高等代數(shù)與解析幾何課程整合的思考

田潔

高等代數(shù)與解析幾何課程整合的思考

田潔

摘 要：本文將簡要探討數(shù)學(xué)整合的背景，探究高等代數(shù)和解析幾何整合的可行性，即符合自身的特點、專業(yè)的需要、符合教育改革的發(fā)展的，然后討論了課程內(nèi)容和改革體系，比如說應(yīng)用問題、教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)代化、課堂、網(wǎng)絡(luò)課程、選修課程的結(jié)合等。之后便著重提出了整合的主要措施，把教材的編寫、啟發(fā)式教學(xué)、教材結(jié)構(gòu)問題等為出發(fā)點，介紹了應(yīng)該做的措施。整合應(yīng)注意的問題和對高等代數(shù)和解析幾何整合的建議也是很有必要的。

關(guān)鍵詞：高等代數(shù)；解析幾何；整合

“高等代數(shù)”和“解析幾何”是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的經(jīng)典課程。從歷史來看，代數(shù)和幾何的發(fā)展一直都是相互聯(lián)系、相互促進的。從邏輯上而言，他們有不少相似或平行之處，因此把他們合并起來以此來節(jié)省課時。

一、教學(xué)整合的背景

當(dāng)前的高等代數(shù)和解析幾何的課程內(nèi)容已經(jīng)基本定型，兼具有邏輯的嚴密性和內(nèi)容的完整性。想要優(yōu)化數(shù)學(xué)課程體系，完成高等代數(shù)與解析幾何課程的整合，需要以高等代數(shù)為解析幾何的方法，以解析幾何作為高等代數(shù)的背景。

從高等代數(shù)和解析幾何的課程內(nèi)容來看，高等代數(shù)涉及的是多項式理論和線性代數(shù)，而解析幾何則主要講述的是向量代數(shù)以及各種圖形性質(zhì)。二者的內(nèi)容有密切相關(guān)的聯(lián)系。第一，高等代數(shù)中的線性空間和線性變換等概念的直觀來源是解析幾何中向量、幾何變換等概念。第二，高等代數(shù)中的矩陣計算、線性方程組求解及二次型理論能夠被運用于解析幾何之中。因此，將兩門的課程合并為一門課程是學(xué)習(xí)和運用它們的最佳途徑。

二、高等代數(shù)和解析幾何整合的可行性

1.高等代數(shù)和解析幾何整合是符合自身的特點

解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問題；高等代數(shù)討論的是從特殊到一般、從具體到抽象，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。兩門課程的內(nèi)容上有相當(dāng)一部分重復(fù)的內(nèi)容，比如說：向量空間、線性相關(guān)、線性變換、特征方程、正交變換等。解析幾何中的三維向量空間是高等代數(shù)中的向量空間為基礎(chǔ)的推廣，解析幾何還為高等代數(shù)提供了一個直觀、實實在在的模型和背景，幾何中的線性變換產(chǎn)生了高等代數(shù)中的矩陣，如：把來自正交變換的高等代數(shù)中的正交矩陣想象成坐標(biāo)系繞著原點的旋轉(zhuǎn)。

為了避免高等代數(shù)和解析幾何的合并會影響代數(shù)和幾何的教學(xué)內(nèi)容重點，可以借助數(shù)學(xué)軟件會出曲面的截面圖、側(cè)面圖、俯瞰圖等，幫助學(xué)生更好、更全面的了解三維空間及其他高維空間。

2.高等代數(shù)和解析幾何整合是專業(yè)的需要

高等代數(shù)和解析幾何是培養(yǎng)數(shù)學(xué)老師最重要的課程，但目前卻面臨著數(shù)學(xué)嚴格化和現(xiàn)代化的挑戰(zhàn)。為滿足新標(biāo)準(zhǔn)要求，必須壓縮傳統(tǒng)的內(nèi)容的課時，加強現(xiàn)代化內(nèi)容的課時，以提高教學(xué)效率。“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要思想，把代數(shù)和幾何的思想相互滲透，是結(jié)合數(shù)與形的重要步驟，能夠增強應(yīng)用意識。

3.高等代數(shù)和解析幾何整合符合教育改革的發(fā)展

數(shù)學(xué)教師的素質(zhì)和新課程的嚴重不適應(yīng)已經(jīng)隨著基礎(chǔ)教育的不斷深化，成為了當(dāng)前教學(xué)改革的主要問題。因此，如何改變數(shù)學(xué)專業(yè)的課程設(shè)置，轉(zhuǎn)變模式培養(yǎng)和提供學(xué)生的綜合素質(zhì)是當(dāng)前教學(xué)的重要問題。一方面，教學(xué)大綱對學(xué)生的數(shù)學(xué)知識水平的要求發(fā)生了很大的變化，教育需要教會學(xué)生的不僅是對于各種數(shù)學(xué)解題方法的運用，還應(yīng)該幫助學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)的思想，重視數(shù)學(xué)的概念、定理、公式的來龍去脈，其中包含的數(shù)學(xué)思想和方法，關(guān)注各基礎(chǔ)學(xué)科的關(guān)聯(lián)。另一方面，越來越多的學(xué)生更關(guān)注畢業(yè)以后的就業(yè)去向，因此讓自身成為能夠符合職業(yè)選擇中的應(yīng)對各種挑戰(zhàn)的高水平人才。當(dāng)前教育的改革整體趨勢是要關(guān)注學(xué)科間的關(guān)聯(lián)，關(guān)注不同領(lǐng)域的內(nèi)在聯(lián)系。而數(shù)學(xué)作為溝通理工學(xué)科的重要工具，其教學(xué)的重點并不應(yīng)該僅僅只放在對于學(xué)生知識的傳授和技能的培養(yǎng)之上，而更應(yīng)該追求學(xué)生對于數(shù)學(xué)思維的掌握，以此來推動學(xué)生自身乃至數(shù)學(xué)界的發(fā)展。當(dāng)今對于高等代數(shù)和解析幾何課程的整合正是追求過程與方法、知識與技能、情感態(tài)度價值觀的三方面目標(biāo)和諧發(fā)展，充分的、真實的展現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的發(fā)生和發(fā)生過程。

三、課程內(nèi)容和改革體系

1.兩者的有機結(jié)合

課程的整合并不是想象中那種簡單的把兩門課程合在一起進行教學(xué)，特別是高等代數(shù)和解析幾何屬于不同的課程。如何將兩門課程的教學(xué)內(nèi)容有機地融合在一起，并且也不顯得那么突兀，是當(dāng)前課程整合面臨的主要問題。對于高等代數(shù)和解析幾何課程的整合，當(dāng)前普遍的想法是將代數(shù)作為解決問題的工具，將幾何作為了解代數(shù)的背景資料和應(yīng)用場所，盡量的用幾何解釋或者幾何模型來解釋代數(shù)概念，使之淺顯易懂。

2.應(yīng)用問題

高等代數(shù)和解析幾何整合后課程對應(yīng)用的要求都在于，數(shù)學(xué)方法對提高學(xué)生能力的應(yīng)用和數(shù)學(xué)方法在實踐中的應(yīng)用，其中包括在各門學(xué)科中的廣泛應(yīng)用。不同專業(yè)的學(xué)生對于數(shù)學(xué)有不同程度的需求，因此有必要按照不同的專業(yè)設(shè)置不同的整合教材給學(xué)生使用，同時教授一些基礎(chǔ)建模的知識來幫助學(xué)生進行知識的實際應(yīng)用掌握。其次，還需要找到生活中對于數(shù)學(xué)知識的實際應(yīng)用材料來幫助學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的理解，幫助學(xué)生將抽象的概念具體化，提高學(xué)生的抽象思維能力。例如：我國近些年來的市場經(jīng)濟得到了飛速的發(fā)展，而在市場經(jīng)濟中影響生產(chǎn)成本的因素有很多，其中最主要的成本之一是運輸成本，企業(yè)一方面希望企業(yè)能夠盡可能的離原料產(chǎn)地較近，另一方面又希望盡可能地與市場較近，因為這樣能夠有效地節(jié)約運輸?shù)某杀荆瞧髽I(yè)想要找到與原料產(chǎn)地較近又與市場較近的地址并不容易，因此只能選擇運輸成本盡量低的位置，這就可以應(yīng)用到矩陣知識。通過對于現(xiàn)實中的例子的說明，能夠讓學(xué)生產(chǎn)生更深的了解。

3.教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)代化

改革的重點之一就是教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)代化。以前的教材太過繁重，給學(xué)生的學(xué)習(xí)造成了很大的負擔(dān)，影響他們學(xué)習(xí)的興趣。因此，現(xiàn)在在處理教材的時候，需要考慮到在盡量不增加學(xué)生負擔(dān)的情況下，使用一些現(xiàn)代知識處理或者結(jié)合現(xiàn)代教學(xué)新成果盡力去做。比如說，把歐式空間作為一般內(nèi)積空間的特例進行教學(xué)。

4.課堂與網(wǎng)絡(luò)課程的有機結(jié)合

為了提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效率，有必要讓數(shù)學(xué)教學(xué)在課外進行延伸，因此進行網(wǎng)絡(luò)課程的建設(shè)也是很有必要的。通過網(wǎng)絡(luò)課程學(xué)生可以突破時間和地理位置的限制，隨時隨地進行數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，并且能夠及時地提出自己的疑惑。并且網(wǎng)絡(luò)課程也有其得天獨厚的優(yōu)勢，例如：在講授歐式空間時，有時候?qū)W生很難通過教師的講授和簡單的板書來理解歐式空間的概念，而通過網(wǎng)絡(luò)課程教學(xué)，可以利用多媒體技術(shù)來構(gòu)建虛擬的歐式空間，以幫助學(xué)生理解。

四、整合的主要措施

1.教材的編寫。兩種知識整合的教材編寫，是具有一定難度的，因為它并不僅僅是簡單的拼湊，而是要形成統(tǒng)一的整體，加強雙方的核心內(nèi)容。具體的來說，可以將高等代數(shù)與解析幾何混編在一起，但是混編必須遵循一定的規(guī)律，只有具有內(nèi)在聯(lián)系的知識才能作為同一章節(jié)進行混編。在混編的章節(jié)中有必要適當(dāng)增加數(shù)學(xué)概念發(fā)現(xiàn)的歷程和現(xiàn)狀，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也能夠幫助學(xué)生更好地傳承經(jīng)典的思維。

2.對課程的內(nèi)容進行及時的更新和選擇。高等數(shù)學(xué)和解析幾何的整合是有一定的規(guī)律可循的，為了讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用技巧的同時，掌握數(shù)學(xué)思想方法和思維方式，有必要對課程的內(nèi)容進行及時的更新，讓學(xué)生接觸到數(shù)學(xué)界最新的思維方式和發(fā)現(xiàn)，教會學(xué)生如何去發(fā)現(xiàn)事物存在的內(nèi)在聯(lián)系，達到數(shù)與形的高度統(tǒng)一。

比如說，加強線性空間、線性變換、二維和三維的線性方程組等內(nèi)容，使得學(xué)生更直觀的理解高維的線性方程組、變換等。充分感受到數(shù)學(xué)抽象之美，思維之美，準(zhǔn)確把握到問題的實質(zhì)。只有充分鍛煉了學(xué)生的直觀思維、形象思維，學(xué)生才能培養(yǎng)出獨特的思維能力，從而深化學(xué)生對數(shù)學(xué)教材的理解，在此基礎(chǔ)上，拓寬他們的解題思路，反思有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，實踐所有的理論。當(dāng)然這種思維能力也能夠被運用于其他科目的教學(xué)之中，讓學(xué)生受益無窮。

3.啟發(fā)式教學(xué)。啟發(fā)式的新教學(xué)模式一定要運用到新教材內(nèi)容的編寫。因為為了滿足目前的教學(xué)要求和社會人才要求，高等代數(shù)與幾何教材的內(nèi)容雖然難以發(fā)生重大的變化，教學(xué)的方式卻可以發(fā)生轉(zhuǎn)變，完成由教師主導(dǎo)的學(xué)生被動接受式的學(xué)習(xí)方法向?qū)W生主動探索的學(xué)習(xí)方法轉(zhuǎn)變。

具體說來每一章節(jié)的主題要鮮明，并且充分介紹每一章節(jié)的內(nèi)容和章節(jié)中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，以便于學(xué)生準(zhǔn)確把握章節(jié)內(nèi)容。其次對于一些基本理論的講述并不應(yīng)該僅僅停留于結(jié)論，對于探索的過程也應(yīng)該盡量展現(xiàn)，這樣有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。在教學(xué)的過程中除了介紹新的課外的知識之外，給學(xué)生提供思維過程，最好留給學(xué)生一定的思維的空間。對于課后習(xí)題的選擇要慎重，編寫的課程后的一些基本訓(xùn)練題，不能滿足學(xué)生鞏固知識的要求，因此還要為不同層次的學(xué)生編選一些“復(fù)習(xí)思考題”，只有滿足各個層次的學(xué)生對于知識的需求，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，才能夠改變學(xué)生只會做題、卻完全不會研究的學(xué)習(xí)方式。

4.教材結(jié)構(gòu)問題。對于數(shù)學(xué)的改革，應(yīng)該一直堅持精簡和注重實際運用的原則，再本著利器善事的原則，在課程的設(shè)置上，以代數(shù)為主線，把行列式、線性空間、線性方程等放在前面，讓學(xué)生們還學(xué)會一些基本的代數(shù)工具，利于后面的學(xué)習(xí)。空間中的向量、向量的相關(guān)性等知識，對于解析幾何的學(xué)習(xí)是很有好處的，能夠幫助學(xué)生理解和深化幾何知識。

同時，把線性函數(shù)、雙線性函數(shù)、對稱雙線性函數(shù)等都放在一章節(jié)里討論，能夠在很大程度上節(jié)約時間和空間，精簡了大量的教學(xué)內(nèi)容、簡化問題。

五、整合應(yīng)注意的問題

數(shù)學(xué)是一門抽象性較強的課程，特別是高等代數(shù)和解析幾何，隨著數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，高等代數(shù)和解析幾何的內(nèi)容也越來越多，其難度也越來越大，其分歧也越來越明顯，就會給高等代數(shù)與解析幾何課程的整合以及學(xué)生的接受能力帶來嚴峻的挑戰(zhàn)。我們需要同時考慮到學(xué)生的接受能力情況下，最大限度的提高課本的更新和提高水平，追求高精尖的內(nèi)容。同時還需要處理好教學(xué)中的應(yīng)用性和基礎(chǔ)性的矛盾。理論聯(lián)系實際、學(xué)以致用，是教學(xué)的主要原則。只有通過應(yīng)用，才能深刻的理解和掌握相關(guān)理論。也只有認真的學(xué)習(xí)代數(shù)和幾何課程的基礎(chǔ)知識，把這些知識和生活的實際例子相結(jié)合，培養(yǎng)重要的實踐能力。對于老師而言，教學(xué)內(nèi)容的廣度和深度是不能同時兼得的，因此必須找好平衡點。高等代數(shù)和解析幾何是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，認真的學(xué)習(xí)代數(shù)和幾何能夠為之后的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中收獲相應(yīng)的知識和必要的基本能力。但教學(xué)時間有限，如果想深入討論的話，就沒有時間再廣泛的介紹其他關(guān)聯(lián)知識；但如果介紹了非常多關(guān)聯(lián)知識，就沒有時間再對某一點進行深入的討論。因此，還是需要老師根據(jù)學(xué)校的安排和學(xué)生的實際情況而定。

六、對高等代數(shù)和解析幾何整合的建議

隨著計算機科技的快速發(fā)展和在人們生活中的普及，高等代數(shù)與解析幾何的教學(xué)必須得到加強。不僅數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生需要對高等代數(shù)和解析幾何有較深的掌握，非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生也應(yīng)該具備一定的高等代數(shù)和解析幾何的知識，這樣才能滿足時代的需求。在這樣的環(huán)境背景下，結(jié)合教學(xué)實踐對高等代數(shù)和解析幾何的整合課程提出如下建議：

一是不同專業(yè)的數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容應(yīng)該有所差異，以信息技術(shù)和數(shù)理統(tǒng)計兩個專業(yè)為例，這兩個專業(yè)都是運用數(shù)學(xué)理論來解決實際問題，因而必須對數(shù)學(xué)理論有較深的掌握，主要是對于矩陣的掌握。但因為相關(guān)的大綱未完善，現(xiàn)有的大學(xué)教材中對于矩陣的求解方法介紹并不是很全面，難以滿足這兩個專業(yè)的學(xué)生今后實際的需求，因此必須要進行一定的補充。

二是習(xí)題課安排要恰當(dāng)。學(xué)生在學(xué)習(xí)理論課程之外有必要進行一定的習(xí)題練習(xí)來加深自己的認識，鞏固上課時接收到的知識。但是當(dāng)今的大學(xué)生的課業(yè)較為繁重，因而數(shù)學(xué)課程的學(xué)時并不多，如何在理論教學(xué)與習(xí)題訓(xùn)練之間取得平衡是重點。既要通過理論講授來讓學(xué)生打好基礎(chǔ)，又要通過適當(dāng)?shù)牧?xí)題訓(xùn)練來幫助學(xué)生內(nèi)化知識。對于此，應(yīng)給予一定機會讓師生之間有思維碰撞的機會，以此來達到共同進步的目的。

三是課程內(nèi)容應(yīng)與計算機理論和運用密切聯(lián)系。數(shù)學(xué)知識對計算機的發(fā)展具有很強的重要性，除了在繪圖建模軟件中需要運用諸多的數(shù)學(xué)知識之外，高等代數(shù)同樣是編碼與區(qū)組設(shè)計的重要基礎(chǔ)。再加上幾何中變換及射影等概念是計算機圖形學(xué)的基礎(chǔ)；高等代數(shù)與計算機理論基礎(chǔ)，即離散數(shù)學(xué)的思想方法是一致的。說明整合后的課程內(nèi)容會對計算機開發(fā)等方面的工作作出極大貢獻。

參考文獻：

[1]劉朝霞.高等代數(shù)與解析幾何課程整合的思考[J].赤峰學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2013，(15)：11-12.

[2]黎詩明，潘永寧.高等代數(shù)與解析幾何課程整合的思考[J].讀寫算（教育教學(xué)研究），2012，(80)：134.

[3]鄧國雄.《高等代數(shù)》與《解析幾何》課程合并的探討[J].科技信息，2011，(24)：376.

[4]平根建.關(guān)于高等代數(shù)與解析幾何教學(xué)間的結(jié)合性分析[J].鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2012，(2)：30-31.

(作者單位：銅仁學(xué)院)