非完整輪式移動機器人反演滑模軌跡跟蹤控制器設計

楊敏，梅勁松，廖里程

(南京航空航天大學 自動化學院，江蘇 南京 210016)

非完整輪式移動機器人反演滑模軌跡跟蹤控制器設計

楊敏，梅勁松，廖里程

(南京航空航天大學 自動化學院，江蘇 南京 210016)

針對輪式移動機器人的軌跡跟蹤問題，提出了一種反演滑?？刂品椒ā２捎肞I型滑模面設計等效控制律，利用變速函數代替了符號函數得到切換控制律，并利用Lypunov定理證明了系統的穩定性。仿真結果表明了該方法的有效性和正確性，控制中出現的抖振現象得到改善，在外界干擾影響下，也具有良好的控制品質。

輪式移動機器人；反演；滑模控制

0 引言

近年來，非完整移動機器人的運動控制一直是控制工作者研究的熱點。機器人具有強耦合、時變和非線性的動力學特性，控制非常復雜。由于機器人的非完整特性，機器人不滿足Brockett的光滑鎮定必要條件[1]，因而不能用光滑或連續時的不變狀態反饋來實現其軌跡跟蹤控制。為進一步提高輪式移動機器人的軌跡跟蹤控制性能，一些學者將非線性系統的控制方法應用于輪式移動機器人的控制，如輸入輸出解耦控制[2]，滑模變結構控制[3-4]，反演控制等[5-6]。其中反演控制設計方法易于與滑模變結構控制方法相結合，并且由于滑模控制器設計簡單、魯棒性較強等優點，在解決非線性系統控制問題上具有良好的效果。但是吳衛國等[6]雖然解決了輪式移動機器人的軌跡跟蹤問題，但只是針對運動學模型，而對于實際有價值的動力學模型很少考慮。

文中采用了一種新的控制算法，同時考慮了移動機器人的運動學模型和動力學模型，首先針對系統的運動學模型，利用反演法設計了運動學控制器，針對動力學模型，根據滑模控制方法來設計了具有漸進穩定性的控制規律。其中，利用變速函數替換符號函數來消除抖振現象，保證控制律的連續性。仿真結果表明該控制系統能夠快速跟蹤所給參考軌跡，而且對于外界干擾，有較強的魯棒性。

1 運動學控制器設計

針對具有兩個同軸驅動的驅動輪和一個自由輪的移動機器人進行研究，如圖1所示。兩個驅動輪分別由兩個獨立的電機驅動。驅動輪半徑為r，兩個輪子之間的距離為2L，用向量(x,y,θ)T來表示移動機器人在笛卡爾坐標系{o,x,y}中的坐標，θ表示坐標系{c,xc,yc}與笛卡爾坐標系之間的夾角。

圖1 機器人運動模型

定義向量q=[xyθ]T表示移動機器人的位姿，(x,y)表示機器人參考點C在笛卡爾坐標系下的坐標，θ為x軸與xc軸的夾角，對于圖1所示的移動機器人，由于驅動輪和地面之間的純滾動和無滑動，移動機器人只能在驅動輪垂直的方向上運動，可以用公式表示為：

(1)

輪式移動機器人的運動學方程為：

(2)

v，ω分別為移動機器人的線速度和角速度，在運動學模型中它們作為控制輸入。

考慮到對具有位姿pr=(xryrθr)T和速度指令qr=(vrωr)T的參考小車的軌跡跟蹤。在以局部坐標系xoy中，機器人運動誤差矢量pe=(xeyeθe)T可表示為:

(3)

對式(3)求導可得位姿誤差微分方程：

(4)

圖2 誤差示意圖

(5)

有文獻[6]，?。?/p>

(6)

其中：c1>0,c2>0?？傻茫?/p>

(7)

作為運動學控制規律，目的就是為了動力學控制器提供參考的線速度和轉向角。

圖3 基于運動學模型的控制框圖

2 動力學控制器設計

從動力學和運動學模型出發，介紹移動機器人動力學跟蹤控制器的算法。圖4是基于運動學和動力學模型的控制框圖。

圖4 基于運動學和動力學模型的控制框圖

輪式移動機器人簡化動力學模型一般可以表示為：

(8)

其中：τ1和τ2分別是機器人的驅動力和轉動力矩；m為機器人質量；I為機器人轉動慣量。

動力學控制器是把運動學控制器的輸出vc=[vcωc]T作為參考輸入，輸出為τ=[τ1τ2]T，使得t→時，v→vc。

定義誤差ev=vc-v，eω=ωc-ω，并選擇PI型滑模面：

(9)

其中：a1,a2>0。

對于式(9)微分得到：

(10)

顯然，如果a1,a2選擇合適，則跟蹤誤差ev()→0，eω()→0。

(11)

可得到等效控制律:

(12)

控制規律式(12)可使系統狀態保持在滑模面上，但是因為外界干擾的存在，因此必須考慮切換控制τsω，所設計的滑模控制包括2個部分：等效控制和切換控制，即：

(13)

其中：β1,β2>0，sgn(S)=[sgn(sv)sgn(sω)]T。假設干擾為η=[η1,η2]T，動力學模型表達式變為：

(14)

為了削弱“抖動”現象，引入變速函數vs(S,ε)來代替sgn(S)，因此式(13)變為：

(15)

其中：ε=[ε1ε2]T為正數。則：

3 穩定性證明

考慮如下Lyapunov方程：

Vs=V1+V2

(16)

4 仿真結果

以輪式移動機器人為研究對象，質量為m=5kg，轉動慣量I=2.5kg·m2，為了驗證該控制律的有效性，分別選取圓形，直線形參考軌跡仿真。

4.1 圓形軌跡

選取機器人初始位姿q(0)=[3,0,0]T，干擾都取方差為0.1的白噪聲仿真結果如圖5、圖6所示。從仿真結果看機器人在10s左右開始穩定，跟蹤誤差很快趨近于零。

圖5 跟蹤位姿誤差變化曲線

圖6 橢圓跟蹤效果圖

4.2 直線形軌跡

選取機器人初始位姿q(0)=[1,-1,π/4]T，干擾都取方差為0.1的白噪聲仿真結果如圖7、圖8所示。從仿真結果看機器人在6s左右開始穩定，跟蹤誤差很快趨近于零。

以上仿真說明輪式移動機器人能快速跟蹤到任意參考軌跡，并且在外界干擾下，跟蹤誤差也會快速趨于零，因此證明設計的控制律有效。

圖7 跟蹤位姿誤差變化曲線

圖8 直線跟蹤效果圖

5 結語

針對差動驅動輪式移動機器人軌跡跟蹤問題，利用反演思想推導出運動學的控制律，利用滑模控制策略推導出具有漸進收斂的機器人動力學控制律，包含等效控制和切換控制兩方面，前者實現機器人軌跡跟蹤，后者用來減少抖動。仿真結果表明該控制律能保證軌跡跟蹤的準確性和穩定性，能克服外界干擾，具有較強的魯棒性。

[1] Brockett R W. Asymptotic stability and feedback stabilization[C]. In:Differential Geometric Control Theory, Burkhauser, Boston: 1983, 181-191.

[2] 池瑞楠,胡躍明,胡終須. 基于解耦控制的非完整移動機器人實時軌跡跟蹤[J]. 機器人,2001,23(3):256-260.

[3] 胡終須,胡躍明,李迪,等. 一種關于移動機器人的自適應變結構控制方法[J]. 控制理論與應用,2001,18(6): 919-924.

[4] ZHANG Y L,CHUNG J H,VELINSKY S A.Variable structure control of a differentially steered wheeled mobile robot [J]. Journal of Intelligent and Robotic Systems,2003,36(3): 301-314.

[5] JIANG Z P,NIJMEIJEV H.Tracking control of mobile robots: a case study in backstepping [J]. Automatica,1997,33(7): 1393-1399.

[6] 吳衛國,陳輝堂,王月娟. 移動機器人的全局軌跡跟蹤控制[J]. 自動化學報,2001,27(3): 326-331.

Design of Backstepping-based Sliding-mode Trajectory TrackingController for Nonholonomic Mobile Robot

YANG Min, MEI Jinsong, LIAO Licheng

(College of Automation Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

For tracking the trajectory of wheeled mobile robots, a backstepping-based sliding-mode control scheme is presented. An equivalent control law is obtained by using PI- type sliding surface and a switching control law is gotten by replacing sign function by variable rate function. The stability of the system is proved by Lyapunov theory. Simulation results show the effectiveness and correctness of the proposed method and the improvement of the chattering phenomenon in the system. Even though external disturbances exist, the proposed approach is of a satisfactory control quality.

wheeled mobile robot; backstepping; sliding mode control

楊敏(1988-)，男，江蘇無錫人，碩士研究生，主要從事機器人控制研究。

TP242

B

1671-5276(2015)05-0152-03

2014-02-24