分塊的有序范德蒙矩陣作為壓縮感知測量矩陣的研究

趙瑞珍王若乾 張鳳珍 岑翼剛 胡紹海

(北京交通大學信息科學研究所 北京 100044)

(現代信息科學與網絡技術北京市重點實驗室 北京 100044)

分塊的有序范德蒙矩陣作為壓縮感知測量矩陣的研究

趙瑞珍*王若乾 張鳳珍 岑翼剛 胡紹海

(北京交通大學信息科學研究所 北京 100044)

(現代信息科學與網絡技術北京市重點實驗室 北京 100044)

測量矩陣是壓縮感知(Compressed Sensing, CS)的重要組成部分，確定性的測量矩陣易于硬件實現，但是重構信號的精度一般不如隨機矩陣。針對這一缺點，該文提出并構造了一種新的確定性測量矩陣，稱作分塊的有序范德蒙矩陣。范德蒙矩陣具有線性不相關的性質，在此基礎上加上分塊操作和對元素進行有序排列得到的分塊的有序范德蒙矩陣，實現了時域中的非均勻采樣，特別適合于維數較大的自然圖像信號。仿真實驗表明，對于圖像信號該矩陣具有遠高于高斯矩陣的重構精度，可以作為實際中的測量矩陣使用。

壓縮感知；測量矩陣；線性不相關；非均勻采樣；范德蒙矩陣

1 引言

壓縮感知(Compressive Sensing, CS)[1?3]是針對稀疏或可壓縮信號的壓縮采樣理論，該理論在信號的獲取方式上突破了傳統的奈奎斯特采樣定理。奈奎斯特采樣定理要求采樣頻率高于采樣信號的兩倍帶寬，而壓縮感知要求采樣信號是稀疏的或是在變換域是稀疏的，使得壓縮感知可以在遠小于奈奎斯特采樣速率的條件下對信號進行采樣的同時對信號進行壓縮，因此，壓縮感知克服了采樣數據量巨

2014-06-30收到，2015-03-03改回

國家自然科學基金(61073079)，中央高校基本科研業務費專項基金(2013JBZ003)，高等學校博士點基金(20120009110008)和教育部新世紀優秀人才支持計劃(NCET-12-0768)資助課題

*通信作者：趙瑞珍 rzhzhao@bjtu.edu.cn大，傳感元、采樣時間以及數據存儲空間等物理資源浪費嚴重的問題。

壓縮感知理論主要包括信號的獲取和信號的重構兩個部分，在這兩部分中測量矩陣都起著重要的作用。首先，在信號獲取端，測量矩陣的優劣關系著信號測量數目的多少，相對于低劣的測量矩陣，優良的測量矩陣可以在較少的測量數目下達到相同的重構精度。其次，在重構端，在相同的采樣率下得到數據，優良的測量矩陣對信號的重構精度要高于低劣的測量矩陣。

在壓縮感知之初，測量矩陣普遍采用隨機矩陣用于理論研究。隨機測量矩陣雖然在理論上完美，但是在硬件實現上非常困難。出于對實際問題的考慮，尤其是在單像素相機[4]研制出之后，大部分學者轉向研究確定性的測量矩陣和結構性的測量矩陣。截至目前，國內外學者經過嚴謹的數學證明和反復的實驗驗證，已提出多種測量矩陣：確定性測量矩陣中如多項式測量矩陣[5]、基于混沌序列的測量矩陣[6]以及近年來將編碼理論用于該領域得到的各種校驗碼測量矩陣[7,8]，其中多項式測量矩陣和校驗碼矩陣對稀疏信號重構效果較好，但是對矩陣的行數和列數要求十分嚴格，而且對可壓縮信號重構較差，基于混沌序列的測量矩陣是稠密矩陣，需要占用較多的存儲空間；結構性的測量矩陣中如分塊壓縮感知的測量矩陣[9]、稀疏隨機矩陣[10]、托普利茲矩陣[11]、廣義輪換矩陣[12]，其中構成分塊壓縮感知測量矩陣的子矩陣和稀疏隨機矩陣是隨機矩陣，相對于確定性矩陣來說，硬件實現上仍然困難，托普利茲矩陣和廣義輪換矩陣具有一定的結構，減少了存儲空間，但是重構精度一般。

針對上述測量矩陣的優缺點，本文提出并構造了一種新的確定性測量矩陣，分塊的有序范德蒙矩陣。范德蒙矩陣具有線性不相關的性質[13]，將分塊和非均勻采樣[12,14]的思想引入其中得到的分塊的有序范德蒙矩陣具有了一定的結構性。這種新的測量矩陣占用存儲空間少，易于硬件實現，而且仿真實驗表明，其對自然圖像具有遠高于高斯矩陣的重構精度。

2 基本理論

設x是長度為N的稀疏信號，經過線性測量后得到長度為M(M＜N)的觀測信號y，它們之間的關系可以表示為：

2.1 壓縮感知

其中矩陣Φ稱為測量矩陣，大小為M×N。如果x是可壓縮信號，可以把x變換到稀疏域中表示，即x=Ψs，其中s是N維的稀疏向量，Ψ是N×N大小的稀疏表示基。把該式代入式(1)得到：

其中矩陣Θ=ΦΨ稱為傳感矩陣，大小為M×N。

上述過程即為壓縮感知的信號獲取過程，這個過程是線性的。而信號的重構過程是非線性的，當x是稀疏信號時，重構的數學表達式為

求解式(3)可以直接重構出原始信號x。當x是可壓縮信號時，重構的數學表達式為

對于式(4)，為了重構出原始信號x，需要把求得的s代入x=Ψs中。由于式(3)和式(4)的l0范數最小化問題是一個NP-hard問題，可以使用l1范數代替求解，具體參見文獻[3]。重構過程用到的一些重構算法具體參見文獻[15]。

2.2 測量矩陣

從壓縮感知的整個過程中可以看出測量矩陣起著關鍵作用，是壓縮感知的重要組成部分。為了能夠精確重構信號，文獻[2]給出了測量矩陣需要滿足的3個特征：(1)由測量矩陣的列向量組成的子矩陣的最小奇異值必須大于一定的常數，也即：測量矩陣的列向量滿足一定的線性獨立性；(2)測量矩陣的列向量體現某種類似噪聲的獨立隨機性；(3)滿足稀疏度的解是滿足1-范數最小的向量。這3個特征對測量矩陣的構造起著重要的指導作用。

測量矩陣就確定性方面可以分為隨機測量矩陣和確定性測量矩陣。隨機測量矩陣的每一個元素都是獨立同分布的，保證了測量矩陣列與列之間的不相關性，較好的滿足了上述3個特征，因此對測量信號具有普遍適用性，而且用較少的采樣便可獲得較精確的重構。同時，正是由于隨機矩陣每一個元素都獨立地服從同一分布，之間沒有任何的相關性和結構性，使得每一個元素都要存儲，耗費大量的存儲空間，不利于硬件實現。確定性測量矩陣的元素的位置和值都是確定的，易于硬件電路實現，但是對上述3個特征的符合度不如隨機測量矩陣，因此在普適性和重構能力上一般次于隨機測量矩陣。盡管隨機測量矩陣的重構性能較為理想，但是出于對硬件電路實現問題的解決，對確定性測量矩陣的研究尤為必要。

3 分塊的有序范德蒙矩陣

本文以第2.2節中提到的測量矩陣需要滿足的3個特征為出發點，并且注意到自然圖像在頻域的稀疏系數集中分布在低頻段的性質[12]，通過分析范德蒙矩陣，利用有效的方法將其改造為易于硬件實現且重構精度較高的測量矩陣。

3.1 范德蒙矩陣

范德蒙矩陣是一個各列或各行呈現出幾何級數關系的矩陣，例如，式(5)的矩陣V就是一個m×n大小的范德蒙矩陣：

范德蒙矩陣有一個良好的性質，即，當ai(i= 1,2,…,n)互不相等時，從矩陣V中任意選取的k(k≤min(m,n ))個列向量或者行向量都是線性無關的[13]。這與文獻[2]提出的測量矩陣應具有的第(1)個特征相符，即，測量矩陣的列向量滿足一定的線性獨立性。

3.2 分塊的范德蒙矩陣

一般自然圖像信號的行列維數都比較高，可以達到102～103的數量級或者更高，即便采用分塊掃描或者逐列掃描方式采樣，直接使用范德蒙矩陣V進行測量，行數m和列數n也都將在102～103的數量級，相對于ai(i=1,2,…,n)來說將會是非常大(當ai＞1)或者非常小(當ai＜1)的數值，這樣用硬件實現起來將會非常困難；如果盡量使ai接近于1，使/ai不至于太大或者太小，那么會造成ai≈aj(i,j=1,2,…,n,i≠j )，這樣列向量之間的非相關性就會減弱，從而降低信號的重構精度。因此將范德蒙矩陣直接用作測量矩陣并不是一個可取的辦法，應該采取其他手段對范德蒙矩陣進行改進，使其易于硬件實現，同時列向量之間的非相關性不至于降低。

由上面的分析可知，范德蒙矩陣V的行數m和列數n應該取很小的值，這樣易于硬件實現，同時ai(i=1,2,…,n)之間不能太接近，以確保列向量之間較強的非相關性。結合這兩點，本文采用分塊的方法對范德蒙矩陣進行改進，使范德蒙矩陣作為測量矩陣的子塊(子矩陣)，對角排列成一個維數較大的測量矩陣，并稱該測量矩陣為分塊的范德蒙矩陣。對一個m×n的范德蒙矩陣V，對角排列成M×N的分塊的范德蒙矩陣ΦB，而ΦB的非對角子矩陣全為零矩陣，即：

其中M/m=N/n=L 為塊數。這樣構造的測量矩陣使得范德蒙矩陣V的行數m和列數n都可以是非常小的整數，同時也可以使ai(i=1,2,…,n)之間的取值有一定差距，保證了列向量之間較強的非相關性。

3.3 分塊的有序范德蒙矩陣

如果分塊的范德蒙矩陣ΦB中子矩陣V的元素ai(i=1,2,…,n ?1)滿足ai＜ai+1，本文稱這種分塊的范德蒙矩陣為分塊的有序范德蒙矩陣ΦBO。這種元素的有序排列可以保證自然圖像信號進行稀疏分解時稀疏基和稀疏系數的對應結構性，在時域采樣時實現非均勻采樣，加強對低頻段的采樣，提高信號的重構精度。需要強調的是文獻[12]和文獻[14]的非均勻采樣需要把信號變換到變換域后實現，而分塊的有序范德蒙矩陣的非均勻采樣可以直接在時域采樣中實現。

由上述測量矩陣ΦBO的構造過程，可以發現對ΦBO分的塊越小越利于硬件實現。不僅如此，在信號采樣時，塊越小計算復雜度越低。因為稠密矩陣在采樣時需要進行MN次乘法運算，M(N?1)次加法運算，分塊的有序范德蒙矩陣只需要Mn次乘法和M(n?1)次加法運算，而n比N要小得多。但是這并不意味著分的塊越小越好，塊越小往往會導致重構的精度越低，這是因為塊越小零元素越多，采樣時得到的信息量一般就越少。因此在實際問題中需要對塊的大小和重構精度進行折中考慮。同時，本文還可以發現，稠密矩陣與分塊的有序范德蒙矩陣在采樣時的總體計算復雜度之比約為N/n，當信號維數N越大時(n固定不變)，比值N/n越大，這說明分塊的有序范德蒙矩陣相比稠密矩陣更利于采樣維數較高的信號。

通過上述分析，本文可以得到分塊的有序范德蒙矩陣具有以下優點：分塊方法的采用使矩陣產生了大量的零元素，而且ai(i=1,2,…,n)可以取整數，使得測量矩陣易于硬件實現；ai(i=1,2,…,n)的取值不同，使列向量之間有較強的非相關性，保證了信號的較高重構精度；矩陣元素有序性的排列實現了時域中的非均勻采樣，加強了低頻段的采樣，進一步提高了對信號的重構精度；不同塊的列向量之間非零元素的位置是不重疊的，采樣的信號段也會不同，因此可以進行并行采樣，減少采樣時間；相對于稠密矩陣，分塊的測量矩陣降低了信號采樣時的計算復雜度，更利于采樣維數較高的信號；測量矩陣的生成并沒有復雜的運算，只有冪乘和復制操作，因此生成時間也非常短；分塊和對角排列使測量矩陣具有很強的結構性，對M×N大小的測量矩陣ΦBO只需存儲m×n 的范德蒙矩陣V和塊數L，極大地減少了存儲空間。進一步，根據有序性，可以使ai(i=1,2,…,n)為等差數列，這時只需存儲初始值a1、公差d、子塊的行數m、子塊的列數n以及塊數L這幾個數值就可以生成整個矩陣。因此，這樣構造的測量矩陣對硬件是極其友好的，而且有利于自然圖像信號重構。

4 仿真與分析

本文采用2維圖像信號進行仿真實驗，對分塊的有序范德蒙矩陣的重構性能進行了驗證，作為對比實驗的測量矩陣有常用的高斯隨機矩陣、確定性測量矩陣中的基于混沌序列的測量矩陣以及結構性測量矩陣中常用的托普利茲矩陣。同時，為了驗證元素的有序性排列實現了非均勻采樣并且提高了信號的重構精度，本文加入了對元素無序排列的分塊的范德蒙矩陣的比較。本文所有實驗都是在Matlab2012a下進行的，使用的是3.00 GHz的雙核臺式計算機。稀疏基Ψ采用DCT基，重構算法采用SL0算法[16]。首先，分別對大小為256×256的Lena, Peppers, Cameraman和Boats圖像在時域中進行了采樣并重構。為了便于實驗，本文對2維圖像進行逐列采樣和重構，因此各測量矩陣Φ的列數N=256。當采樣率R=M/N=0.5時各測量矩陣對圖像重構的結果如表1所示。

表1中分塊的有序范德蒙矩陣的子矩陣V大小為4×8, ai采用等差序列，初值a1=1，公差d=1；分塊的范德蒙矩陣是對分塊的有序范德蒙矩陣進行隨機亂序后得到的，由于隨機性因素的存在，由它和高斯隨機矩陣以及托普利茲矩陣所得到的結果都是在重復進行1000次實驗后求得的平均值，下面的實驗也如此處理。

表1 采樣率為0.5時，各測量矩陣對圖像重構PSNR(dB)的比較

由表1可以看出，高斯隨機矩陣和基于混沌序列測量矩陣對信號重構的PSNR比較接近，托普利茲矩陣的重構精度最低；分塊的范德蒙矩陣對信號的重構精度高于上述3個測量矩陣，說明矩陣列向量的非相關性有利于信號重構；分塊的有序范德蒙矩陣的重構精度比分塊的范德蒙矩陣有進一步的提升，說明元素的有序性排列起了作用，但是還無法說明它實現了非均勻采樣。

為了便于從視覺角度上進行比較，圖1列出了上述實驗各測量矩陣對Lena圖像重構后的效果圖，從視覺角度看，分塊的有序范德蒙矩陣也遠遠優于其他測量矩陣。

為了進一步驗證本文提出的測量矩陣相比其它測量矩陣在重構精度上具有明顯優勢，本文在不同的采樣率下，用上述測量矩陣對Lena圖像在時域進行了采樣并重構，重構結果如圖2所示(在不同采樣率下的分塊的有序范德蒙矩陣按以下方式取得：采樣率為0.1～0.8時，子塊V的行m固定為4，采樣率為0.9時，m固定為9；列n根據采樣率取大于等于mN/M的最小整數，對得到的整個矩陣取前M行和前N列即為測量矩陣。分塊的范德蒙矩陣是在對應采樣率的分塊的有序范德蒙矩陣的基礎上進行隨機亂序得到的)。由圖2結果可見，分塊的有序范德蒙矩陣在任何采樣率下都優于其它測量矩陣。

圖1 各測量矩陣對Lena圖像重構效果比較

圖2 各測量矩陣對Lena圖像在不同采樣率下重構結果比較

上述實驗，從分塊的有序范德蒙矩陣和分塊的范德蒙矩陣的對比中可以看出，元素的有序性排列的確提高了信號的重構精度，但是還不能說明分塊的有序范德蒙矩陣實現了非均勻采樣。為了驗證其實現了非均勻采樣，加強了對低頻部分的采樣，本文進行了如下實驗：用不同的測量矩陣在采樣率R=0.5下分別對Lena圖像在時域進行采樣并重構，然后再分別比較重構圖像的高頻部分和低頻部分的相對誤差。相對誤差公式為100%，其中fr表示重構圖像的DCT系數，fo表示原始圖像的DCT系數，計算高頻部分相對誤差時，fr, fo采用高頻部分DCT系數，計算低頻部分相對誤差時，fr, fo采用低頻部分DCT系數(不包含直流系數)，計算總的相對誤差時，fr, fo采用全部DCT系數。實驗結果如表2所示。

由表2可以看出，高頻部分，除分塊的有序范德蒙矩陣的相對誤差相對較大外，其余測量矩陣的相對誤差比較接近；而低頻部分，各個測量矩陣的相對誤差差距較大。這是因為圖像信號低頻系數數值較大，容易重構，而高頻系數較小且普遍接近于零，不易精確重構，所以各個測量矩陣重構誤差主要體現在低頻部分。分塊的有序范德蒙矩陣和分塊的范德蒙矩陣只有元素排列順序的差別，從兩者對Lena圖像高低頻相對誤差的差距中可以看出，分塊的有序范德蒙矩陣加強了對低頻部分的采樣，使得低頻部分的重構誤差有較大幅度的降低，高頻部分的重構誤差有一定增加，又由于該實驗是在時域中進行的，這說明分塊的有序范德蒙矩陣在時域中實現了非均勻采樣。通過表2中的總的相對誤差可以看出，這種非均勻采樣從整體上提高了測量矩陣對圖像的重構精度。

考慮到塊大小對實際應用有著重要的影響作用，本文還對不同塊大小情況下的分塊的有序范德蒙矩陣進行了實驗。在采樣率R=0.5以及塊大小分別為3×6, 4×8, 5×10和6×12的情況下，分別對大小為256×256的Lena, Peppers, Cameraman和Boats圖像在時域中進行了采樣并重構，重構效果如表3所示。

通過表3的縱向比較，可以得出分的塊越大，圖像的重構精度越高，這和第3.3節中的分析是一致的。但是隨著分塊大小的逐漸變大，重構精度的提升也越來越小，這主要是因為子矩陣中an和an?1的相對差距越來越小(即越來越小)，導致了相應列的非相關性降低。同時，還應注意到，并不是分塊越大越好，分塊越大反而增加了硬件電路實現的難度(太大的塊也毫無實際意義，因為指數增長太快了，硬件難以實現)，也增加了采樣時的計算復雜度。所以，在實際的應用情況中，應有一個折衷的考慮。

表2 采樣率為0.5時，各測量矩陣重構Lena圖像的高、低頻相對誤差(%)

表3 分塊的有序范德蒙矩陣在不同塊大小情況下對各圖像重構PSNR(dB)的比較

5 結束語

本文提出了一種新的確定性測量矩陣，即分塊的有序范德蒙矩陣。范德蒙矩陣具有線性不相關的優良性質，但是其元素呈現出的幾何級數關系限制了其直接作為測量矩陣的使用。本文采用分塊的技術，將其改造為矩陣元素可以是整數且極其稀疏的矩陣，同時還保留了向量線性不相關的性質。注意到自然圖像在頻域的稀疏系數集中分布在低頻段的特點，本文又將范德蒙矩陣的元素進行了有序排列，實現了時域的非均勻采樣。大量實驗表明，通過分塊和排序得到的分塊的有序范德蒙矩陣對2維圖像信號的重構精度遠遠高于高斯隨機矩陣等。同時，該矩陣還具有構造簡單、占用存儲空間少和計算復雜度低等優點。因此，分塊的有序范德蒙矩陣是一種極易于硬件實現且重構精度較高的測量矩陣。

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趙瑞珍： 男，1975年生，博士，教授，研究方向為圖像處理、小波變換、壓縮感知等.

王若乾： 男，1986年生，碩士生，研究方向為壓縮感知測量矩陣構造與優化.

張鳳珍： 女，1983年生，博士生，研究方向為壓縮感知及其應用.

Research on the Blocked Ordered Vandermonde Matrix Used as Measurement Matrix for Compressed Sensing

Zhao Rui-zhen Wang Ruo-qian Zhang Feng-zhen Cen Yi-gang Hu Shao-hai
(Institute of Information Science, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)
(Key Laboratory of Advanced Information Science and Network Technology of Beijing, Beijing 100044, China)

The measurement matrix is an important part of Compressed Sensing (CS). Although the deterministic matrix is easy to implement by the hardware, it performs not so well as a random matrix in the signal reconstruction. To solve this problem, a new deterministic measurement matrix which is called as the blocked ordered Vandermonde matrix is proposed. The blocked ordered Vandermonde matrix is constructed on the basis of the Vandermonde matrix, whose the vectors are linearly independent. Then the block operation is taken and its elements are sorted. The proposed new measurement matrix realizes the non-uniform sampling in the time domain and is specifically suitable for the natural images whose the dimension is usually high. The simulation results show that the proposed matrix is much superior to the Gaussian matrix in the image construction, and can be used in practice.

Compressed Sensing (CS); Measurement matrix; Linear independence; Non-uniform sampling; Vandermonde matrix

TN911.7

：A

：1009-5896(2015)06-1317-06

10.11999/JEIT140860