，在脈沖噪聲下，大幅值脈沖導致檢測誤判。CAF的碼速率估計是傳統的基于二階統計量的方法，α＜2.0時其二階矩不存在，因此，在脈沖噪聲下，基于HWT和基于CAF的BPSK信號碼速率估計方法均失效。在α=2.0的Alpha穩定分布噪聲下，即高斯噪聲下，上述3種方法均能有效估計碼速率，在GSNR≥?7 dB時，基于CMLE的方法能準確估計碼速率，基于CAF和基于HWT的方法分別在GSNR≥?8 dB 和GSNR≥?1 dB時，能達到準確估計。此外，基于CAF的方法算法復雜度為O(N2logN)，本文方法的算法復雜度為O(2MN2)。

圖4 NT0=4的1維切片圖

圖5 BPSK信號碼速率估計性能比較

2由此表明，在樣本數較大時，本文方法算法復雜度較CAF方法低，且在信噪比較低的脈沖噪聲和高斯噪聲環境下均可準確估計BPSK信號的碼速率。

實驗2 在不同的廣義信噪比下，對QPSK信號經過200次Monte Carlo實驗，所得結果如圖6所示。由圖可知，在α=0.5的Alpha穩定分布噪聲下，當GSNR≥2 dB, CMLE方法能準確估計碼速率；在α=1.0和α=1.5的Alpha穩定分布噪聲下，基于CMLE的方法在GSNR≥1 dB時可達到準確估計。由于脈沖噪聲的影響，基于CAF和基于HWT的QPSK信號碼速率估計方法均失效。在α=2.0的Alpha穩定分布噪聲下，即高斯噪聲下，上述3種方法均能有效估計QPSK信號碼速率，在GSNR≥?1 dB時，基于CMLE的方法能準確估計碼速率，基于CAF和基于HWT的方法分別在GSNR≥?7 dB和GSNR≥0 dB時，能達到準確估計。基于CMLE的方法是以柯西分布噪聲為背景的碼速率估計方法，對于脈沖噪聲抑制作用較強，而在高斯噪聲下，基于CAF方法的參數估計性能優于基于CMLE的方法。

圖6 QPSK信號碼速率估計性能比較

5 結束語

在Alpha穩定分布噪聲下，本文提出了一種基于柯西分布的PSK信號碼速率最大似然估計算法，并給出了算法步驟。該方法通過窗口劃分將信號分為定時偏差窗與碼元符號窗，并利用碼元符號信息，建立基于柯西分布的似然函數。在Alpha穩定分布噪聲下，可同時獲得定時偏差窗寬與碼元符號窗寬的最大似然估計，從而得到碼速率的估計。仿真實驗中，分別對BPSK和QPSK信號進行碼速率的最大似然估計，并對比了基于循環自相關函數與基于Haar小波變換的參數估計方法。仿真結果表明，本文方法較基于循環自相關函數的方法算法復雜度低，且相對于Haar小波變換和循環自相關函數的方法，該方法對脈沖抑制作用強，在脈沖強度不同的Alpha穩定分布噪聲下，均具有良好的參數估計性能。

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金 艷： 女，1978年生，博士，副教授，碩士生導師，研究方向為現代信號處理、統計信號處理、信號檢測與估計、通信信號偵測等.

朱 敏： 男，1991年生，碩士生，研究方向為信號檢測與估計、脈沖噪聲處理.

姬紅兵： 男，1963年生，博士，教授，博士生導師，研究方向為光電信息處理、微弱信號檢測與識別、醫學影像處理等.

Cauchy Distribution Based Maximum-likelihood Estimator for Symbol Rate of Phase Shift Keying Signals in Alpha Stable Noise Environment

Jin Yan Zhu Min Ji Hong-bing
(School of Electronic Engineering, Xidian University, Xi'an 710071, China)

In order to solve the problem that the performance of existing algorithms for the symbol rate estimation of Phase Shift Keying (PSK) signals will significantly degrade in the Alpha stable noise environment, a novel Cauchy distribution based Maximum-Likelihood Estimator (CMLE) method for symbol rate of PSK signals is proposed. The parameters of the timing offset and the symbol rate can be estimated simultaneously through this method. The windowed procedure is utilized in the CMLE and the noise polluted PSK signal is divided into a timing offset window and the multiple windows with certain width which are non-overlapping and synchronized in the time domain, and only one code symbol is contained in each window; in the Alpha stable noise environment, the symbol in the window is utilized and a likelihood function based on Cauchy distribution is built, then the maximum-likelihood estimation of window width for the timing offset and the symbol rate can be achieved simultaneously. The simulation results show that the proposed method can suppress the Alpha stable noise efficiently and offer superior parameter estimation performance.

Signal processing; Alpha-stable distribution; Cauchy distribution; Phase Shift Keying (PSK) signals; Symbol rate; Maximum-Likelihood Estimator (MLE)

TN911.7

： A

：1009-5896(2015)06-1323-07

10.11999/JEIT141180

2014-09-10收到，2014-12-25改回

國家自然科學基金(61201286)，陜西省自然科學基金(2014JM8304)和中央高校基本科研業務費專項資金(K5051202013)資助課題

*通信作者：朱敏 zhum91@163.com