基于旋量法的可變形六足機器人腿部運動學分析

于常娟，張明路，劉慶玲，劉欣媛

（1.河北工業大學 機械工程學院，天津 300130；2.廊坊師范學院 數信學院，廊坊 065000）

0 引言

普通的仿生機器人腿部一般具有根關節、髖關節和膝關節三個轉動關節，腿部末端位置如果確定，那么腿部位姿也隨之唯一確定[1,2]，本文突破以往六足仿生機器人運動模式單一和固定的局限，提出了一種具有變形能力的六足仿生機器人，和普通六足仿生機器人的區別是每個腿又設計了一個變形關節，從而使腿部能以不同的姿態到達同一位置，因此增加了六足機器人腿部運動的多樣性和靈活性，以及對不同地形適應的能力，該機器人可根據地形的情況模仿不同動物行走的方式和姿態，如螃蟹、蜘蛛和壁虎等動物。

傳統的D-H方法的局限性在于只能表示關于x軸和z軸的轉動和移動，不能表示關于y軸的運動。由于該六足仿生機器人腿部具有沿y軸的移動，所以不能直接應用傳統的D-H方法進行運動學建模。而旋量方法可以表示任意方向的轉動和移動，且只需建立基礎坐標系S和工具坐標系T兩個坐標系，運算過程較D-H法簡單。利用旋量理論計算機器人的雅克比矩陣可避免對運動學位姿正解求導，簡化了計算，并且避免了D-H法的奇異性問題。

因此采用旋量方法和指數積公式建立可變形腿的運動模型，計算腿部的正解和逆解以及雅可比矩陣。劉亞軍等運用旋量方法建立操作臂串聯機構運動學模型，得到該操作臂的16組運動學逆解的解析解[3]。胡典傳等利用傳統D-H分析方法建立裝夾機械手的運動學模型[4]。錢東海等基于旋量理論建立6自由度機器人運動學模型并利用Paden-Kahan子問題得到其逆解算法[5]。張小俊等基于旋量法對連續體搜救機器人運動學分析并計算其雅克比矩陣[6]。許晨等利用旋量理論建立多運動體航天器的運動學模型[7]。

1 可變形六足機器人本體結構

該可變形六足仿生機器人的六條結構相同腿部對稱分布在機體的兩側。和普通六足機器人不同，可變形六足仿生機器人每條腿除了具有根關節、髖關節和膝關節外還有一個變形關節，這樣每條腿具有四個轉動關節。當變形關節的轉角發生變化時可以改變腿部行走的模式，完成多運動模式行走的功能，如模擬蜘蛛、螃蟹和壁虎等不同昆蟲或哺乳動物的行走模式，具有多運動模式能力有利于增強六足機器人對未知環境的適應性和可通過性。圖1為六足可變形仿生機器人的樣機。

圖1 六足仿生機器人樣機

2 建立腿部運動學模型

機器人單腿示意圖如圖2所示。機身1與構件2連接處有兩個旋轉關節根關節和髖關節，根關節1繞z軸正方向轉動，髖關節2繞y軸負方向轉動，構件2與構件3由膝關節3連接也繞y軸負方向轉動，構件3與構件4由變形關節4連接。

2.1 正運動學分析

建立基礎坐標系o-xyz，原點o在腿與機身的接觸點。腿部初始位置：構件2和構件3都與x軸重疊，方向向右，構件4沿y軸正方向。構件2、構件3和構件4的長度分別為l2、l3和l4。

初始位置時四個轉動關節的軸線方向和位置如表1所示。

表1 各關節的螺旋軸線方向和位置

圖2 機器人單腿示意圖

轉動關節變換矩陣：

θi為各轉動關節的轉動角度，hi為各螺旋運動的節距，由于各關節沒有沿各軸線方向移動，所以hi都為0。足端相對于基礎坐標系o-xyz的位姿矩陣為：

其中gTS(0)為足端在初始時刻相對基礎坐標系位姿矩陣：

其中，p(0)為初始時刻足端在基礎坐標系下的坐標。ci、si分別是 cos(θi)和sin(θi)的縮寫，c23、s23分別是cos(θ2+ θ3)和s i n(θ2+ θ3)的縮寫。

足端的坐標為：

2.2 逆運動學分析

式(1)兩邊同時右乘gTS-1(0)得：

點q3同時在關節3和關節4的軸線上，式(3)兩邊同時右乘q3得：

解得：

把θ1和θ2的值代入式(3)得：

2.3 正解和逆解的驗證

設 θ1= π /6，θ2= π /6，θ3= π /4，θ4= π /6；

則根據式，足端相對于基礎坐標系o-xyz的位姿矩陣為gTS(θ)，其中：

根據逆解式(4)～式(7)解得：

逆向運動學的輸出是正向運動學的輸入，說明利用旋量理論與指數積方法建立腿部運動學模型正確。

3 雅可比矩陣求解

為機器人足端瞬時空間速度（相對慣性坐標系的速度），(θ)為機器人相對慣性坐標系的雅可比矩陣。為機器人腿部各關節相對慣性坐標系的角速度。

傳統方法是對正向運動學求導得到雅可比矩陣但是求導過程復雜。而利用旋量理論描述雅可比矩陣計算自然簡單，并且結果有明確的幾何特征。

其中：

因此，不必對正解求微分就能求出機器人足端的雅可比矩陣，這大大簡化了雅可比矩陣的計算量，并且避免了傳統方法可能存在的奇異性問題。

四個轉動關節的初始時刻運動旋量Plücer射線坐標為：

四個轉動關節的當前時刻運動旋量Plücer坐標為：

六足仿生機器人腿部相對慣性坐標系的雅可比矩陣[8]。

4 MAPLE仿真

機器人腿部構件的參數l1=2cm，l2=20cm，l3=15cm，l4=10cm。當各關節轉動的空間角速度（相對慣性坐標系）=（10，20，10，20）時，根據式(2)，機器人足端相對慣性坐標系的三個方向位移變化如圖3所示。

圖3 機器人足端位移變化曲線

根據式(8)，得到機器人足端瞬時空間速度：

其中為足端物體坐標系相對慣性坐標系的角速度，如圖4所示。

圖4 足端坐標系空間角速度變化曲線

為機器人腿部最末構件上的經過慣性坐標系原點的點相對慣性坐標系的速度如圖5所示。

圖5 足端通過慣性坐標系原點的空間速度變化曲線

5 結論

基于指數積和旋量理論為六足可變形仿生機器人的腿部建立了運動學模型，并計算得到足端位姿正解的解析解，利用經典消元理論和Paden-Kahan子問題方法計算其運動學的解析逆解。根據旋量理論推導出腿部的雅可比矩陣，并利用MAPLE軟件對足端的位置和速度進行仿真，驗證了運動學模型和雅可比矩陣的正確性。

[1] Donghoon Son,Dongsu Jeon, Woo Chul Nam,Doyoung Chang, TaeWon Seo,Jongwon Kim.Gait planning based on kinematics for a quadruped gecko model with redundancy[J].Robotics and Autonomous Systems,2010,58:648-656.

[2] 孟偲,王田苗,丑武勝,官勝國,裴葆青.仿壁虎機器人的步態設計與路徑規劃[J].機械工程學報,2010,46(9):32-37.

[3] 劉亞軍,黃田.6R操作臂逆運動學分析與軌跡規劃[J].機械工程學報,2012,48(3):9-15.

[4] 胡典傳,顧寄南,師二產.新型裝夾機械手的運動學分析與軌跡規劃[J].制造業自動化,2011,33(5):100-102.

[5] 錢東海,王新峰,趙偉,崔澤.基于旋量理論和Paden-Kahan子問題的6自由度機器人逆解算法[J].機械工程學報,2009,45(9):72-76,81.

[6] 張小俊,孫凌宇,張明路,張玉娟.基于旋量法的連續體搜救機器人運動學分析[J].華中科技大學學報,2013,41(12):90-94.

[7] 許晨,陸宇平,劉燕斌,徐志暉.多運動體航天器旋量理論動力學建模與滑模控制[J].系統工程與電子技術,2012,34(12):2535-2540.

[8] 蘭陟,李振亮,李亞.基于旋量理論的5-DOF上肢康復機器人雅克比矩陣求解[J].機械設計,2011,28(5):51-53,74.