淺談初中階段的函數關系

羅文宏

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）15-0040-01

1.一次函數

（1）一次函數。如果y=kx+b（k、b是常數，k≠0），那么y叫做x的一次函數。

特別地，當b=0時，一次函數y=kx+b成為y=kx（k是常數，k≠0），這時，y叫做x的正比例函數。

（2）一次函數的圖像。一次函數y=kx+b的圖像是一條經過（0，b）點和（，0）點的直線。

特別地，正比例函數圖像是一條經過原點的直線。需要說明的是，在平面直角坐標系中，“直線”并不等價于“一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像”，因為還有直線y=m（此時k=0）和直線x=n（此時k不存在），它們不是一次函數圖像。

（3）一次函數的性質。當k>0時，y隨x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減小。 直線y=kx+b與y軸的交點坐標為（0，b），與x軸的交點坐標為（）。

（4）用函數觀點看方程（組）與不等式。①任何一元一次方程都可以轉化為ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：一次函數y=kx+b（k，b為常數，k≠0），當y=0時，求相應的自變量的值，從圖像上看，相當于已知直線y=kx+b，確定它與x軸交點的橫坐標。②二元一次方程組對應兩個一次函數，于是也對應兩條直線，從“數”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數值相等，以及這兩個函數值是何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線的交點的坐標。③任何一元一次不等式都可以轉化ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數，a≠0）的形式，解一元一次不等式可以看做：當一次函數值大于0或小于0時，求自變量相應的取值范圍。

2.反比例函數

（1）反比例函數 如果k是常數，k≠0，那么y叫做x的反比例函數。

（2）反比例函數的圖像反比例函數的圖像是雙曲線。

（3）反比例函數的性質。①當k>0時，圖像的兩個分支分別在第一、三象限內，在各自的象限內，y隨x的增大而減小。②當k<0時，圖像的兩個分支分別在第二、四象限內，在各自的象限內，y隨x的增大而增大。③反比例函數圖像關于直線y=€眡對稱，關于原點對稱。

（4）k的兩種求法

①若點（x0，y0）在雙曲線 上，則k=x0y0。

②k的幾何意義： 若雙曲線上任一點A（x，y），AB⊥x軸于B，則S△AOB 的面積就是K值。

（5）正比例函數和反比例函數的交點問題

若正比例函數y=k1x（k1≠0），反比例函數 y=（x≠0，k2≠0），則當k1k2<0時，兩函數圖像無交點； 當k1k2>0時，兩函數圖像有兩個交點。由此可知，正反比例函數的圖像若有交點，兩交點一定關于原點對稱。

3.二次函數

（1）如果y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0），那么y叫做x的二次函數，幾種特殊的二次函數：y=ax2（a≠0）；y=ax2+c（ac≠0）；y=ax2+bx（ab≠0）；y=a（x-h）2（a≠0）。

（2）二次函數的圖像。二次函數y=ax2+bx+c的圖像是對稱軸平行于y軸的一條拋物線。 由y=ax2（a≠0）的圖像，通過平移可得到y=a（x-h）2+k（a≠0）的圖像。

（3）二次函數的性質。二次函數y=ax2+bx+c的性質對應在它的圖像上，有如下性質：

拋物線y=ax2+bx+c的頂點是 ，對稱軸是直線 ，頂點必在對稱軸上；

若a>0，拋物線y=ax2+bx+c的開口向上，因此，對于拋物線上的任意一點（x，y），當x< 時，y隨x的增大而減小；當x> 時，y隨x的增大而增大；當x= ，y有最小值； 若a<0，拋物線y=ax2+bx+c的開口向下，因此，對于拋物線上的任意一點（x，y），當x<，y隨x的增大而增大；當x>時，y隨x的增大而減小；當x=時，y有最大值；

拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點為（0，c）；

在二次函數y=ax2+bx+c中，令y=0可得到拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點的情況： 當△=b2-4ac>0，拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個不同的公共點，它們的坐標分別是（，0）和（，0），這兩點的距離為；當△=b2-4ac=0時，拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個公共點，即為此拋物線的頂點 ；當△=b2-4ac<0時，拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒有公共點。

拋物線的平移 拋物線y=a（x-h）2+k與y=ax2形狀相同，位置不同。把拋物線y=ax2向上（下）、向左（右）平移，可以得到拋物線y=a（x-h）2+k。平移的方向、距離要根據h、k的值來決定。

（責任編輯 全 玲）