基于Carathéodory-Fejér插值定理考慮誤差界的負(fù)荷建模方法

唐秀明 袁榮湘 陳 君 彭小奇

（1.武漢大學(xué)電氣工程學(xué)院 武漢 430072 2.中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 長沙 410083 3.湖南科技大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院 湘潭 411201）

0 引言

負(fù)荷模型是電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定分析的基礎(chǔ)，在某些情況下改變負(fù)荷模型甚至?xí)淖兿到y(tǒng)穩(wěn)定分析的定性結(jié)論[1]。負(fù)荷與系統(tǒng)中其他元件相比，構(gòu)成成分復(fù)雜，包括大量性能各異的用電設(shè)備，且運行中存在著隨機(jī)投切，這使得負(fù)荷建模難度很大，是電力系統(tǒng)領(lǐng)域公認(rèn)的難題。因此，建立符合實際、考慮負(fù)荷隨機(jī)特性的動態(tài)負(fù)荷模型具有十分重要的現(xiàn)實意義。

隨著電力系統(tǒng)運行監(jiān)測數(shù)據(jù)的豐富和系統(tǒng)辨識理論的發(fā)展，基于實測數(shù)據(jù)的負(fù)荷建模方法得到了專家學(xué)者的深入研究[2-5]。這些建模方法按模型的結(jié)構(gòu)可以分為機(jī)理型[6,7]和非機(jī)理型[8-10]。機(jī)理型模型一般由靜態(tài)部分和動態(tài)感應(yīng)電動機(jī)兩大部分構(gòu)成，配電網(wǎng)絡(luò)可單獨考慮或間接在電動機(jī)模型參數(shù)中考慮。非機(jī)理模型包括常微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間等形式的線性動態(tài)模型和非線性動態(tài)模型。

測量的負(fù)荷數(shù)據(jù)中的噪聲會影響基于實測算法的模型參數(shù)的準(zhǔn)確性。J.Yang 研究數(shù)據(jù)噪信比對辨識準(zhǔn)確性的影響，當(dāng)噪信比在0.2%～5%之間增加時，未進(jìn)行噪聲濾波時算法模型輸出相對誤差明顯增加，進(jìn)行濾波處理后算法模型輸出誤差值較小且增加幅度很小[11]。Y.G.Kim 使用離散小波算法對實測負(fù)荷擾動數(shù)據(jù)濾波，未說明濾波算法參數(shù)的適用性范圍[12]；文獻(xiàn)[13]將負(fù)荷數(shù)據(jù)中的噪聲視為高斯白噪聲，用低通濾波器濾除，但論文沒有詳細(xì)討論濾波器的參數(shù)。這些考慮實測數(shù)據(jù)中噪聲影響的文獻(xiàn)，一般假設(shè)噪聲為高斯白噪聲，即均值和方差已知的概率分布。實際中負(fù)荷動態(tài)建模的實測數(shù)據(jù)數(shù)量有限，難以滿足高斯白噪聲的假設(shè)，且相應(yīng)的分布參數(shù)也很難確定[14]。Milanese M 等提出將模型的未建模高階部分及噪聲假設(shè)為未知但有界的[15]（Unknown-But-Bounded，UBB）。系統(tǒng)中，UBB 噪聲誤差界限通常比統(tǒng)計特性更易獲得，也更符合實際。

為了考慮實測數(shù)據(jù)中未知但有界的測量誤差及隨機(jī)擾動對負(fù)荷模型的影響，本文提出了基于Carathéodory-Fejér插值定理[16]（Carathéodory-Fejér Interpolation,CFI）的負(fù)荷建模方法。首先，將實測數(shù)據(jù)誤差和負(fù)荷隨機(jī)小幅擾動用未知但有界的非構(gòu)造性誤差在負(fù)荷模型輸出端考慮對系統(tǒng)的影響；其次，根據(jù)哈代空間理論建立具有一定先驗參數(shù)的負(fù)荷模型集，把先驗參數(shù)和實測數(shù)據(jù)相容的條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式求解，得到滿足條件的解；最后，利用Nehari定理[17]和CFI定理構(gòu)造出滿足不等式考慮UBB誤差的高階線性傳遞函數(shù)模型。該負(fù)荷建模方法對一定誤差界范圍內(nèi)的系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)都能準(zhǔn)確擬合，適用于基于實測數(shù)據(jù)的負(fù)荷建模。為檢驗本文負(fù)荷建模方法的有效性，論文從兩方面對考慮誤差界的CFI插值模型進(jìn)行仿真，一方面用數(shù)值計算仿真，結(jié)果表明當(dāng)數(shù)據(jù)中加入幅度為0.5%～10%的UBB隨機(jī)干擾時，CFI插值算法模型輸出的方均根誤差值小于0.03，比最小二乘算法的方均根誤差值小，模型的擬合效果較好，在UBB隨機(jī)干擾誤差界估計不準(zhǔn)確時，該建模方法仍能得到較好的模型輸出，當(dāng)負(fù)荷構(gòu)成比例改變時，在一定范圍內(nèi)，對模型參數(shù)的影響不大。另一方面，用大擾動時實測的數(shù)據(jù)進(jìn)行負(fù)荷建模，考慮實際系統(tǒng)數(shù)據(jù)中的隨機(jī)小干擾，模型仿真結(jié)果表明該CFI建模算法能準(zhǔn)確擬合實際負(fù)荷動態(tài)特性。

1 哈代空間上的模型描述

哈代空間是單位圓盤上的解析函數(shù)空間，對于線性、時不變、因果及指數(shù)穩(wěn)定的系統(tǒng)，可用哈代空間理論來分析。該理論廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)辨識，控制系統(tǒng)分析等方面[18,19]。

假設(shè)線性時不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)相對穩(wěn)定裕度下界為ρ?1，系統(tǒng)在指數(shù)衰減的正弦信號激勵下穩(wěn)態(tài)增益上界為M，對于因果穩(wěn)定系統(tǒng)，有ρ＞1，M＞0。令Dρ表示半徑為ρ的圓面，即C為所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的空間。記Dρ的補集為，即。根據(jù)哈代空間理論，相對穩(wěn)定裕度下界為ρ?1的線性時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性等價于該系統(tǒng)的離散傳遞函數(shù)H(z)在上解析。由于不是閉 合有界的，難以直接使用最大模定理[20]和CFI 定理，因而引入變換z=λ?1，則系統(tǒng)H(z)穩(wěn)定變換為H(λ)在閉合有界的Dρ上解析。在哈代空間中這類因果穩(wěn)定的傳遞函數(shù)集合定義為

考慮圖1所示線性時不變因果穩(wěn)定系統(tǒng)模型，X為輸入數(shù)據(jù)，；Y為輸出數(shù)據(jù)，；N是數(shù)據(jù)長度；系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)序列為，相應(yīng)的傳遞函數(shù)為；系統(tǒng)的高階未建 模部分、測量誤差、負(fù)荷的隨機(jī)小擾動等不確定的 UBB 隨機(jī)干擾用輸出端的有界干擾表示，是幅值小于ε的干擾集合，其中ε＞0；則考慮干擾的系統(tǒng)非偽模型集為p(y)

圖1 考慮UBB 干擾的系統(tǒng)模型Fig.1 System model considering UBB disturbance

2 CFI 定理及在H∞,M(Dρ)函數(shù)空間的應(yīng)用

2.1 CFI 定理

CFI 定理解決了給定范數(shù)約束條件下，在指定點函數(shù)取值為給定值的判斷條件和函數(shù)的參數(shù)化方 法[21]。給定N維向量，定義矩陣函數(shù)定義的矩陣Λp

半正定時，存在矩陣函數(shù)F(λ)滿足：①范數(shù)約束：F(λ)在是復(fù)平面上的單位圓面；②插值表達(dá)式F(λ)U(λ)=Y(λ)且F(λ)可由已知數(shù)據(jù)構(gòu)造。

式（3）中，Tz(U,N,1)和Tz(Y,N,1)分別為由U=(u0u1…uN?1)和Y=(y0y1…yN?1)構(gòu)成的下三角Toeplitz 陣

α=1時可簡記為的轉(zhuǎn)置，滿足范數(shù)約束條件和插值條件的函數(shù)F(λ)為

式中，Θ(λ)是在單位圓面D上解析且的 函數(shù)。矩陣函數(shù)F(λ)由已知矩陣Aπ、Aξ、B+、B?、C+、C?、S和Λp構(gòu)造，矩陣之間需滿足的條件[22]

2.2 H∞,M(Dρ)函數(shù)空間CFI 定理的應(yīng)用

由2.1 節(jié)內(nèi)容知矩陣函數(shù)F(λ) ∈H∞,1(D1)，本文研究的對象電力負(fù)荷的傳遞函數(shù)屬于H∞,M(Dρ)函數(shù)空間，需得到當(dāng)插值函數(shù)R(λ) ∈H∞,M(Dρ)時 CFI定理在H∞,M(Dρ)上需滿足的約束條件和插值函數(shù)。

引入變換λ→ρλ，利用CFI 定理可以證明[23]，當(dāng)測量數(shù)據(jù)U、Y滿足Ωp≥ 0時，存在傳遞函數(shù)R(λ) ∈H∞,M(Dρ)與測量數(shù)據(jù)相容。Ωp定義為

式中，W為對角陣，。插值函數(shù)

3 基于CFI 定理的負(fù)荷建模

3.1 UBB 噪聲與模型的相容性

據(jù)CFI 定理，當(dāng)負(fù)荷測量數(shù)據(jù)和模型UBB 誤差界Δ滿足式（7）的約束條件時，才存在插值函數(shù)R(λ)與已知相容。對矩陣X，當(dāng)M2I?XXT≥0時，有，則式（7）的不等式約束條件轉(zhuǎn)化為

由Schur 補定理[24]，式（10）等價于線性矩陣不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）

式（11）經(jīng)過變換，可表達(dá)為關(guān)于決策向量Δ=(δ1,δ2,… ,δN)的LMI

式中

L是N N×維矩陣，決策向量Δ還需同時滿足誤差界 的不等式約束。此LMI 是關(guān)于特征 值最值的問題，即在一個線性矩陣不等式約束下，求矩陣的最大特征值的最小化問題。該問題的一般形式為

設(shè)解為Δ?，若對應(yīng)的λ?＜0，則當(dāng)擾動幅度在誤差界內(nèi)時，可以構(gòu)造插值傳遞函數(shù)滿足測量輸入輸出數(shù)據(jù)關(guān)系。將Δ?構(gòu)成的toeplitz 矩陣Tz(Δ?,N,ρ)>代入Ωp中的Tz(Δ,N,ρ)，得到所求的系統(tǒng)傳遞函數(shù)hid

式中

3.2 算法具體步驟

基于CFI 定理的算法具體步驟如下：

（2）若0λ?≥ ，則先驗信息與測量數(shù)據(jù)不相容，增大誤差界值ε，轉(zhuǎn)入步驟（1）（當(dāng)0λ?=時為臨界情況，滿足條件的傳遞函數(shù)唯一，也認(rèn)為需增大誤差界值）；若0λ?＜ ，先驗信息與測量數(shù)據(jù)相容，轉(zhuǎn)入步驟（3）。

（3）根據(jù)?Δ，構(gòu)造矩陣H和NC及函數(shù)，得到被辨識系統(tǒng)的名義模型

4 仿真分析

4.1 不同幅度UBB 干擾下CFI 建模方法的輸出

為了更全面方便地驗證考慮未知但有界干擾的CFI建模方法，此處采用系統(tǒng)參數(shù)辨識研究常用的辦法，即用精確模型（Accurate Model，AM）計算值代替實時采樣值，通過對AM計算值加入不同幅度的隨機(jī)干擾來研究CFI算法在UBB干擾下的魯棒性。

AM由40%的靜態(tài)ZIP負(fù)荷（其中恒阻抗負(fù)荷比例為30%，恒電流負(fù)荷為30%，恒功率負(fù)荷為40%）加60%的考慮機(jī)電暫態(tài)的一階感應(yīng)電動機(jī)負(fù)荷構(gòu)成，感應(yīng)電動機(jī)參數(shù)采用國內(nèi)常用的典型參數(shù)[25]。系統(tǒng)電壓故障擾動用ae?btcos(ct+d)+1函數(shù)模擬產(chǎn) 生，通過改變常數(shù)a、b、c、d的值可以模擬不同程度的故障擾動后電壓下跌并恢復(fù)的過程。由AM模型可以得到故障期間的電壓值及有功、無功響應(yīng)。

為了探討CFI算法對數(shù)據(jù)中的UBB干擾的魯棒性，分別對AM數(shù)據(jù)加入干擾幅度為1%、5%、8%和10%的隨機(jī)干擾，用加入有界干擾的數(shù)據(jù)模擬實測負(fù)荷數(shù)據(jù)。定義方均根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）[25]

式中，N為采樣數(shù)；yAMi為AM模型的第i個采樣點數(shù)據(jù)；yCFIi為CFI算法模型第i個輸出數(shù)據(jù)。其中CFI建模過程中使用的是加入有界隨機(jī)干擾的數(shù)據(jù)。當(dāng)RMSE接近0說明算法模型的輸出與真實模型輸出擬合程度高，反之RMSE越大說明擬合程度越低。

圖2為UBB 干擾幅度為5%時CFI 建模算法有功及無功輸出。從圖2可以看出，數(shù)據(jù)中有干擾時，本文的模型輸出響應(yīng)曲線較光滑，不隨誤差界范圍內(nèi)上下擾動的數(shù)據(jù)波動，且對超出誤差界范圍的大幅變化的故障動態(tài)過程擬合程度高。

圖2 UBB 干擾幅度為5%時CFI 算法和AM 算法輸出Fig.2 Output of CFI and AM with 5% UBB noise

表1 為不同幅度UBB 干擾下，CFI 建模算法根據(jù)干擾數(shù)據(jù)所建模型輸出與AM 無干擾真實模型輸出的方均根誤差值統(tǒng)計情況，同一干擾幅度進(jìn)行20次仿真計算方均根誤差值，表中為20 次方均根誤差的平均值。由表中統(tǒng)計可知，當(dāng)數(shù)據(jù)中有隨機(jī)干擾時，本建模方法模型輸出的方均根誤差值較小，擬合度較高；干擾幅度增加，方均根誤差均值增加，但當(dāng)隨機(jī)干擾幅度達(dá)到10%時，方均根誤差均值仍能維持在3%以內(nèi)，說明該CFI 建模方法的模型擬合準(zhǔn)確度較高。

表1 不同幅度UBB 干擾下模型輸出的方均根誤差均值Tab.1 Mean of RMSE under different UBB noise

4.2 CFI 算法對噪聲界的魯棒性

負(fù)荷實測數(shù)據(jù)包含了測量設(shè)備準(zhǔn)確度造成的誤差和負(fù)荷的隨機(jī)投切引起的波動，由于這些干擾精確的誤差界值是未知的，即 CFI 算法中設(shè)定的UBB 誤差界ε值可能大于或小于實際的干擾誤差幅度。本文就CFI 算法中誤差界值ε大小與實際干擾誤差幅度的不同大小關(guān)系進(jìn)行了仿真分析。

表2 中，用AM 輸出疊加幅度為5%的隨機(jī)干擾模擬實際負(fù)荷的非構(gòu)造性誤差，分別對CFI 算法中誤差界參數(shù)ε取不同值仿真計算。從表2 可知，當(dāng)CFI 算法所取誤差界ε值與實際干擾幅度相差不大時，本文建模算法的模型輸出方均根誤差值小，模型擬合度高；圖3是表2 中的不同誤差界設(shè)定值下仿真的輸出曲線，可以直觀地看出輸出曲線差異較小。由此可知，即使對于測量數(shù)據(jù)中誤差界的估計值不準(zhǔn)確，本建模方法的模型也能較好擬合負(fù)荷的動態(tài)輸出。

圖3 不同誤差界ε時CFI 算法和AM 算法輸出Fig.3 Output of CFI and AM with difference error boundaryε

表2 不同ε值時CFI 算法模型輸出方均根誤差Tab.2 RMSE of CFI with different error boundaryε

4.3 隨機(jī)干擾對CFI 與LMS 輸出的影響比較

最小二乘法（Least Square Method，LSM）是應(yīng)用廣泛的辨識方法。對輸入-輸出系統(tǒng)，令u(kT)及y(kT)分別為系統(tǒng)的輸入及輸出采樣值，簡記為u(k)和y(k)，T為采樣周期，則該系統(tǒng)可用差分方程描述為

式中，aj、bj為待辨識的常系數(shù)；m、n為系統(tǒng)階次。辨識準(zhǔn)則為系統(tǒng)輸出與測量值的方差最小。最小二乘法的差分方程模型與傳遞函數(shù)模型在本質(zhì)上是相同的，其對應(yīng)的傳遞函數(shù)形式為

式中，aj、bj與差分方程中相同。因此選擇LSM法與本文的方法比較，LSM的具體辨識方法見文獻(xiàn)[26]。辨識使用相同的AM數(shù)據(jù)，加入不同幅度的UBB干擾，計算LMS及CFI兩種不同方法的方均根誤差，研究干擾對算法輸出擬合的影響。

由表3中的數(shù)據(jù)可知，CFI模型輸出的方均根誤差與LSM算法相比小，即模型的輸出擬合較好。隨著隨機(jī)干擾幅度的增加，最小二乘法的方均根誤差值增大。這是因為只有當(dāng)數(shù)據(jù)中的干擾為白色噪聲時，LSM辨識方法的無偏性、有效性和一致性等優(yōu)良性質(zhì)才能得到保證，而有限的負(fù)荷數(shù)據(jù)中隨機(jī)干擾難以滿足高斯白噪聲的統(tǒng)計規(guī)律。所以使用含有隨機(jī)噪聲的實測數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識時，LSM算法的輸出誤差受噪聲影響明顯。本文的CFI方法對干擾的假設(shè)僅為有界的，當(dāng)擾動幅度在誤差界內(nèi)時被視為噪聲。從表3的數(shù)據(jù)可知，本文算法對噪聲的干擾有較強(qiáng)的魯棒性。這說明在有限的數(shù)據(jù)下辨識時，本文對噪聲的有界假設(shè)更符合實際也能夠減少隨機(jī)干擾對建模的影響。

表3 不同幅度UBB 干擾CFI 和LSM 方法的 方均根誤差Tab.3 RMSE comparison of CFI and LSM

4.4 負(fù)荷構(gòu)成變化對模型的影響

電力負(fù)荷中各類用電設(shè)備的比例、容量大小等受時間、天氣、運行方式等多種因素的影響。這些因素對負(fù)荷模型的影響主要體現(xiàn)在靜態(tài)ZIP 負(fù)荷各部分構(gòu)成比例的變化和動態(tài)感應(yīng)電動機(jī)負(fù)荷所占比例的變化[27,28]。

為研究本文建模方法在考慮負(fù)荷時變性時的性能，本文考慮了不同靜態(tài)ZIP負(fù)荷構(gòu)成比例kz、ki、kp下CFI所建模型的差異及動態(tài)感應(yīng)電動機(jī)負(fù)荷比例k_m改變時模型的變化。定義模型參數(shù)變化幅度，其中ia、ib分別是負(fù)荷構(gòu)成變化前傳遞函數(shù)模型分母和分子的系數(shù)，具體見式（17），ia′、ib′分別是負(fù)荷構(gòu)成變化后傳遞函數(shù)模型分母和分子的系數(shù)，maxαΔ、maxβΔ 表示系數(shù)變化的最大值。

修改精確模型中相應(yīng)的參數(shù)，可得到負(fù)荷構(gòu)成改變后的數(shù)據(jù)，以變化后的負(fù)荷數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，模型參數(shù)變化的情況見表4，參數(shù)的變化是與靜態(tài)ZIP負(fù)荷占40%（其中恒阻抗負(fù)荷比例kz=30%，恒電流負(fù)荷比例ki=30%，恒功率負(fù)荷比例kp=40%），動態(tài)感應(yīng)電動機(jī)負(fù)荷占60%時的模型參數(shù)比較。保持靜態(tài)ZIP負(fù)荷比例不變，改變靜態(tài)動態(tài)負(fù)荷比例值k_m，當(dāng)比例值變化為10%時，模型參數(shù)變化的最大值為0.019 9；靜態(tài)負(fù)荷構(gòu)成改變時，假設(shè)靜動態(tài)負(fù)荷比例k_m不變，保持一種靜態(tài)負(fù)荷比例不變，其他兩種負(fù)荷比例改變，從表中可以看出，當(dāng)靜態(tài)負(fù)荷構(gòu)成比例改變?yōu)?0%時，模型參數(shù)變化值最大為0.007 8。從參數(shù)的改變幅度可以看出，靜態(tài)負(fù)荷成分變化對模型參數(shù)的影響較小，動態(tài)感應(yīng)電動機(jī)負(fù)荷比例對模型的參數(shù)影響較大，但當(dāng)負(fù)荷時變性等因素造成的負(fù)荷構(gòu)成成分變化在5%內(nèi)時，可以看出負(fù)荷變化對模型參數(shù)的影響可以忽略，這是因為本文的建模算法已經(jīng)考慮負(fù)荷的隨機(jī)干擾。當(dāng)負(fù)荷比例變化達(dá)10%時，模型參數(shù)有變化，但本文CFI 建模方法得到的模型仍然能夠較準(zhǔn)確地描述負(fù)荷的動態(tài)響應(yīng)。

表4 負(fù)荷構(gòu)成變化對模型參數(shù)的影響Tab.4 Effect on model parameters withdifferent load composition

4.5 電力系統(tǒng)實測數(shù)據(jù)的負(fù)荷建模

為進(jìn)一步檢驗本文提出的CFI 辨識算法的實用性能，取某電網(wǎng)220kV 變電站大擾動實測的數(shù)據(jù)，經(jīng)標(biāo)幺化處理后用本文的方法進(jìn)行負(fù)荷建模。考慮同步相量測量裝置的測量準(zhǔn)確度為0.5%[29,30]，正常運行時負(fù)荷的隨機(jī)投切在短期內(nèi)造成的有功及無功的波動幅度約為5%。CFI 方法對實測數(shù)據(jù)進(jìn)行建模時的誤差界取ε=5%。

模型有功及無功輸出如圖4和圖5所示，可以看到本建模方法能較好地擬合實際負(fù)荷的動態(tài)響應(yīng)。

圖4 實測及CFI 算法有功輸出Fig.4 CFI and measured active power output

圖5 實測及CFI 算法無功輸出Fig.5 CFI and measured reactive power output

5 結(jié)論

針對電力負(fù)荷實測數(shù)據(jù)中存在隨機(jī)小擾動及噪聲的問題，考慮到實測數(shù)據(jù)量有限的情況，假設(shè)擾動及噪聲是未知分布但有界的噪聲。本文提出了考慮噪聲誤差界的CFI 插值算法。將模型和測量數(shù)據(jù)相容性問題用LMI 求解，得到在最不利情況下的解并據(jù)此構(gòu)造負(fù)荷的高階傳遞函數(shù)模型，當(dāng)噪聲幅度在誤差界范圍內(nèi)，該模型能描述負(fù)荷的動態(tài)響應(yīng)。仿真結(jié)果表明，實測負(fù)荷數(shù)據(jù)存在有界隨機(jī)擾動時，CFI 算法對誤差界估計值ε的準(zhǔn)確性要求不高，算法的估計值在實際誤差界值上下浮動時，該算法模型輸出仍能較好擬合輸出；和LSM 方法相比，CFI算法的輸出方均根誤差明顯優(yōu)于LSM 法，與噪聲分布函數(shù)無關(guān)；當(dāng)負(fù)荷構(gòu)成比例在一定范圍內(nèi)發(fā)生改變，原建模模型仍能較準(zhǔn)確地描述負(fù)荷的動態(tài)響應(yīng)；采用變電站實測的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模的結(jié)果表明本算法具有實用性。

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