數學解題，“三審”題目

李菁菁　高明

摘要：高中數學競賽和高考試題內容具有廣泛性與深刻性的特點，其解答也包含著豐富的機智思想，制定“三審”題目的策略有助于擴展知識、拓展視野、延展思維、深化解題方法、提高解題技巧，以及培養創新思維能力。

關鍵詞：審條件；審結論；審方法

中圖分類號：G634.6文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2015）06-0037-01

波利亞在《怎樣解題》中提到解題的第一個環節是“弄清問題”，它是對問題表征進行認識的過程，通過審條件、審結論、審方法三方面去理解題意，抓住關鍵信息，明確命題的意圖，進而找到解題的突破口，“三審”是成功解決問題的前提。

一、審條件

條件是解題的基礎和依據。審條件就是要充分利用題目中的已知條件，將條件進行分解、轉化、組合，挖掘隱含信息，找到它們之間的內在聯系，同時要抓住關鍵特征，明確命題的意圖，尋找解題的突破口。

例1、若實數x，y滿足方程組（x-1）2011+（x-1）2009+2010x=4020（y-1）2011+（y-1）2009+2010y=0，則

x+y=.（2010年全國高中數學聯賽新疆維吾爾自治區預賽）

分析與解答：條件是關于變量x，y的高次方程，單獨解出x，y非常困難。抓住題目中的隱含條件，即方程的結構特征和數量特征，將其變形為：

（x-1）2011+（x-1）2009+2010（x-1）=2010（y-1）2011+（y-1）2009+2010（y-1）=-2010，

觀察可發現這兩個方程有較明顯的特征，兩式的左邊結構相同，右邊的兩個數互為相反數。此時可構造函數f（t）=t2011+t2009+2010t，再利用相關性質：

（1）函數f（t）為奇函數，有f（x-1）=-f（y-1）=f（1-y）；

（2）函數f（t）為R的單調遞增函數，則由f（x-1）=f（1-y）可得x-1=1-y。

故x+y=2。

二、審結論

結論的證明或解答是解題的目的、落腳點。審結論就是在解題前要知道題目求的是什么，明確解題方向。而對于某些選擇題，往往可以從結論入手，將結論分成互斥的類型，從而尋找到解決問題的思路。

例2、設函數f（x）=ex+x-a（a∈R，e為自然對數的底數），若曲線y=sinx上存在點（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，則a的取值范圍是（）.（2013四川高考數學，理10）

A.1，eB.e-1-1，1C.1，e+1D.e-1-1，e+1

分析與解答：從結論入手，可發現A、C選項不含0元素，B、D選項含有0元素，則將選項分為兩類：A、C與B、D。

（1）當a=0時，f（x）=ex+x，為增函數。則f（0）=1，有f（f（0））=e+1>1，不滿足要求，排除B、D。而對于A、C選項，只要考慮a=e+1是否滿足要求即可。

（2）當a=e+1時，f（x）=ex+x-e-1，有f（0）=1，而f（f（1））=-e無意義，排除C，故答案選A。

三、審方法

方法就是解題的手段、技巧，是解題的重要工具。審方法就是挖掘題目中的條件，可以利用數學公式、定理等來得到解決問題的思路。多角度、全方面地思考如何利用這些條件來解決問題，有助于提高人的思維能力。

例5、函數f（x）=3x-6+3-x的值域是.（2013年全國高中數學聯合競賽江西賽區預賽）

分析與解答：

方法1（函數的性質）函數的定義域為2，3，由連續函數在閉區間內必有最值，且通常在端點處或極值點處取得，而f（2）=1，f（3）=3，f′（114）=0，f（114）=2，因此f（x）的值域為1，2。

方法2（數形結合法）由于涉及根式運算，較復雜，可考慮使用換元法。令3x-6=a，3-x=b，原函數變為y=a+b，又有a2+3b2=3，即a23+b2=1（a≥0，b≥0）。現考慮直線b=-a+y與橢圓a23+b2=1（a≥0，b≥0）的位置關系。（如圖2），利用數形結合思想可知：直線與橢圓第一象限有交點，故y最小在點（0，1）處取，此時y=1，y最大滿足a23+b2=1b=-a+y，由其判別式為0，可解得y=2處取得，所以y∈1，2，即f（x）的值域為1，2。

方法3（三角代換法）由于變數3x-6與3（3-x）之和為定值，聯想到三角函數的性質。因為0≤3-x≤1，令3-x=cos2α，α∈0，π2，則3x-6=3sin2α。

原函數變為f（α）=3sinα+cosα=2sin（α+π3），又π3≤α+π3≤5π6

則f（α）∈1，2。

（作者單位：西華師范大學數學與信息學院）