一維絕熱等熵微噴管分析與計算

方運惠，童軍杰，馬曉茜

(1.廣州航海學院，廣州 510725;2.華南理工大學，廣州 510641)

微噴管是微推進系統的一個核心部件，主要用于微小型衛星等微型航天器精密調姿和軌道定位。微噴管的性能參數是衡量其工作性能的主要參數，目前對于微噴管的數值計算研究主要為針對特定結構微噴管的二維和三維計算［1-5］，通用性較差。

本文對一維等熵微噴管進行理論分析，并進行了程序設計，有助于定性地研究不同的幾何擴張比、不同的流體工質、和噴管出口余壓對微推進器性能參數的影響;為實驗測試提供理論分析。

1 理論分析

1.1 基本性能參數

微噴管的基本性能參數主要包括質量流量m、推力F 和比沖Is。

質量流量m:是單位時間通過噴射器的流量，其定義為

其中:ρ 為通過噴管截面的流體平均密度;u 為通過噴管截面的流體平均速度;A 為噴管的截面積。

推力F:是推進系統產生的一個作用在飛行器上，使飛行器向前的力。總推力F 由沖量和余壓推力2 部分組成，計算公式為

其中: ue為噴嘴出口速度;pe為噴嘴出口靜壓;pen為環境壓力;Ae為噴嘴出口截面積。在真空中，pen= 0，此時推力大小為

總沖(量)It:為推力F(可隨時間變化)對工作時間τ 的積分

比沖Is:單位質量推進劑所獲得的推力。這是衡量推進器性能的重要參數。數字越大表示性能越高。若推進劑總流量為重力加速度為g

式(5)給出了任意推進器的時間平均比沖值，特別是推力隨時間變化的情況。在瞬變情況(啟動或推力建立階段、關機階段、變流量或變推力過程)下，Is的值可通過積分或對F 和在短時間內取平均得到。對于恒定的推進劑流量、恒定的推力F，忽略短時間的啟動或關機瞬變過程，有

1.2 一維等熵推進理論

在穩定的噴管流中，對噴管進行一維分析，隨著流動方向，噴管截面發生變化，流體的溫度、壓力、密度等參數隨之發生變化，但對噴管同一截面，認為各參數均勻一致。

對于Laval 噴管，一維等熵絕熱理論如下:

連續性微分方程

不考慮質量力的動量微分方程

狀態方程的微分方程

絕熱狀態方程的微分方程

馬赫數

能量微分方程

絕熱狀態不考慮黏性損失時dq =0，并且不考慮重力勢能的變化時gdz =0，對于噴管，對外做凈功dwt=0，式(12)轉變為

將式(7)～式(13)聯立求解可得到面積A、馬赫數Ma變化和速度u 的關系

從式(14)可以看到:在喉部前，由于噴管截面積A 收縮，流體流速u 小于當地音速c，流速u 增加;在喉部時達到當地音速c;在喉部后，由于噴管截面積A 擴張，流體流速u 大于當地音速c，流速u 增加。

2 一維絕熱等熵噴管推進性能計算

2.1 相關公式

當噴嘴出口背壓為接近真空時，在給定Laval 噴管的幾何形狀時，以及噴管的進口壓力p*和進口溫度T* 時，可以利用以下公式計算噴管的出口流速ue、出口壓力pe，質量流量m，推力F 和比沖等Is參數。

其中，當喉部面積At和幾何擴張比Ae/At.確定時，噴管的幾何形狀基本確定［1-3］。

當流體的比熱隨溫度變化較小時，可以認為是常數，式(13)進一步改變可求得噴管的出口速度ue

噴嘴出口速度理論可達到最大值(ue)max

此時，噴管的幾何擴張比Ae/At為無窮大。

質量流量m:根據連續性方程可知，在穩態情況下，在噴管的各個截面處，質量流量處處相等，聯立方程式(7)和式(14)，可得質量流量m 大小為

根據連續性方程式(7)和噴管出口速度方程式(14)，噴管在設計工況下氣體完全膨脹工作時出口面積與喉部面積比At/Ae與噴管進出口壓比pe/p*的關系為［6］

噴管喉部處的速度、壓力和溫度為臨界速度ucr、臨界壓力Pcr和臨界溫度Tcr。

臨界壓力Pcr

喉口臨界流速為ucr

臨界溫度Tcr

臨界密度ρ*

臨界流量mcr

不考慮噴管出口余壓時噴管出口推力F

考慮噴管出口余壓時噴管出口推力F

微噴管的喉部特征雷諾數表征微噴管內流體的慣性力和黏滯力的比值，可以定性地分析微噴管內實際氣體性能參數的效率

其中: Re 為喉部特征雷諾數;H 為刻蝕深度;μ 為流體的動力黏度。

2.2 計算程序流程

綜合上面的理論，對噴管背壓為接近真空的推進性能計算進行了程序設計，其計算流程如圖1 所示。根據噴管一維計算流程圖所示，計算程序流程如下:

1)輸入噴管進口滯止參數p*，T*，輸入噴管幾何結構參數，主要包括:微噴管喉部面積At，幾何擴張比Ae/At* 。

輸入根據計算精度所需要設置的迭代誤差delt，當計算誤差小于迭代誤差時，計算收斂。

修正系數為mi和ma，mi為小于1 的正數，ma為大于1的正數。修正系數與1 的差值越小，迭代計算過程中，數值的震蕩性越小。

2)設定最大迭代次數n，初始迭代次數為1。

3)假定初始的噴管的進出口壓力比pep*，根據式(16)，計算相應的(Ae/At)i。如果|(AeAt)i-AeAt| ＞delt，進行下一步，如果|(AeAt)i-AeAt| ＜delt，計算收斂，轉至6)進行。

4)如果(AeAt)i＜AeAt則(pep*)= mi(pep*)，i =i +1;如果(AeAt)i＞AeAt則(pep*)= ma(pep*)，i=i+1。

5)當迭代次數i ＞n，進行下一步，如果i ＜n，轉至3)進行計算。

6)根據以上計算結果，計算噴管出口壓力pe，速度ue，流量m，推力F，余壓推力fe。

7)輸出計算結果。

如圖1 為根據以上流程繪制的噴管一維等熵絕熱計算流程圖。

圖1 噴管一維絕熱等熵絕熱計算流程

2.3 計算結果分析

根據噴管一維等熵絕熱計算程序，對微噴管進行了一維等熵數值計算。

微噴管的幾何結構參數、噴管出口環境背壓和微噴管內流體工質如下:

1)以文獻［1，2］中為參照，微噴管幾何結構擴張比為5.4，喉部寬度為19 μm，刻蝕深度為300 μm。

2)噴管內流體工質分別為氮氣N2，氧氣O2，二氧化碳CO2，氫氣H2和氦氣He。

3)噴管入口壓力分別為0.5 ～3.0 bar。

4)噴管入口流體溫度分別為300 ～1 300 K。

5)噴管出口環境背壓分別為0 Pa，50 Pa 和500 Pa。

2.3.1 入口壓力對微噴管的影響

如圖2、圖3 和圖4 所示為噴管入口壓力為0.5 ～3.0 bar，噴管出口環境背壓為0 Pa 時，噴管內流體工質分別為氮氣N2，氧氣O2，二氧化碳CO2，氫氣H2和氦氣He 時，噴管質量流量m、噴管出口推力F 和喉部特征雷諾數Re 變化。

圖2 不同入口壓力下微噴管質量流量

從圖2 中可以看出，相同的噴管入口壓力下，二氧化碳CO2的流量最大，氦氣N2的流量最小;隨著噴管入口壓力P*的增加，噴管出口的流量m 隨之增加。

分析認為，由于二氧化碳CO2的摩爾分子量最大，因而其質量流量m 最大;氫氣和氦氣的摩爾質量小，因而質量流量小。隨著噴管入口壓力P*的增加，流體工質的密度ρ 增加，因而質量流量m 隨之增加。

圖3 不同入口壓力下微噴管出口推力

從圖3 中看出，理想情況下，隨著噴管入口氣體壓力P*的增加，噴管出口的推力F 隨之增加。相同的噴管入口壓力P*下，多原子氣體工質二氧化碳CO2的推力最大，雙原子氣體氮氣N2，氧氣O2，和氫氣H2的推力相等，而單原子氣體氦氣He 的推力最小。

分析認為，由式(15)、式(16)和式(22)可知，噴管出口的推力與氣體絕熱指數γ，噴管入口壓力和噴管入口溫度T*有關，因而隨著噴管入口氣體壓力P*的增加，噴管出口的推力F 增加。當噴管入口壓力P*和噴管入口溫度T*相等時，噴管出口推力只與噴管內氣體的絕熱指數γ 有關。隨著絕熱指數γ 增加小，噴管出口推力F 隨之減小。

圖4 不同入口壓力下微噴管喉部特征雷諾數

從圖4 中看出，隨著噴管入口壓力P*的增加，噴管喉部特征雷諾數Re 隨之增加，在相同的噴管入口壓力P*和噴管入口溫度T 下，二氧化碳CO2的推力F 最大，氦氣He 的喉部特征雷諾數Re 最小。

分析認為，噴管喉部特征雷諾數Re 由噴管的定型尺寸L、氣體的質量流量m 和動力黏度μ 影響。隨著噴管入口壓力P*的增加，氣體的質量流量m 增加，因而噴管喉部特征雷諾數Re 增加。在相同的噴管入口壓力P*和噴管入口溫度下，二氧化碳CO2的質量流量和動力黏度比值最大，因而其喉部特征雷諾數最大;氦氣He 的質量流量和動力黏度μ 比值最大，因而其喉部特征雷諾數Re 最小。

由于噴管喉部特征雷諾數Re 表征慣性力和黏滯力的相對大小，因而其大小可定性地分析微噴管實際氣體的推力效率ηF和質量流量系數Cd。

2.3.2 入口溫度對微噴管的影響

如圖5 和圖6 所示為噴管入口流體壓力為0.5 bar，噴管入口流體溫度為300 ～1 300 K，噴管出口環境背壓為0 Pa，噴管內流體工質分別為氮氣N2，氧氣O2，二氧化碳CO2，氫氣H2和氦氣He 時，噴管出口比沖Isp和喉部特征雷諾數Re的變化。

圖5 不同入口溫度下微噴管出口比沖

從圖5 中看出，隨著噴管入口溫度T*的增加，微噴管出口比沖Isp隨之增加，在相同的噴管入口壓力和噴管入口溫度下，氫氣H2的比沖最大，二氧化碳CO2比沖最小。

分析認為，根據式(6)，比沖Isp主要由噴管出口推力F和噴管的質量流量決定;根據式(3)和式(15)，隨著噴管入口溫度T*的增加，產生相同推力F 的質量流量m 減小，因而比沖Isp增加。

在相同的噴管入口流體溫度T*和噴管入口流體壓力P*下，氫氣的推力F 和質量流量m 比值最大，因而比沖最大;而二氧化碳CO2推力和質量流量m 比值最小，因而比沖Isp最小。

圖6 不同入口溫度下微噴管喉部特征雷諾數

從圖6 中看出，隨著噴管入口溫度T*的增加，微噴管喉部特征雷諾數Re 隨之減小，在相同的噴管入口壓力P*和噴管入口溫度T*下，二氧化碳CO2的喉部特征雷諾數Re 最大，氫氣的喉部特征雷諾數Re 最小。

分析認為，隨著噴管入口溫度T*的增加，產生相同推力F 的質量流量減小，因而微噴管喉部特征雷諾數Re 隨之減小。

在相同的噴管入口流體溫度T*和噴管入口流體壓力P*下，二氧化碳CO2的摩爾質量MCO2和動力黏度μ 比值最大，因而喉部特征雷諾數Re 最大;而氫氣H2的摩爾質量MH2和動力黏度μ 比值最小，因而喉部特征雷諾數Re 最小。

2.3.3 出口環境背壓對微噴管的影響

如圖7 所示為噴管入口流體為氮氣N2，噴管入口流體壓力為0.5 bar，噴管入口流體溫度為300 ～1 300 K，噴管出口環境背壓分別為0 Pa、50 Pa 和500 Pa 時，噴管出口比沖Isp變化。

圖7 不同環境背壓下微噴管比沖隨溫度變化圖

從圖7 中看出，隨著微噴管出口環境背壓Pen的增大，微噴管出口比沖Isp減小。

分析認為，根據式(23)，隨著微噴管出口環境背壓的增大，噴管出口余壓推力(pe-pen)Ae隨之減小［7］，因而微噴管出口比沖Isp減小。

3 結論

1)本文對噴管出口接近真空情況一維穩態可壓縮噴管內流體進行了理論分析，研究了噴管幾何結構參數，噴管入口流體壓力P*，噴管入口流體溫度T*，噴管出口環境背壓和不同工質對噴管出口性能參數的影響。在此基礎上進行了一維微噴管絕熱等熵計算程序設計。

2)針對喉部寬度L 為19 μm，刻蝕深度H 為300 μm 的微噴管進行了數值計算。

3)隨著流體入口壓力P*的增加，微噴管的流量m、微噴管出口的推力F 和喉部特征雷諾數Re 隨之增加。在相同的噴管流體入口壓力P*和噴管流體入口溫度T*下，噴管的流量隨著氣體的摩爾質量M 增加而增加;噴管出口推力F只與噴管內氣體的絕熱指數γ 有關。噴管出口推力F 隨著γ 的減小而增大;喉部特征雷諾數Re 隨著氣體的質量流量m 和動力黏度μ 的比值增加而增加。

4)隨著流體入口溫度T*的增加，微噴管出口的比沖Isp隨之增加，微噴管喉部特征雷諾數Re 隨之減小。

在相同的噴管流體入口壓力P*和噴管流體入口溫度T*下，氫氣的推力F 和質量流量m 比值最大，比沖Isp最大;而二氧化碳CO2推力F 和質量流量m 比值最小，比沖Isp最小。

5)隨著微噴管出口環境背壓Pen的增大，噴管出口余壓推力(pe-pen)Ae隨之減小，微噴管出口比沖Isp減小。

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