細長壓桿失穩理論對一級臺階凸模的設計指導

董冠文，李宗義，朱七二

（甘肅機電職業技術學院，甘肅 天水741001）

0 引言

眾所周知，沖裁凸模作為冷沖模重要的工作零件之一，始終受到模具設計人員的重視。本文擬采用細長壓桿失穩理論，分析一級臺階凸模在沖裁過程中的受力特點，將臺階凸模刃口長度部分視為彈性桿，其余部分視為剛性桿，建立了彈性和剛性的混合桿系的力學模型，進而將問題轉化為一階常微分方程的初值問題，用4 階經典Rung-Kutta 法，計算彈性和剛性的混合桿系的力學模型的數值解，進而獲得隨一級臺階凸模的彈性長度與剛性長度之比的大范圍變化的載荷參數的關系曲線。

1 彈性和剛性的混合桿系的力學模型建立

1.1 凸模的結構組成

以圖1 所示圓臺階凸模為例，結合沖模術語國家標準，圓凸模的結構組成要素如下：①頭部，即直徑最大的圓柱部分；②頭厚，即頭部的厚度；③頭部直徑，圓錐頭時為最大直徑；④連接半徑，防止應力集中；⑤桿，為凸模與固定板孔配合部分；⑥桿直徑，一般與固定板孔為H7/m6 配合；⑦引導直徑，可略小于桿直徑，便于壓入固定板；⑧過渡半徑，光滑連接刃口直徑與桿直徑；⑨刃口直徑，圓凸模直徑尺寸；⑩過渡圓角，光滑連接刃口直徑與桿直徑；?刃口長度，包括切入材料的深度和刃磨長度；?凸模總長度，簡稱凸模總長。

1.2 一級臺階凸模的控制方程

現考慮一外形結構如圖1 所示的一級臺階凸模，各截面皆為圓形，刃口截面直徑⑨為d1，引導直徑⑦為d2，頭部直徑為d3，凸模總長度?為l+a，其中刃口?與過渡半徑⑧總長度為l，頭厚②、連接半徑④、桿⑤總長度為a，且滿足l=6a，凸模工作時，刃口?深入板料，此時刃口最容易失穩變形，其余部分相比變形較小，可忽略不計。依據細長壓桿失穩理論，將刃口?及其過渡部分⑧看成彈性桿，其余部分看成剛性桿，建立了如圖2 所示的彈性與剛性混合桿系的力學模型，AC 段為細長彈性桿，彎曲剛度為EI，長度為l，CB 段為剛性桿。在沖裁過程中，相當于施加一微小的側向干擾F，使彈性桿AC 微彎，剛性桿CB 微偏轉[4]。

圖1 圓臺階凸模的結構組成

圖2 彈性與剛性混合桿系的力學模型示意圖

FBy=FAy=0

設截面x 的撓度為w，則桿AC 段的彎矩方程為

M（x）=-Fw

由此得該桿段的撓曲線的微分方程為

其通解為

設截面C 的撓度為δ，則該截面的轉角∠B 大小為

在x=0 處，w=0，代入式（1）得B=0

在x=l 處，w=δ 代入式（1）得

《孟子》云：“天下之本在國，國之本在家，家之本在身。”即個人是家庭的基礎，家庭是社會和國家的基本細胞，而婚戀則是個體發展、家庭延續乃至國家生生不息的必要前提和基礎。但在現實中，許多貧困農村的男青年遙望著“圍城”內的生活，卻因種種現實和自身的原因而無法走進婚姻的殿堂。

由（2）得

將（4）代入（3）得

特征根方程（5）就是臨界載荷所應滿足的方程。

2 數值方法及結果

特征根方程（5）是含有正切三角函數的超越方程, 無法求出其顯式解析解，這里采用4 階經典Rung-Kutta 法求其數值解[5]。

引入無量綱量

將（6）、（7）代入（5）得

由（8）得

當t=0 代人（9）得

（10）就是（9）的初值。現對（9）取一階導數得

于是（10）和（11）構成如下一階常微分方程的初值問題

取步長h=0.01，已知t0=0 則tn=t0+nh=nh 階經典Rung-Kutta 法為

通過計算結果的原始數據，得到了圖3 一級臺階凸模無量綱載荷參數與其彈性長度剛性長度比的關系，圖3 反映了隨著一級臺階凸模其彈性長度剛性長度比的增大，其臨界載荷增大，凸模越不易失穩，因此將直通式凸模改造成一級臺階凸模是合理的。也可以依據圖3 推測并確定，當t→∞時，y→π，Q→π2，此時不難得到同時由初值得，當于是凸模的沖裁力范圍為進而確定凸模刃口長度范圍為不難確定凸模長度。在本例中t=6，所以進而確定凸模刃口長度范圍為這樣一來，既確定了凸模長度的下限，又確定了凸模長度的上限。

圖3 載荷參數與長度比的關系（0≤t≤6）

圖4 反映了一級臺階凸模無量綱載荷參數與其刃口長度剛性長度比的關系局部近似于線性彈簧的線性關系，主要是由于一級臺階凸模剛性長度部分被先確定不輕易改變，而后確定凸模刃口長度，在調整凸模長度尺寸時，首先調整凸模刃口長度，這樣就導致凸模刃口長度大小往往會影響一級臺階凸模的刃口長度剛性長度比大小，局部呈線彈性關系。

圖4 載荷參數與長度比的關系局部放大圖（0≤t≤0.1）

圖5 反映了隨著一級臺階凸模其刃口長度剛性長度比的增大，一級臺階凸模刃口長度系數減小的特征。由此可推測并確定，當t→∞時，μ→1，一級臺階凸模相當于兩端鉸支的壓桿。當t=0 時，μ=2，一級臺階凸模相當于一端固定、另一端自由的壓桿。在本例中，當t=6 時，μ=1.1586 一級臺階凸模介于兩端鉸支的壓桿和一端固定，另一端自由的壓桿之間的支撐結構。

3 結論

圖5 長度系數與長度比的關系（1≤t≤6）

本文依據細長壓桿失穩理論，通過對一級臺階凸模的校核方法的改進研究，提出了校核凸模長度需先確定凸模刃口的長度范圍的觀點，指出了傳統校核方法將凸模長度與凸模刃口長度混為一談進行校核是不合理的。首次采用4 階經典Rung-Kutta法，計算了彈性和剛性的混合桿系的力學模型的數值解，確定了一級臺階凸模刃口長度的上限和下限，對一級臺階凸模的設計具有一定參考價值。

[1]盧險峰.沖壓工藝模具學[M].北京：機械工業出版社，2014.

[2]盧險峰.模具學導論[M].北京：化學工業出版社，2007.

[3]么廷先.臺階凸模的穩定性[J].模具工業，1990，（8）：2～7.

[4]單輝祖.材料力學——問題、例題與分析方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

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