在軌攔截器空間碎片碰撞概率算法

馮博鑫，譚守林，仉小博

(陜西西安第二炮兵工程大學(xué)4504 分隊(duì)，西安 710025)

隨著人類航天活動(dòng)的不斷增加，空間環(huán)境狀態(tài)日益惡化，空間存在的大量碎片對(duì)在軌航天器造成的安全威脅日趨增加，航天器與其他空間飛行體撞擊事件時(shí)有發(fā)生。北京時(shí)間2009年2月11日，美國(guó)通信衛(wèi)星“銥星33”與俄羅斯已報(bào)廢多年的“宇宙2251 號(hào)”軍用通信衛(wèi)星在西伯利亞上空發(fā)生激烈相撞，引起了國(guó)際社會(huì)的高度關(guān)注［1］。對(duì)空間碎片的跟蹤、觀測(cè)、軌道確定、碰撞預(yù)警等領(lǐng)域的研究在理論上已有大量成果。為確保攔截器在軌運(yùn)行過(guò)程中不會(huì)與其他空間飛行體碰撞，必須根據(jù)空間飛行體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及分布特性，為攔截器選擇一條無(wú)障礙的安全飛行軌道。

1 在軌攔截器飛行環(huán)境分析

在軌攔截器無(wú)論是在軌運(yùn)行，還是在攔截器機(jī)動(dòng)軌道上執(zhí)行攔截任務(wù)，都可能會(huì)與其他空間飛行體相遇，尤其是空間碎片。由于其數(shù)量多，分布區(qū)域大，與攔截器相碰撞的可能性極大。

1.1 空間碎片數(shù)量分布

據(jù)統(tǒng)計(jì)，截止目前人類總共有5 000 余次航天活動(dòng)，6 000多個(gè)航天器被送入軌道，隨著各國(guó)航天事業(yè)的快速發(fā)展，空間碎片與日俱增，據(jù)美國(guó)空間監(jiān)視網(wǎng)絡(luò)(SSN)觀測(cè)，直徑大于10 cm 的空間碎片約1.9 萬(wàn)多個(gè)。直徑在1 ～10 cm之間的空間碎片有20 萬(wàn)個(gè)左右，直徑在1 ～1 cm 之間的空間碎片約有3 ～4 千萬(wàn)個(gè)［2］。所研究的空間碎片，主要是地面觀測(cè)設(shè)備所能觀測(cè)并能測(cè)定其軌道的碎片，這些碎片尺寸其直徑通常大于10 cm，具有較大的動(dòng)能和破壞力，與攔截器相撞，足以將其毀傷。

1.2 空間碎片質(zhì)量分布

據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，直徑大于10 cm 的空間碎片，其總質(zhì)量約占全部空間碎片質(zhì)量的99%以上，約為3 000 t，人類在半個(gè)多世紀(jì)內(nèi)發(fā)射入軌的航天器有6 000 多噸，而目前留在軌道的上的碎片質(zhì)量將近其一半，這3 000 t 空間碎片中分布在近地軌道的約為2 500 t。直徑大于10 cm 的1.9 萬(wàn)多個(gè)空間碎片其運(yùn)行軌道在空間分布為:近地軌道空間碎片約15 500個(gè)，占總數(shù)的80%，地球中高軌道空間碎片約2 500個(gè)，占總數(shù)13%;地球同步軌道空間碎片約1 250 個(gè)，占總數(shù)7%［3］。其分布概況如圖1 所示。

圖1 空間碎片分布

1.3 空間碎片密度分布

直徑10 cm 以上空間碎片的分布可以基本上反映編目空間碎片的空間分布情況。在距離地面750 ～1 000 km 高度帶是空間碎片最擁擠的區(qū)域;在1 400 ～1 500 km 高度處、半同步軌道區(qū)域以及地球同步軌道區(qū)域也有顯著的碎片高密集度，這是由此區(qū)域的高利用率以及低大氣阻力所致。在300 km 以下區(qū)域，由于大氣阻力的原因，空間碎片的軌道壽命很短，使得空間碎片總數(shù)迅速減少，其空間密度分布很小。

1.4 空間碎片運(yùn)動(dòng)特性

空間碎片在有心力場(chǎng)的作用下以橢圓軌道繞地球運(yùn)行，其軌道可通過(guò)各種觀測(cè)手段進(jìn)行探測(cè)，因此軌道根數(shù)可以被確定。有了軌道根數(shù)，關(guān)于空間碎片的在軌運(yùn)動(dòng)參數(shù)即允許周期、軌道任意點(diǎn)的時(shí)間、速度、傾向等均可求出。由于空間碎片除了受地球引力外，還會(huì)受大氣阻力、太陽(yáng)光攝動(dòng)、日月引力等多種攝動(dòng)力的影響，會(huì)導(dǎo)致其軌道根數(shù)發(fā)生變化［4］。為便于問(wèn)題討論，本研究中忽略此類攝動(dòng)力對(duì)空間碎片軌道根數(shù)的影響。

2 在軌攔截器空間碎片碰撞概率建模

2.1 空間碎片對(duì)攔截器破壞影響分析

經(jīng)計(jì)算，一顆直徑為3 cm，以10 km/s 的速度運(yùn)動(dòng)的空間碎片，所具有的動(dòng)能與一個(gè)以100 km/h 速度運(yùn)動(dòng)的保齡球的動(dòng)能一樣大。這些空間碎片如果與高速運(yùn)行的攔截器相撞，會(huì)對(duì)其造成嚴(yán)重?fù)p壞，影響攔截器正常飛行，降低攔截器遂行任務(wù)的能力，所以必須進(jìn)行在軌攔截器和空間碎片碰撞概率建模。

2.2 攔截器和空間碎片位置確定

2.2.1 攔截器軌道運(yùn)動(dòng)任意時(shí)刻位置確定

攔截器在空間的軌道運(yùn)動(dòng)方程為

式中:P 為半通徑;f 為真近點(diǎn)角。

由于攔截器軌道根數(shù)可以確定，故可以求出攔截器任意時(shí)刻t 時(shí)的空間位置(x，y，z)，圖2 所示為攔截器位置在天球上的關(guān)系，圖2 中s 點(diǎn)位攔截器在天球上的投影，Ω 為升交點(diǎn)赤經(jīng)，i 為軌道傾角，u 為緯度幅角，由球面三角關(guān)系可得［5］

圖2 攔截器的球面關(guān)系

2.2.2 空間碎片軌道運(yùn)動(dòng)任意時(shí)刻位置確定

進(jìn)行攔截器空間碎片碰撞概率計(jì)算，所研究的是國(guó)際上已進(jìn)行跟蹤測(cè)定的空間碎片，可以確定空間不同區(qū)域碎片的數(shù)目和每個(gè)碎片的軌道根數(shù)，假設(shè)在攔截器飛行通道內(nèi)，可能與之發(fā)生碰撞的空間碎片有N 個(gè)，這N 個(gè)空間碎片的運(yùn)動(dòng)方程可以逐一確定

同理，根據(jù)式(2)可以確定每一個(gè)空間碎片在任意時(shí)刻t時(shí)的位置:

式中，n=1，2，3，…，N。

2.3 碰撞危險(xiǎn)性判據(jù)確定

攔截器和空間碎片碰撞概率，其實(shí)質(zhì)是攔截器和空間碎片在某一時(shí)刻的相對(duì)距離小于等效半徑之和的概率，但由于測(cè)量和計(jì)算誤差以及空間其他攝動(dòng)力的干擾，會(huì)導(dǎo)致攔截器和空間碎片的軌道計(jì)算存在誤差，只能給出碰撞的危險(xiǎn)程度，因此需要對(duì)碰撞危險(xiǎn)性判據(jù)進(jìn)行研究。

2.3.1 傳統(tǒng)碰撞判據(jù)分析

目前國(guó)際上碰撞預(yù)警的判據(jù)有BOX 判據(jù)和碰撞概率判據(jù)2 種。BOX 判據(jù)其本質(zhì)含義是統(tǒng)一考慮航天器與空間飛行體的誤差，把位置誤差的分布平均化，當(dāng)空間飛行體進(jìn)入航天器周圍的BOX 區(qū)域以內(nèi)時(shí)，表示會(huì)發(fā)生空間飛行體與航天器的碰撞事件，否則不存在碰撞危險(xiǎn)，即把碰撞事件簡(jiǎn)化成0 -1 事件。例如美國(guó)航天飛機(jī)將航天器沿跡方向±25 km，垂直于沿跡方向及軌道平面的外法向±10 km 作為預(yù)警區(qū)域，當(dāng)空間飛行體進(jìn)入這一區(qū)域時(shí)即發(fā)出預(yù)警。

碰撞概率判據(jù)綜合考慮航天器和空間飛行體各自的誤差，并把各自的誤差假設(shè)成正態(tài)分布模式，然后綜合考慮其他交會(huì)因素來(lái)計(jì)算碰撞風(fēng)險(xiǎn)。BOX 判據(jù)具有普適性的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)任何軌道類型和任何航天器均適用，但缺點(diǎn)是方法過(guò)于保守，誤警率很高;碰撞概率判據(jù)則是針對(duì)BOX 判據(jù)的缺點(diǎn)而提出的，能避免很高的誤警率，但其建立在大量誤差的基礎(chǔ)上，對(duì)誤差數(shù)據(jù)的依賴程度很高，而且模型復(fù)雜，計(jì)算量很大。

2.3.2 球形判據(jù)建模

根據(jù)BOX 判據(jù)和概率判據(jù)的優(yōu)缺點(diǎn)，為簡(jiǎn)化模型和快速計(jì)算，提出球形判據(jù)，即設(shè)定危險(xiǎn)交會(huì)距離ΔL，當(dāng)攔截器與空間飛行體的距離小于ΔL 時(shí)即可認(rèn)為存在碰撞危險(xiǎn)。基于數(shù)值法的碰撞預(yù)警精度主要取決于時(shí)間步長(zhǎng)tn以及危險(xiǎn)距離LDanger，當(dāng)tn取值太大時(shí)可能會(huì)引起漏報(bào)，tn取值太小時(shí)會(huì)使預(yù)警時(shí)間增加;當(dāng)LDanger取值太大時(shí)容易引起虛報(bào)，取值太小則可能會(huì)引起漏報(bào)，因此必須確定合適的時(shí)間步長(zhǎng)和危險(xiǎn)距離。

確定了攔截器的飛行管道后需要以飛行管道中心線上的任意一點(diǎn)為球心構(gòu)建一個(gè)圓球體，使得攔截器運(yùn)行至此處時(shí)只要圓球體內(nèi)沒(méi)有空間碎片就可以保證此刻攔截器的安全。圓球體的半徑R1是需要考慮的關(guān)鍵。

球體半徑R1的確定主要來(lái)源于以下3 個(gè)因素:

1)空間飛行體半徑。只要空間碎片觸碰攔截器就認(rèn)為是發(fā)生了碰撞，如此空間碎片半徑就成了需要考慮的因素之一。為確保所構(gòu)建的球體能夠保證攔截器的安全，不妨選取半徑最大的空間碎片為模板，令其半徑為Rmax;

2)攔截器自身尺寸。同樣，只要空間碎片與攔截器的外表面接觸就算發(fā)生了碰撞，由考慮到攔截器在飛行中的姿態(tài)各異，故選取攔截器最大長(zhǎng)度的一半作為參考標(biāo)準(zhǔn)，令攔截器長(zhǎng)度為l;

3)空間碎片軌道誤差。受觀測(cè)水平影響，對(duì)空間碎片的軌道預(yù)報(bào)必然存在誤差。空間飛行體不僅受地球引力作用，還受到其他星球的引力及大氣阻力、太陽(yáng)光壓等作用，因此對(duì)空間碎片的軌道預(yù)報(bào)必然存在誤差，在此假設(shè)為d。

綜上所述，可得到基于某個(gè)攔截器軌道所需考慮的圓球體半徑R1應(yīng)滿足

但由于攔截器軌道本身是有誤差的，除了受地球引力外，還會(huì)受大氣阻力、太陽(yáng)光攝動(dòng)、日月引力等多種攝動(dòng)力的影響，會(huì)導(dǎo)致其軌道根數(shù)發(fā)生變化，所以實(shí)際需要考慮的是一條以解算出的標(biāo)準(zhǔn)軌道為軸心，R0為半徑的彎曲狀圓柱體軌道，所以需要判斷是否有空間碎片的安全分析管道半徑ΔH 應(yīng)該為管道半徑R0與圓球體半徑R1之和，即

通過(guò)上述模型可構(gòu)建攔截器的空間安全飛行管道，即以解算的標(biāo)準(zhǔn)軌道為管道中心，ΔH 為管道半徑的彎曲狀柱體。接下來(lái)只需考慮此管道中是否存在空間碎片即可判斷攔截器空間分析的安全性。

由于R0和d 的數(shù)量級(jí)一般為千米級(jí)，而l 和Rmax的數(shù)量級(jí)一般為米級(jí)甚至是分米級(jí)，因此攔截器和空間碎片的尺寸可以忽略不計(jì)，即

由此認(rèn)為，當(dāng)攔截器與空間碎片的最短距離小于LDanger時(shí)認(rèn)為攔截器與空間碎片發(fā)生碰撞。

2.4 在軌攔截器空間碎片碰撞概率模型

2.4.1 搜索時(shí)間步長(zhǎng)確定

時(shí)間步長(zhǎng)是計(jì)算在軌攔截器空間碎片碰撞概率的重要參數(shù)。選取步長(zhǎng)過(guò)大，則可以節(jié)省運(yùn)算時(shí)間，但可能會(huì)導(dǎo)致漏掉部分危險(xiǎn)飛行體;選取步長(zhǎng)過(guò)小雖然可以保證預(yù)警的精度，但會(huì)占用過(guò)多的計(jì)算資源，使計(jì)算量劇增。因此為了節(jié)約運(yùn)行資源并保證預(yù)警精度和效率，必須選取適當(dāng)?shù)乃阉鲿r(shí)間步長(zhǎng)。

在碰撞預(yù)警模型中使用的是球形區(qū)域判定法，假定已知某一空間飛行體穿過(guò)以攔截器為質(zhì)心的球形區(qū)域，如圖3所示。

圖3 空間碎片穿越球形區(qū)域示意圖

假定反衛(wèi)攔截器與空間碎片的相對(duì)速度為Vds，由于空間碎片相對(duì)攔截器高速運(yùn)動(dòng)，平均速度達(dá)10 km/s，因此在某一特定的球形區(qū)域內(nèi)，可認(rèn)為空間碎片相對(duì)攔截器做勻速直線運(yùn)動(dòng)。空間碎片在球形區(qū)域內(nèi)的逗留時(shí)間tds滿足:0 ≤tds≤2ΔH/Vds，而空間碎片可能從任一方向進(jìn)入球形區(qū)域，因此可將進(jìn)入角度θds看出隨機(jī)變量，且由于各方向進(jìn)入的可能性都相同，從而可認(rèn)為θds服從均勻分布。逗留時(shí)間tds是θds的函數(shù)，顯然tds在0 ～π/2 和π/2 ～π 之間具有對(duì)稱性，因此可將θds看出0 ～π/2 之間的均勻分布，其概率密度函數(shù)為

而逗留時(shí)間

由隨機(jī)變量的函數(shù)分布規(guī)律，得逗留時(shí)間的概率密度函數(shù)為

由統(tǒng)計(jì)學(xué)可知，當(dāng)某事件發(fā)生的概率達(dá)到5%時(shí)，可認(rèn)為該事件為小概率事件，所以最小逗留時(shí)間Δtmin滿足

即

其中Δtmin即為搜索時(shí)間步長(zhǎng)，以Δtmin為搜索時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)誤警率等約于5%，由此保證了預(yù)警結(jié)果準(zhǔn)確可靠。

2.4.2 碰撞概率計(jì)算流程

利用計(jì)算機(jī)針對(duì)可能與攔截器發(fā)生碰撞的N 個(gè)空間碎片依次進(jìn)行搜索，在計(jì)算單個(gè)空間碎片是否與攔截器相撞時(shí)，選取Δtmin為搜索時(shí)間步長(zhǎng)，在t≤T0的時(shí)間段內(nèi)進(jìn)行搜索判斷，T0為在軌攔截器運(yùn)行周期T1和空間碎片周期T2的最小公倍數(shù)，選擇T0作為搜索周期可以保證篩選結(jié)果的可靠性，具體流程如圖4 所示。

圖4 攔截器空間碎片碰撞概率計(jì)算流程

在搜索完N 個(gè)空間碎片后，可以得出攔截器與該區(qū)域空間碎片的碰撞概率為

3 算例分析

為了驗(yàn)證已構(gòu)建碰撞概率模型的合理性，利用TLE 數(shù)據(jù)作為碰撞預(yù)警仿真在軌運(yùn)行的衛(wèi)星以及空間碎片數(shù)據(jù)來(lái)源，對(duì)5 個(gè)衛(wèi)星及其周圍的5830 個(gè)空間碎片的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了搜索計(jì)算，軟件環(huán)境為VC6.0 ++，硬件配置為Xeon(R)CPU、主頻2.00 GHz，2G 內(nèi)存。碰撞預(yù)警計(jì)算結(jié)果如表1 所示。

表1 碰撞預(yù)警計(jì)算結(jié)果

由表1 可以得出:

1)在軌運(yùn)行的航天器與10 cm 以上的空間碎片存在碰撞風(fēng)險(xiǎn)，為確保在軌攔截器安全飛行，對(duì)其進(jìn)行碰撞預(yù)警分析是很有必要的。

2)對(duì)在軌運(yùn)行的航天器進(jìn)行危險(xiǎn)空間碎片篩選，其用時(shí)大概在5 ～10 min，與其他傳統(tǒng)碰撞判據(jù)用時(shí)相比較，縮短了計(jì)算用時(shí)，說(shuō)明本研究提出的球形判據(jù)是科學(xué)合理的。

4 結(jié)論

針對(duì)在軌攔截器與空間碎片碰撞問(wèn)題，提出了危險(xiǎn)空間碎片球形判據(jù)和搜索時(shí)間步長(zhǎng)確定方法，根據(jù)碰撞概率計(jì)算流程，對(duì)5 個(gè)衛(wèi)星及其周圍的5 830 個(gè)空間碎片進(jìn)行了搜索計(jì)算，可以剔除90%以上的空間碎片且用時(shí)較短，其計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況較為吻合，驗(yàn)證了模型的科學(xué)性和合理性，為了使計(jì)算結(jié)果更接近真實(shí)情況，需要選取合適的危險(xiǎn)距離以及時(shí)間搜索步長(zhǎng)進(jìn)行碰撞預(yù)警。本研究定義的在軌攔截器與空間碎片碰撞概率可以較為直觀地反映攔截器在空間飛行中可能遇到的安全威脅，在對(duì)攔截器和空間碎片進(jìn)行碰撞預(yù)警時(shí)，可以用這樣的算法先進(jìn)行粗略篩選，然后用高精度的計(jì)算模型作最后的判別。

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