基于變結構自抗擾的永磁電動機速度控制系統

黃 慶 黃守道 馮垚徑 周臘吾 李孟秋 鄧秋玲

（1.湖南大學電氣與信息工程學院 長沙 410082 2.株洲南車時代電氣股份有限公司 株洲 412001 3.湖南工程學院電氣與信息工程學院 湘潭 411104）

0 引言

近年來，隨著新穎的永磁同步電動機（Permanent Magnet Synchronous Motor,PMSM）非線性控制理論的發展，在矢量控制的基礎上采用先進的復雜控制策略如自適應神經網絡控制[1]、模糊PID 控制[2]、滑模變結構控制[3]和自抗擾控制[4]等構成內外環控制器，可實現調速系統的高性能控制，這些方法自身都各有優缺點。在這些非線性控制策略中，滑模變結構控制具有對系統參數變化適應性強、魯棒性好等特點，在非線性系統分析與控制中的應用，具有十分可觀的研究前景。由于開關的切換動作所造成的控制的不連續性，使得滑模變結構控制系統存在“抖振”問題[5]，文獻[6]采用了串級復合滑模控制，通過在速度環增加積分環節來消除滑模控制的力矩抖動，從而能夠有效地減弱抖振。文獻[7]采用了自適應滑模變結構控制，保證變結構控制器控制增益的合理性，對于系統的不匹配不確定性擾動具有自動調節的能力。文獻[8]采用了一種新型的滑模趨近率控制策略，能夠解決時間延遲的問題使得進一步削弱抖振。但是此類控制方法在伺服電動機低速甚至超低速控制中，在負載轉矩突變及控制系統參數變化的情況下仍然存在抖振的問題，使得伺服系統的位置準確度無法提高，因此需要采用更好的復合控制策略解決永磁同步電動機的速度環控制問題。

自抗擾控制器是一種不依賴被控對象數學模型的新型控制技術，能自動檢測并補償被控對象的內外擾動，控制對象的參數發生變化或者遇到不確定性擾動時能結合非線性反饋組合實現很好的控制效果，具有較強的適應性、魯棒性和可操作性，然而自抗擾控制器中可調參數較多且不便于實際操作和整定[9]。文獻[10]提出了一種無需參數整定的自抗擾控制器，在這種結構下，無需參數整定，可以有效控制PMSM 的轉速和轉矩。但是此類控制方法在應用于交流伺服系統高速控制中，且受到轉動慣量、負載轉矩突變及摩擦力等系統擾動影響時，抗擾動能力稍差，且超調較大，其控制策略難以達到高穩態準確度要求。

因此，本文結合滑模變結構和自抗擾兩種控制技術的優勢，提出了一種PMSM 滑模自抗擾控制系統。將滑模控制引入到速度及電流自抗擾控制器（Active-Disturbance Rejection Controller,ADRC）的設計中，通過對控制器中非線性狀態誤差反饋的參數自整定改進，使控制器保持了原自抗擾控制器特點又使可調參數在切換時平滑過渡，減小了系統的誤差，改善了系統控制性能，同時在保證系統動態性能的情況下，提高了系統魯棒性和系統內部抗擾動的能力，并且在永磁同步電動機調速控制系統中保證系統的高低速控制性能，達到系統調速范圍寬的目的。通過仿真及實驗驗證，改進后的系統與典型的自抗擾控制器（ADRC）相比，具有響應速度快、超調小、穩態準確度高和調速范圍寬的優點，且對轉動慣量、負載轉矩突變及摩擦力等系統擾動影響具有很強的魯棒性。

1 PMSM 的數學模型

三相永磁同步伺服電動機的數學模型是一個多變量、非線性和強耦合系統。本系統采用了三相正弦波電流驅動的表面貼裝式永磁同步電動機（SPMSM）為被控對象，Ld=Lq=L。假設轉子上沒有阻尼繞組，轉速在基速以下時，在定子電流給定的情況下，id=0 控制，可以更有效地產生轉矩。基于永磁同步電動機的理想數學模型，SPMSM 的數學模型在dq 軸坐標系下可以描述為[11,12]

式中，id、iq為電動機定子電流d、q 軸分量；ud、uq為定子電壓d、q 軸分量；R為定子繞組電阻；L為定子d、q 軸自感；ψf為轉子永磁體產生的磁鏈；TL為負載轉矩；Te為電磁轉矩；J為轉子轉動慣量；B為阻力系數；p為極對數；ω為轉子角速度；θ為轉子的位置角。

2 滑模變結構自抗擾控制器的數學模型

2.1 自抗擾控制的數學模型

自抗擾控制器主要由跟蹤微分器（Tracking Differentiator，TD）、擴張狀態觀測器（Extended State Observer，ESO）和非線性狀態誤差反饋控制律（Nonlinear States Error Feed-Back，NLSEF）三部分組合而成。本文采用轉速電流雙閉環控制，使其成為一個整合的自抗擾速度環，因此采用了二階自抗擾控制器。

在這里，自動估計補償擾動能力是自抗擾控制器的關鍵所在，適當選取跟蹤微分器、擴張狀態觀測器和非線性狀態誤差反饋控制律中的非線性函數及參數，二階被控對象的狀態方程[13]可描述為

式中，u(t)為系統的控制量；y為系統的被控對象輸出；x1、x2構成系統運動全部信息的狀態變量；b為系統控制量增益；f0(x1,x2)是系統“內部擾動”，為已知量；w(t)是系統“外部擾動”，為未知量，則內部擾動與外部擾動的總和為系統的“總擾動”。

對于PMSM 的典型二階自抗擾控制器設計如下：

（1）首先，對于電動機的給定轉速輸入信號v設定線性跟蹤微分器（TD）方程為

式中，v為輸入信號；v1為v安排適當的過渡過程是跟蹤輸入信號；v2為跟蹤輸入信號v1的微分；可調參數r為速度因子，r越大，跟蹤速度越快。

（2）通過對電動機實際輸出y，設計非線性擴張狀態觀測器，把含有未知擾動的非線性不確定對象轉化成“積分串聯型”對象，u(t)可為電動機的 d軸或 q 軸上的電壓，擴張狀態觀測器（ESO）方 程[14-16]為

式中，z1為系統輸出y的跟蹤信號；z2為z1的微分信號；z3為未知擾動的估計值；ε1為誤差信號；β01、β02和β03為輸出誤差校正增益（三個可調參數）；fal(·) 為最優綜合控制函數，其表達式為

式中，a為非線性因子，0＜a＜1；δ為濾波因子；ε為輸入誤差變量。

（3）非線性狀態誤差反饋控制律（NLSEF）是由TD 產生的各階導數和ESO 產生的狀態變量估計之間的誤差“非線性組合”，其與ESO 對總擾動的補償一起組成控制量，NLSEF 主要作用是設計控制量u0(t)，使其控制好二階積分串聯型被控對象，非線性狀態誤差反饋控制律的方程為

式中，e1、e2分別為誤差和誤差微分信號；β1、β2分別為誤差和誤差微分增益；u(t)為補償控制量；u0(t)為設定控制量；f0(z1,z2)是系統已知部分，為內部擾動，如果ESO 能對a(t)進行有效的估計，例如電動機的負載擾動屬于a(t)，便可以抑制負載擾動的影響，自抗擾的意義在于補償項-a(t)/b，用來一起估計和補償系統的未建模動態和未知外部擾動。

ADRC 利用ESO 估計受控對象狀態變量和總擾動實時作用量，并給予補償，從而設計出合理的非線性狀態誤差反饋控制律，適當選取參數，提高了系統控制準確度，使控制器具有較強的適應性和魯棒性，典型二階ADRC 控制器結構如圖1所示。

圖1 典型二階自抗擾控制器結構圖Fig.1 The block diagram of typical second-order ADRC controller

2.2 滑模擴張狀態觀測器的數學模型

滑模控制（Sliding Mode Control，SMC）是變結構控制（Variable Structure Control，VSC）系統的一種控制策略。它本質上也是一類特殊的非線性控制，根據系統狀態的變化，迫使系統按照預定滑動模態漸近穩定。由于滑動模態可不依賴于對象參數及擾動進行設計，使得滑模變結構控制系統具有快速響應、穩態準確度高和轉矩平滑等特點，同時抑制參數和負載變化所引起的擾動。

針對電動機變頻調速單輸入單輸出控制系統，設計滑模變結構控制系統步驟如下：

（1）設計滑膜切換向量函數s(x)，取s(x)=cx=，滑動模態運動的漸近穩定性取決于切換向量函數，其中，xi=x(i-1)(i=1,2,… ,n)為系統狀態及其各階導數，選取適當的常數c1,c2,… ,cn-1，使得構成穩定的滑模面。

（2）設計滑動模態最佳趨近控制率u(x)，使得滑動模態運動是系統沿著切換面s(x)=0 上運動，系統進入滑模面狀態，但在實際中，系統運動點沿切換面上下穿動，存在抖振的問題。

通過將自抗擾技術與滑模變結構控制器相結合，對式（4）作適當變形，得出等價式為

只要選取合適的最優控制函數f(ε)就能保證滑模擴張狀態觀測器穩定，這也保證了系統的穩定性。對于電動機控制系統，設計滑模切換向量函數為

適當選取常數c1、c2，使得多項式p3+c2p2+c1p+1（p為Laplace 算子）為Hurwitz 穩定，且具有較大的穩定裕度。令函數f(ε)為

使得滑模擴張狀態觀測器穩定。式（10）中k為可調參數，sign(·) 為開關符號函數

對于系統穩定證明如下。

對切換向量函數s(t)微分，同時將式（9）代入函數式中，可得

將式（10）代入式（11）得

式中，選取合適k值，使得k＞A，則，根據滑模控制的Lyapunov 穩定性要求，系統進入滑模面，從而保證了系統的穩定性。為了削弱抖振，用繼電特性函數θ(s)來使控制量連續化，即用θ(s)函數替代式（10）中不連續的常規滑模控制器開關符號函 數sign(·)。繼電特性函數表達式為，式中，δ1為較小的正的常數，是可調參數。

2.3 滑模非線性狀態誤差反饋控制器的數學模型

從式（3）中可知，對于輸入給定信號v(t)，v1(t)跟蹤輸入信號v(t)，而v2(t)是v1(t)的微分且是一種“品質”很好的微分；從式（3）和式（4）可知，z1(t)和z2(t)可很好地跟蹤原系統x1(t)和x2(t)狀態變量，是對系統狀態變量的重構，因此兩組變量之間的誤差e1=v1-z1，e2=v2-z2為對象參考輸入v(t)的狀態誤差；由于，對式（3）和式（7）進行推導，則有

用誤差的“非線性配置”來實現“非線性狀態誤差反饋”控制，用滑模控制函數設計控制量為

從而保證系統穩定。式中，l為可調參數；θ(s)為繼電特性函數，以削弱系統抖振，其表達式為θ(s)=，δ2為較小的正可調參數，常數c1和滑模面的選取以及穩定性分析如2.2 節所述，由于此處定義誤差為輸入信號與輸出信號之差，故控制量u0(t)為“正”。

由以上分析可知，改進后的滑模變結構自抗擾器中變結構擴張狀態觀測器（ESO）和滑模非線性狀態誤差反饋控制律（NLSEF）各含有兩個可調參數，且可調參數個數不受被控系統階次的影響。與改進前典型自抗擾控制器相比，可調參數有所減少，這使得參數整定變得更簡單。

3 PMSM 變結構自抗擾速度控制系統

3.1 基于變結構自抗擾控制的速度電流環調節器

在同步旋轉坐標系下，由式（1）推導得永磁同步電動機速度電流環的二階動態方程為

令

則式（15）可簡化為

式中，fq為系統已知擾動；a1(t)為系統未知負載擾動；通過這兩項可以有效地估計系統速度電流環的總擾動，并對總擾動進行補償，對負載擾動有很好的魯棒性；在有位置傳感器的條件下，dω/dt為已知量，其微分亦為已知量，可得速度電流環的狀態方程為

由此可知，其狀態方程與自抗擾控制器式（3）相同。故可依據式（4）、式（8）、式（11）、式（14）和式（15）來設計速度電流環滑模自抗擾控制器，其結構如圖2所示。圖中，ω*是給定轉子速度；是q 軸給定電壓；ω為轉子速度反饋信號；v1是ω*的跟蹤信號；v2為ω*的微分信號；z1為ω的跟蹤信號；z2為z1的微分信號；z3為系統不確定部分觀測量，即未知擾動量a1(t)；fq為已知擾動觀測量。此處微分的作用不同于PID 控制中的微分，它對“噪聲”不是起放大作用，而是起抑制作用。

圖2 速度電流環滑模自抗擾控制器的總體框圖Fig.2 Speed current loop overall block diagram of VS-ADRC controller

在滑模自抗擾控制器中，跟蹤微分器（TD）為ω*提供過渡過程，通過TD 對噪聲具有很好的濾波作用，獲得光滑的跟蹤信號v1，并提取其一次微分信號v2，滑模擴張狀態觀測器給出對象狀態變量的估計值z1、z2以及系統擾動的實時作用量的估計z3，而的反饋用來補償擾動，這是一個具有自動補償系統擾動的反饋結構。實際中，補償 控制量，u0(t)為運行過程中uq的控制量，用狀態誤差e1、e2和e0的非 線性狀態反饋，將非線性控制系統轉化為積分器串聯型的線性控制系統，確定跟蹤設定值的控制量，用式（14）的滑模非線性狀態誤差反饋控制律進行控制實現滑模自抗擾控制。

3.2 基于滑模自抗擾控制的直軸電流環調節器

對于交流永磁同步電動機的d 軸電流環，本文設計了一階滑模自抗擾控制器來對其控制。

由式（1）可知，將iq對d 軸電流環的耦合作用視為d 軸電流環的擾動量a2(t)，即

式中，fd為系統已知擾動；a2(t)為系統外部未知擾動量。通過這兩項可以有效地估計電流環的擾動，并對此擾動進行補償，對輸入電壓擾動有很好的抗擾性。

與速度電流環控制器設計相類似，只是將二階控制器降為一階控制器，這樣調節器參數更少，調試更方便，系統更穩定。由一階線性跟蹤器微分及式（8）、式（11）和式（19）便可得到d 軸電流環的滑模自抗擾控制器，其控制結構如圖3所示。用其來控制d 軸電流，不僅能獲得良好的動態性能，還能對系統電壓擾動進行估計并補償，使得系統的穩定性更好。

圖3 d 軸電流環的變結構自抗擾控制結構Fig.3 d-axis current loop VS-ADRC control structure

PMSM 滑模自抗擾速度控制系統結構如圖4所示，通過跟蹤微分器安排過渡過程并給出此過程的微分信號，使得系統響應迅速且無超調；通過滑模擴張狀態觀測器作用，不但能獲得各狀態變量的觀測值，且能得到系統擾動的觀測值。比如：轉動慣量和定子電阻、電感變化帶來的擾動以及負載擾動等其他外部未知擾動；通過滑模非線性狀態誤差反饋控制律，不但可以對各種擾動進行補償，而且能對速度和電流信號實現“小誤差大增益，大誤差小增益”的非線性控制。對典型自抗擾控制器的改進使得滑模自抗擾控制器在很大范圍內能夠達到最優控制，改進后的控制器既保持了原有特點又減少了可調參數，并改善了系統的魯棒性和對系統外部的抗擾動性，提高了PMSM 速度控制系統的穩態準確度和速度控制性能，并且能夠克服滑模控制系統抖振的問題。

該系統采用id=0 的雙閉環矢量控制結構，即速度環和電流環。速度電流環是將速度環、電流環綜合在一起而形成的一種新的速度電流環滑模自抗擾控制器。d 軸電流環同樣使用改進后的調節器，與典型的控制結構相比，不僅減少了控制環節，優化了控制策略，而且增強了整個控制系統抗擾動性能，提高了系統穩定性。

圖4 PMSM 滑模自抗擾速度控制系統結構圖Fig.4 VS-ADRC for PMSM control system structure

4 仿真及實驗結果分析

為驗證滑模變結構自抗擾控制器的永磁同步電動機控制系統的性能，本文利用Matlab/Simulink 對控制系統實現了數字仿真，在與實驗條件相同的條件下，以自主研發的變頻調速控制系統為核心對一臺自主研發的交流永磁同步電動機采用典型的自抗擾和滑模變結構自抗擾控制策略分別進行控制。交流永磁同步電動機參數如下：額定功率PN=11.3kW，額定轉速n=6 000r/min，定子電阻R=0.506?，交軸、直軸分別為Ld=Lq=7.638 5mH，轉動慣量為J=50.2kg·cm2，極對數p=2，額定轉矩Te=18N·m，轉子磁通φ0=0.812T，額定頻率fN=200Hz。

在實際中，需對控制器各部分的參數進行整定，經反復調試，速度電流環中，TD 中的參數確定后保持不變速度因子取r=106，變結構擴張狀態觀測器和變結構非線性狀態誤差反饋控制律中的參數取δ1=0.05，δ2=0.025，k=30，l=25；電流環中的參數取為：r=103，δ1=0.03，δ2=0.015，k=10，l=5。

圖5為ADRC 和VS-ADRC 兩系統的低轉速響應波形，當轉速n=20r/min時，在2s時刻，轉矩從0.334N·m 上升至18N·m，由圖可知，在低速時，滑模自抗擾控制系統與典型自抗擾控制系統相比，具有更好的啟動特性和系統魯棒性。

圖5 低速響應波形對比Fig.5 System response comparison waveforms at low speed

圖6為典型自抗擾和滑模自抗擾兩系統的高轉速響應波形，當轉速n=6 000r/min時，在2s時刻，轉矩從0.334N·m 上升至18N·m，從圖中可以看出，高速時，滑模自抗擾系統的動靜態性能、抗擾動能力和轉速控制準確度均優于典型自抗擾控制系統，而且具有良好的自適應能力。

圖6 高速響應波形對比Fig.6 System response comparison waveforms at high speed

圖7為典型自抗擾和滑模變結構自抗擾兩系統的電磁轉矩響應曲線，由圖可知，在電動機啟動時，滑模自抗擾控制系統的電磁轉矩脈動明顯小于典型自抗擾控制系統的電磁轉矩脈動，且穩態時，幾乎沒有轉矩脈動。在2s時，滑模變結構自抗擾控制系統電磁轉矩響應迅速且能很好地跟蹤給定值，從而降低了系統損耗，減少了系統所受到的電磁干擾和負載轉矩擾動，有利于提高系統控制性能。

圖7 電磁轉矩響應曲線對比Fig.7 Electromagnetic torque waveforms comparison

在PMSM 速度控制系統中，根據實際的應用情況，對ADRC 和VS-ADRC 兩種控制策略在同一特定情況下，例如給定轉速及轉動慣量發生變化，給定波形按方波、正弦波進行運行，可以體現出VS- ADRC 更好的的實用價值。

當系統轉動慣量由1.48×10-2kg·m2變為7.4×10-3kg·m2時，從圖8中可以明顯地看出VS-ADRC控制策略的優越性，系統在給定轉速200r/min 的情況下，空載起動電動機。采用VS-ADRC 控制時，超調量相比ADRC 要小很多，由此可知VS-ADRC抗擾動能力要遠遠強于ADRC，真正體現了VS-ADRC不受外部擾動的變化，且能更好地實時補償擾動的能力，有更優良的系統魯棒性。

圖8 給定轉速200r/min時VS-ADRC 與ADRC 的 轉速實驗波形對比Fig.8 Experimental waveform comparison of the speed of VS-ADRC and ADRC at 200r/min

當系統轉動慣量由1.48×10-2kg·m2變為7.4×10-3kg·m2時，速度給定為-200～+200r/min 的正弦波，周期為4s。從圖9可以明顯看出，ADRC 的速度波形出現振蕩，偏差較大；相比之下，VS-ADRC有著優良的跟隨性能，在快速性和穩定性中的優勢明顯，因此仍然能夠很好地完成速度控制，具有很好應用價值的。

圖9 速度給定為-200～+200r/min 的正弦波，VS-ADRC 與ADRC 的實驗波形對比Fig.9 Experimental waveform comparison of the speed of VS-ADRC and ADRC at -200～+200r/min

同樣，以方波為例，當系統轉動慣量由1.48×10-2kg·m2變為 7.4×10-3kg·m2時，速度給定為-200～+200r/min 的方波，周期為4s。從圖10可以明顯看出，ADRC 控制器速度波形出現較大超調，調整時間變長，并有振蕩出現；相比之下，VS-ADRC速度波形轉速超調明顯減小，速度響應速度變快，跟隨性能提高。

圖10 速度給定為-200～+200r/min 的方波，VS-ADRC 與ADRC 的轉速實驗波形對比Fig.10 Experimental waveform comparison of the speed of VS-ADRC and ADRC at -200～+200r/min

5 結論

本文根據實際需要，將滑模變結構自抗擾控制理論應用于高性能交流永磁電動機速度控制系統，設計出速度電流環的二階滑模變結構自抗擾控制器，以增強系統的抗擾動的能力。通過對直軸電流輸出方程的分析，提出了一種新的電流環滑模自抗擾控制方案，在保證系統動態性能的同時，提高了系統魯棒性。仿真與實驗表明，采用滑模自抗擾控制的PMSM 調速系統具有良好的動、靜態性能，此系統實現了高性能變頻調速，減少了可調參數，克服了滑模控制抖振的缺陷，速度控制系統對形成的總擾動具有較強的魯棒性，并且實現了滑模自抗擾控制技術運用于高性能的伺服控制領域。

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