基于分形方法的水力壓裂起裂模型的研究

李統中，樊軍

(新疆大學 機械工程學院，新疆 烏魯木齊 830047)

基于分形方法的水力壓裂起裂模型的研究

李統中，樊軍

(新疆大學 機械工程學院，新疆 烏魯木齊 830047)

水力壓裂是油井增產通常采用的一種措施，準確地預測壓裂井的破裂壓力是水力壓裂成功實施的關鍵所在。利用分形理論對勻質地層的破裂壓力進行了重新推導，建立了分形理論下的破裂壓力計算模型，并借助Matlab，結合分形相關理論推導并分析了沿分形裂紋與直線裂紋斷裂的巖石斷裂韌性之間的關系。理論分析表明，考慮裂紋分形擴展后巖石的斷裂韌性大于沿直線模型擴展的斷裂韌性，從理論上證實了目前水力壓裂作業中理論計算值常低于施工壓力的結論，說明計算模型更接近實際情況。

巖石力學；起裂壓力；分形裂紋；斷裂韌性；水力壓裂

0 引言

通常在水力壓裂的工程計算中，壓裂縫的幾何形態都是以光滑的直線或曲線來考慮的，但通過實際觀察可知，壓裂裂縫破裂延伸時，裂紋幾何形狀往往是很復雜的和不規則的。近年來，隨著分形幾何的引入，使得斷裂力學的研究展現出新的前景，這一問題也就變得不再那么棘手，現使用分形幾何來表征巖石斷裂表面已發展成為對巖石斷裂裂縫定量分析的一種新方法[1-3]，文中從基礎理論出發，討論了巖石破裂模型的分形效應。

1 巖石斷裂韌性的分形幾何描述

由于實際地下巖石水力壓裂裂縫的斷裂表面是凹凸不平的，裂紋擴展路徑是不規則的，彎彎曲曲的，如圖1所示。

圖1 水力壓裂裂紋擴展的分形模型

在分形幾何中，用式(1)近似估計裂紋的曲線長度：

(1)

式中：r為自相似比，L0為裂紋路徑的直線長度，m；σ為碼尺；D為不規則擴展路徑的分形維數。

水力壓裂中多應用張開型裂紋來建立裂縫的延伸準則，由斷裂力學原理可知張開型應力強度因子k1與斷裂能Ge之間的關系為：

(2)

E為巖石彈性模量；μ為巖石的泊松比.

根據文獻[4]可知裂紋不規則擴展下臨界斷裂能可表示為：

(3)

由式(2)和式(3)可推導出如下關系：

(4)

式中：k1D為沿分形裂紋斷裂的巖石強度因子，它反應了裂紋尖端應力奇異性的強度，與材料和裂縫的尺寸及所受載荷有關,MPa·m1/2。

2 裸眼井井壁巖石起裂準則

使用最大拉應力理論為基礎的拉伸破裂準則作為裂縫的起裂模型[4-6]，產生的裂紋垂直于地層最小主應力。首先假設巖石為均勻各向同性彈性介質，無滲透，遠場作用著最小和最大水平地應力σh和σH，鉆井液液柱壓力為pw，地層孔隙壓力為pp，若以壓應力為正，根據彈性力學則裸眼直井井壁處的應力狀態如圖2所示[7-8]。

圖2 用矩形平板模擬進壁周圍應力的平面圖

(5)

式中，σr,σθ,σz,τrθ,τθz,τrz分別為柱坐標下的應力分量，MPa；θ為矢徑與最大水平主應力的夾角(°)。

井壁上的最大拉升應力為：

(6)

將式(5)帶入式(6)得：

σmax=σθ

(7)

將式(7)對θ求導數，得：

(8)

2.1 起裂位置

2.2 起裂壓力

考慮地層孔隙壓力的影響[9-10]，引入有效應力的概念，所以有效的周向應力

σθe=σθ-αpp=3σh-σH-pw-αpp

式中：α為有效應力系數；pp為地層孔隙壓力，依據拉升破裂準則，此時，

σθe=-σt,可求得破裂壓力：

pf=3σh-σH-pw-αpp+σT

(9)

由以上模型可知：在不考慮井筒壓力以及流體滲入地層帶來的附加應力影響，鉆開地層后，原始的應力狀態受到破壞，井壁附加出現周向應力集中，此時

σθ=(σ+σh)-2(σH-σh)cos2θ

當θ=0或θ=π時，周向應力出現最小值：

σθ=3σh-σH

所以，1) 當σθ3σh-σH+σTpw時，井壁在水平最大主應力方向產生新的裂紋。

3 起裂壓力的分形模型

由斷裂力學可知，斷裂韌性與巖石的抗拉強度關系為：

(10)

式中，ac為巖石的長度級特征(如缺陷或巖石顆粒尺寸)，m。

把式(10)帶入式(4)得：

(11)

將式(11)帶入式(9)得，裂縫的破裂壓力為 ：

(12)

巖石裂紋擴展過程隨機性比較大，裂紋形態千差萬別，若把裂紋的彎折段看作裂紋擴展的生成元，可用圖3所示模型來描述裂紋的擴展。

圖3 擴展裂紋的分形模型

根據孫麗鳳[11]等對該分形裂紋模型的有效性做了證明，由此可以計算出裂紋分形擴展的分形維數為：

(13)

帶入式(12)可得：

(14)

4 式(9)與式(14)的分析比較：

基于上述分析可知，影響破裂壓力pf的主要因素是σT的不同，而兩種模型中影響σT的因素是斷裂因子K，對此作出分析。

將式(13)帶入式(4)得：

圖4 彎折角θ的函數關系式

參數分析：

1) 由圖4可知分形理論下的巖石強度因子要大于常規理論下的巖石斷裂因子，從而考慮分形裂紋下的井壁起裂壓力自然大一點。

2) 可以看出隨著偏折角的增大，分形理論下的斷裂因子呈指數增加，由此可知，壓裂形成的裂紋越是粗糙、彎曲，擴展的裂縫會消耗更多的巖石斷裂能，使得巖石破裂更加困難。所以說用分析方法分析巖石的斷裂模型是符合巖石斷裂的本質特點的，而且引入分形方法有助于提高計算的準確性。

5 結語

1) 當σθ

2) 當pw>3σh-σH+σT時，井壁在水平最大主應力方向上產生新的裂紋；

3) 壓裂巖石的分形裂紋擴展下需要的裂縫內壓力比直線型大，自然斷裂的巖石比直線假設情況下要消耗更多的能量；

(4)基于分形裂紋的巖石斷裂韌性模型體現了巖石斷裂裂紋的自身的特點，提高了巖石斷裂韌性的實際測試精度。

[1] 李瑋,閆鐵,畢雪亮. 基于分形方法的水力壓裂裂縫起裂擴展機理[J]. 中國石油大學學報,2008,32(5):87-89.

[2] 劉洋，徐苗，景岷雪，等.考慮分形效應下水力壓裂裂縫擬三維延伸研究[J]. 天然氣勘探與開發，2012，(4)：60-62.

[3] 李瑋,閆鐵,畢雪亮. 水力致裂法測得分形裂紋下巖石的斷裂韌性[J]. 巖石力學與工程學報,2009，28(1)：2790-2791.

[4] 張廣清,陳勉. 水平井水力裂縫非平面擴展研究[J]. 石油學報,2005,26(3):161-162.

[5] 張廣清,陳勉,王強. 斜井井筒附近水力裂縫空間轉向模型研究[J]. 石油大學學報,2004,28(4):52.

[6] 李民河,聶振榮,廖健德,等. 水力壓裂縫延伸方向分析及其應用[J]. 2003,21(4):486-487.

[7] 趙金洲，任嵐，胡永全，等. 裂縫性地層射孔井破裂壓力計算模型[J]. 石油學報，2012,33(5)：841-842.

[8] 黃榮博. 水力壓裂裂縫的起裂和擴展[J]. 石油勘探與開發,1981，7(5)：63-65.

[9] 李兆敏,蔡文斌，張琪，等. 水平井壓裂裂縫起裂數學模型及敏感性分析[J]. 石油天然氣學報,2008,30(3):107-108.

[10] 李傳亮,孔祥言. 油井壓裂過程中巖石破裂壓力計算公式的理論研究[J]. 石油鉆采工藝,2000,22(2)：54-56.

[11] 孫麗鳳. 分形幾何方法模擬混凝土材料的裂紋擴展[J]. 青島建筑工程學報,1998,19(2):1-5.

[12] YEW C H,SCHMIDT J H.On fracture design of deviated wells[R]. SPE 19722,1989.

[13] Su Yinao,Wang Zhenying.study of vertical drilling technology in high dip and applications of BHA with offset axes sub[R]. SPE 50889,1998:145-152.

Study of Hydrofracture Initiation Model Based on Fractal Method

LI Tongzhong, FAN Jun

(School of Mechanical Engineering, Xinjiang University，Urumqi 830047, China)

Hydraulic fracturing is a measure used to increase oil production. To accurately predict the pressure of fracturing, which is the key of the successful implementation of the hydraulic fracturing. Through deriving the burst pressure of homogeneous formation again based on the fractal theory, the breakdown pressure calculation model is established. Based on Fractal theory, this paper analyzes the relationship between fracture toughness of rock along the fractal crack and straight crack with the help of matlab. The theoretical analysis shows that the fracture extending toughness of rock along the fractal crack is greater than that of the straight line model. that’s why the current theory calculation value of hydraulic fracturing construction pressure is always less than one of the actual construction of pressure. Furthermore, it’s also proved that the computational model is closer to the actual situation in this paper.

rock mechanics; initiation pressure; fractal crack; fracture toughness; hydraulic fracturing

李統中(1987-)，男，甘肅通渭人，碩士研究生，研究方向：制造業信息化工程。

TH12

A

1671-5276(2015)05-0062-03

2014-03-12