基于貝杰龍（Bergeron）算法的雷電入侵波對變電站危害的研究

李恩佳

摘要：本文主要基于道梅爾—貝杰龍（Bergeron）算法的相關理論和數學模型，以理想的無損耗單導線線路為研究對象，利用相關集中參數元件的數學模型，將線路中的電感、電容變為只包含電阻及電流源的等值電路，最終將分布參數線路和集中參數元件轉化為貝杰龍（Bergeron）等值電路。

關鍵詞：貝杰龍算法；雷電入侵波；變電站

一、前言

變電站是電力系統的核心部分，在電力系統中扮演著重要的角色，一旦發生雷電事故，輕則會使變電站中的重要設備受損，重則會造成大面積的停電事故。因此，變電站對防雷保護的要求必須十分可靠。本文主要研究雷擊輸電線路后產生的雷電波侵入變電站，對于雷擊輸電線路產生的雷電入侵波，通常的解決辦法是在電氣設備旁安裝閥型避雷器。但是，在實際工程中不可能實現在每個電氣設備旁都設置一組避雷器。那么，本文主要使用貝杰龍（Bergeron）算法，建立電力系統的數學模型和等值電路，計算出網絡中各個節點的電壓，從而能計算出在重要的節點處使用保護設備。

二、波過程概述

（一）、無損耗單導線線路中的波過程

實際的輸電線路采用三相交流或雙極直流輸電，導線和絕緣中分別存在電阻和電導，在電磁波傳播過程中還會產生能量損耗。所以，所謂的均勻無損單導線路實際上是不存在的。但為了更清晰的分析波過程的物理本質和基本規律，暫時忽略線路電阻和電導損耗，假設線路各處參數均勻，便于理論上的分析研究。

1、電壓波和電流波的傳播

首先分析電壓波和電流波是怎樣在線路上傳播的。圖1為一條無限長的均勻無損的單導線，設在t=0時合閘于直流電壓源E，單位長度線路的電感、電容分別為L0、C0。

圖1波在均勻無損單導線上的傳播

隨著線路電容的充放電，將有電流流過導線的電感，即在導線周圍空間建立起磁場。因此，和電壓波相適應，還有一電流波以同樣的速度沿x方向流動。

2、電壓波和電流波的數量關系

設向x方向傳播的電壓波和電流波，在開關合閘后t=時刻到達x=點。長度為的導線上的電容C0充電到u=E，獲得電荷C0u。這些電荷又是在時間內，通過電流波i輸送過來的，因此：

C0u =i （2.1）

另一方面，這段導線上的總電感為L0，在同一時間內，電流波i在導線周圍建立起磁鏈L0i，導線上的感應電勢為：

由式（2.1）和（2.2），得到電壓波和電流波的關系為：

上式對于均勻無損線上的任一點都適用，它值是一個實數，具有電阻的量綱，稱為波阻抗，用Z表示：

其中： L0 =H/m，C0 = F/m。

（二）、波動方程

設單根均勻無損長線的參數L0、C0都是不變的常量。令x為線路首端到線路上某一點的距離，可以把長線看作是由許多無限小長度dx的線路單元電路串聯而成，每一線路單元具有電感L0dx和電容C0dx，如圖2所示。

圖2單根無損長線的單元等值電路

由圖2線路單元電路的回路電壓關系和節點電流關系可以

建立以下一階偏微分方程組：

由方程（2.6）對x再求導數，由方程（2.7）對t在求導數，然后消去i；并用類似的方法消去u；可以得以下二階偏微分方程：

這就是單根均勻無損長線的波動方程，屬于兩個自變量x和t的二階偏微分方程。

三、貝杰龍（Bergeron）算法分析變電所波過程

（一）、集中參數元件的Bergeron等值模型

利用梯形積分法可推導電感L 和電容C 的Bergeron 模型。電感L 的電壓、電流關系式是：

對上述兩邊在上積分， 并整理后得到：

（3.2）

將式（3.2）中的積分用梯形積分近似代替（用分別代表、t 時刻），即：

（3.3）

把式（3.2）中i 的下標統一成k、k . 1 得：

= （3.4）

式（3.4）又可寫成： （3.5）

上式中：

同理可得到電容的Bergeron 模型：

（3.6）

式中

所以L 、C 都可以表示成一個電阻的等值電路。利用這個模型，可以避免求解L 、C 的微積分方程，使計算L 、C 能象計算電阻一樣簡單

（二）、無損耗傳輸線的Bergeron模型

如圖3的傳輸線km ，長為I，其電壓和電流分別為、、和。利用電力系統過電壓中傳輸線的行波理論，可得到無損耗傳輸線的Bergeron模型，結果如下：

（3.7）

圖3單根傳輸線的Bergeron 等值模型

（三）、Bergeron 算法的應用

假設這里的網絡只包含電源e（s）、電感L 、電容C、電阻R 和傳輸長線，那么，Bergeron 法求解電路網絡的步驟如下：

1、用電路理論中的觀察法寫出網絡的節點電壓方程組：

（3.8）

式中Y 為節點導納矩陣，U（t）為需要求解的節點電壓， 為節點的實際電流源I（

2、用來回迭代法得到I（

對于電感： 其中為t時刻電感的等值計算電流源值，為時刻流過電感的電流， 為時刻此電感兩端的電壓，Bergeron 法的主要思想在于利用時刻t以前的已知量求得t時刻的未知量。

對于電容： 其中為t時刻電容的等值計算電流源值， 為 時刻流過電容的電流，為時刻此電容兩端的電壓。對于傳輸線， 根據上述模型， 有：

（3.9）

（3.10）

將式（3.10） 中的t代入式（3.9）得到

（3.11）、即為式

（3.8）中所需的I（

至此， 電感、電容和傳輸線的Bergeron 計算方法已經順利地應用于含電感、電容和傳輸線的電流網絡中，計算精度可以通過改變來調節，視實際要求而定。

四、小結

（一）、在電力系統的仿真計算中，電感、電容和傳輸線都可用Bergeron 等效模型來表示；

（二）、對迭代公式稍加變形，使電感、電容的計算更簡單；

（三）、計算精度可以根據實際要求，調節大小來達到。

參考文獻：

[1] 周澤存，沈其工，方瑜，王大忠.《高電壓技術》第二版[M].中國電力出版社，2007.

[2] 梁曦東，陳昌漁，周遠翔.《高電壓工程》[M].中國電力出版社，2003.

[3] 許穎.《交流電力系統過電壓防護及絕緣配合》[M].中國電力出版社，2000.

[4] 江日洪，張兵，羅曉宇.《發、變電站防雷保護及應用實例》[M].機械工業出版社，2005.

[5] 施圍.《高電壓工程基礎》[M].機械工業出版社，2004.

[6] 張兵.《高電壓工程》[M].清華大學出版社，2002.

[7] J. K. Das；S. P. Chowdhury；S.Chowdhury；S.Choudhurii Journal of the Institution of Engineers（India）. Electrical Engineering Division，0020.3386，2005 vol.86 no.2 .