范希爾幾何思維水平在教育教學(xué)中的應(yīng)用

文/羅紅梅

幾何能培養(yǎng)空邏輯思維能力、間想象能力，它在思維的培養(yǎng)中起著重要作用。幾何的學(xué)習(xí)包括幾何概念、幾何判斷、幾何推理的學(xué)習(xí)，由于幾何的特點(diǎn)較多，使得幾何學(xué)習(xí)起來(lái)非常困難，如:幾何推理有幾何推理往往借助于直觀、幾何推理具有明顯的層次性、幾何推理方式的多樣性三方面特點(diǎn)。教學(xué)影響學(xué)生的幾何思維水平，如何有效提高學(xué)生的幾何能力是教師一直努力解決的問(wèn)題。范希爾夫婦在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)教材中呈現(xiàn)的問(wèn)題或作業(yè)需要的語(yǔ)言通常超出了學(xué)生的思維水平，他們于1957年提出了幾何思維五水平，之后相繼提出了與之的五個(gè)教學(xué)階段，稱為范希爾理論。

一、范希爾幾何思維水平

范希爾幾何思維水平由低到高分為視覺(jué)、分析、非形式化演繹、形式化演繹、嚴(yán)密性5個(gè)水平，后來(lái)弗斯、克萊門(mén)慈等人研究發(fā)現(xiàn)還有比視覺(jué)層次更低的層次存在，克萊門(mén)慈將其稱為前認(rèn)知水平。范希爾夫婦總結(jié)歸納出幾何思維水平的特點(diǎn)具有次序性、進(jìn)階性、語(yǔ)言性、內(nèi)隱性及外顯性、語(yǔ)言性、不適配性，在運(yùn)用時(shí)要考慮這些特性對(duì)學(xué)生幾何思維的影響。20世紀(jì)80年代，范希爾將幾何思維五水平合并為直觀水平、描述水平、理論水平。

二、范希爾幾何思維水平在教育教學(xué)中的應(yīng)用

(一)評(píng)估學(xué)生的幾何思維水平

評(píng)定學(xué)生的幾何思維水平可根據(jù)范希爾幾何思維水平編制測(cè)試題，按照學(xué)生對(duì)問(wèn)題回答的情況評(píng)判他的幾何思維水平等級(jí)，還可考察到學(xué)生的思維過(guò)程，從而調(diào)整教學(xué)計(jì)劃。美國(guó)Usiskin于1982年編制的《Van Hiele幾何思維測(cè)試題》，每個(gè)思維層次包括5個(gè)試題，如果學(xué)生答對(duì)該水平試題數(shù)的3/5或4/5，則學(xué)生達(dá)到該幾何思維水平，如果達(dá)到某一水平但未達(dá)到前一水平，這這一水平不予認(rèn)可。他編制的測(cè)試題、評(píng)定是否達(dá)到某一思維水平的方法被研究者廣泛參考。Usiskin通過(guò)調(diào)查得出，3%的初中生可以達(dá)到非形式化演繹之上;范希爾幾何思維水平與幾何測(cè)驗(yàn)的分?jǐn)?shù)相關(guān)性顯著;一些學(xué)生的解答在兩水平之間，難以認(rèn)定為某一水平;學(xué)完初中幾何課程以后，40%的學(xué)生未達(dá)到非形式化演繹水平;范希爾幾何思維層次存在性別差異現(xiàn)象。

為掌握學(xué)生的幾何思維水平及過(guò)程，考察我國(guó)學(xué)生有沒(méi)有類(lèi)似于Usiskin的研究結(jié)論，我國(guó)學(xué)者進(jìn)行了范希爾幾何思維水平的應(yīng)用研究。他們編制試題測(cè)量學(xué)生的幾何思維水平現(xiàn)狀，并分析解答過(guò)程來(lái)改進(jìn)幾何教學(xué)，還比較了不同的地區(qū)、民族、性別間學(xué)生的幾何思維水平差異，這些研究促進(jìn)了我國(guó)幾何思維的發(fā)展。

葛詢自編了每水平包含三個(gè)小問(wèn)題的Kasner正方形的測(cè)試題，測(cè)試中小學(xué)各年級(jí)學(xué)生的幾何思維層次，驗(yàn)證了范希爾思維水平運(yùn)用于某些具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的可行性，但此研究的試題面太窄，僅測(cè)出了學(xué)生對(duì)Kasner正方形的幾何思維層次，測(cè)試結(jié)果能否反應(yīng)學(xué)生的幾何思維層次需要進(jìn)一步研究。教學(xué)前了解學(xué)生的能力現(xiàn)狀是十分必要的，王娟為了解七年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)《相交線與平行線》前，學(xué)生的平行線的認(rèn)知結(jié)構(gòu)及推理認(rèn)知情況，便于進(jìn)行平行線的單元教學(xué)設(shè)計(jì)。她分析了教材內(nèi)容的幾何思維水平，小學(xué)階段學(xué)生了解了平行線的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)，認(rèn)知水平集中在視覺(jué)、分析層次;初中在小學(xué)的基礎(chǔ)上探索平行線的性質(zhì)和判別，認(rèn)知水平將提高到非形式演繹。她自編測(cè)試題考察學(xué)生平行線概念的認(rèn)知、平行線的推理水平，對(duì)學(xué)生的回答情況進(jìn)行了歸類(lèi)，統(tǒng)計(jì)了學(xué)生的推理水平并提出教學(xué)策略。王遠(yuǎn)帆根據(jù)Usiskin的《Van Hiele幾何思維水平測(cè)試題》編制了《圓》的幾何思維水平測(cè)試題并分析兩套題目的相關(guān)性。他運(yùn)用《圓》的測(cè)試題測(cè)試學(xué)生的范希爾幾何思維水平，得出中考成績(jī)、一模考試和Van Hiele水平之間顯著相關(guān)的結(jié)論，說(shuō)明Van Hiele幾何思維水平愈高學(xué)業(yè)成績(jī)?cè)胶谩Ｔ盅芯苛?-6歲幼兒平面幾何圖形辨認(rèn)能力和組合能力，發(fā)現(xiàn)幼兒的平面幾何圖形辨認(rèn)能力主要處在視覺(jué)水平，一些幼兒處在前視覺(jué)水平和融合水平，思維從視覺(jué)到分析;幾何圖形組合能力處在零散組合階段和圖像階段，部分幼兒處在前組合階段和形狀組合階段，思維從具體到抽象;兩種能力存在明顯的年齡差異、民族差異，但城鄉(xiāng)差異和性別差異不明顯，兩種能力存在一定的正相關(guān)。

金美月、馮雪嬌比較了漢、蒙古、朝鮮族初中生幾何認(rèn)知水平，發(fā)現(xiàn)漢蒙和漢朝學(xué)生的直觀水平都存在顯著的民族差異，朝蒙學(xué)生直觀水平不存在顯著的民族差異;蒙漢和蒙朝學(xué)生的描述水平、理論水平民族差異都顯著，漢朝學(xué)生間這兩水平民族差異不顯著。三個(gè)民族男女生都只達(dá)到直觀水平，隨著認(rèn)知水平的升高，女生優(yōu)于男生，并分別比較分析了三個(gè)民族的男女生在每一幾何認(rèn)知水平的表現(xiàn);三個(gè)民族學(xué)生的幾何認(rèn)知水平均影響數(shù)學(xué)成就。戴天羽根據(jù)范希爾三水平編制了高中生立體幾何認(rèn)知水平測(cè)試題，比較在遼寧地區(qū)生活環(huán)境相同的蒙、漢族學(xué)生的差異。在沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)習(xí)立體幾何前，兩民族學(xué)生的幾何認(rèn)知水平只達(dá)直觀水平;學(xué)習(xí)立體知識(shí)后，漢族學(xué)生的描述水平比蒙古族學(xué)生好，蒙古族學(xué)生的理論水平比漢族學(xué)生好;能力不同的學(xué)生的幾何認(rèn)知水平有差異現(xiàn)象，處于同一生活環(huán)境的兩民族學(xué)生的立體幾何認(rèn)知水平的差異不明顯。

這些研究驗(yàn)證了運(yùn)用具體幾何問(wèn)題考察學(xué)生的幾何思維水平的可行性，也說(shuō)明了部分學(xué)生的幾何思維水平處于過(guò)渡期，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)與幾何思維水平正相關(guān)，同一生活環(huán)境的不同民族學(xué)生的幾何思維水平差異不明顯，幾何思維水平存在性別差異的現(xiàn)象。

(二)評(píng)估教材內(nèi)容的幾何思維水平

范希爾幾何思維水平用于評(píng)估教材幾何內(nèi)容的幾何思維水平，可以幫助教師了解教材中幾何內(nèi)容的幾何思維水平整體分布情況，從整體把握幾何內(nèi)容的系統(tǒng)安排。教材編制者及教師可根據(jù)幾何思維水平的分布情況對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整、改進(jìn)。在幾何內(nèi)容的教學(xué)中，教師尤其要處理好學(xué)生的幾何思維水平層次間的過(guò)渡。

龐雪蘭等從“長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)”看小學(xué)數(shù)學(xué)幾何教材的編排，發(fā)現(xiàn)以長(zhǎng)方體為代表的立體幾何知識(shí)少且分散，相關(guān)知識(shí)間的系統(tǒng)性不強(qiáng)，沒(méi)有充分體現(xiàn)長(zhǎng)方體在發(fā)展學(xué)生的空間觀念等幾何思維能力的作用。王遠(yuǎn)帆分析了《圓》的教材和配套練習(xí)的思維水平，課本的內(nèi)容都以分析、非形式化演繹為主，而配套的練習(xí)也是集中在這兩個(gè)水平，偶爾出現(xiàn)形式化演繹水平。任芬芳］比較2011、2001版初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和人教版中“圖形與幾何”內(nèi)容的認(rèn)知水平，兩版本課程標(biāo)準(zhǔn)及教材相比，知識(shí)點(diǎn)水平基本一致;2011版比2001版課程標(biāo)準(zhǔn)的形式化演繹的內(nèi)容略有所增加;兩版本版課程標(biāo)準(zhǔn)及人教版教材中每個(gè)水平的知識(shí)點(diǎn)分布基本一致;人教版教材中非形式化演繹和形式化演繹的知識(shí)點(diǎn)大部分集中在八年級(jí)。崔冉分析了上教版和人教版的知識(shí)的幾何思維水平分布情況，兩教材幾何設(shè)計(jì)均符合范希爾幾何思維水平，兩版本教材內(nèi)容的設(shè)置基本相同，但上教版更具范希爾幾何思維水平系統(tǒng)性。

“相似形”是初中幾何的代表性內(nèi)容，幾位研究者選擇了此內(nèi)容分析它呈現(xiàn)的幾何思維水平情況，并比較了不同版本內(nèi)容安排優(yōu)勢(shì)與不足。王娟玲選取初中《相似形》比較華教版和蘇教版教材呈現(xiàn)知識(shí)活動(dòng)的幾何思維水平，蘇教版更注重邏輯推理，它呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)活動(dòng)集中在較高的幾何思維水平，而華師版更注重用觀察、實(shí)驗(yàn)、動(dòng)手操作等方式啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)，數(shù)學(xué)活動(dòng)呈現(xiàn)的思維水平分配不均。陳迪春比較了人教版和北師大版“相似形”，他將兩版本教材中每個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)作為一個(gè)條目歸入每一水平統(tǒng)計(jì)分析。兩教材都很注重從直觀引入新概念，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與直覺(jué)，且符合思維的發(fā)展過(guò)程，但兩教材對(duì)具體問(wèn)題的處理差距較為明顯。北師大教材動(dòng)手能力要求更高，而人教版邏輯思維能力更嚴(yán);人教版的問(wèn)題比較零散，不具有情境性;兩個(gè)教材的課程改革整體上符合心理學(xué)的研究成果，與國(guó)際幾何課程改革與發(fā)展方向相同，但大大降低了對(duì)幾何思維水平的要求，原因是促進(jìn)學(xué)生由低向高的幾何思維水平發(fā)展的策略效用不夠。唐恒鈞、張維忠比較我國(guó)新教材《數(shù)學(xué)·中二年級(jí) (八年級(jí))(下)》與美國(guó)《發(fā)現(xiàn)幾何》的“相似形”一章內(nèi)容，兩國(guó)都注重從直觀幾何入手，但美國(guó)的內(nèi)容更廣、更深，系統(tǒng)的問(wèn)題情境使得學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)總處于由問(wèn)題組成的情境脈絡(luò)之中。我國(guó)教材注重運(yùn)用正、反例的辨析來(lái)在鞏固中求發(fā)展，也有努力通過(guò)問(wèn)題來(lái)提高學(xué)生思維水平，但缺乏相應(yīng)的情境。

李勇比較了人教版與北師大版初中“空間與圖形”各個(gè)階段的范希爾思維水平，發(fā)現(xiàn)人教版對(duì)邏輯推理能力的要求高于北師大版且花課時(shí)更多，人教版以知識(shí)點(diǎn)為單位來(lái)設(shè)計(jì)幾何思維水平的發(fā)展，內(nèi)容比較連貫，很自然地引出形式化演繹推理。而北師大版對(duì)前面幾個(gè)思維水平的設(shè)計(jì)與人教版類(lèi)似，但從非形式化演繹到形式化演繹的過(guò)渡上，北師大版從整體上設(shè)計(jì)幾何思維水平的發(fā)展更多。兩個(gè)版本教材對(duì)前幾節(jié)的內(nèi)容安排基本一致，但在之后的內(nèi)容中，人教版通過(guò)嚴(yán)格的形式證明作為分析與非形式化演繹的過(guò)渡，而北師大版教材引入了非形式的演繹推理作為視覺(jué)與分析水平的過(guò)渡，過(guò)渡的方式不一樣。

(三)評(píng)價(jià)與反思

測(cè)量學(xué)生幾何思維水平方面，研究者都是運(yùn)用自編試題對(duì)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試且相關(guān)研究范圍不廣。使用者可能會(huì)存在理論理解不透、測(cè)試題遷移不當(dāng)?shù)痊F(xiàn)象，影響測(cè)量結(jié)果的有效性。評(píng)估教材方面，研究者評(píng)價(jià)了教材內(nèi)容的幾何思維水平，比較了不同版本教材幾何思維處理的優(yōu)勢(shì)，給予教材編制者、一線教師吸收其它版本教材的編排優(yōu)勢(shì)之處，具有很強(qiáng)的參考價(jià)值，但研究不夠系統(tǒng)。應(yīng)大力在中小學(xué)教師中推廣教師對(duì)范希爾理論、solo分類(lèi)理論等評(píng)價(jià)方法的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，更深入細(xì)致地剖析各水平的劃分標(biāo)準(zhǔn)，使一線教師使用其評(píng)估學(xué)生、教材起來(lái)都得心應(yīng)手，使得教師教學(xué)中結(jié)合幾何思維水平特性，提高教學(xué)效率。

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