電力系統低頻振蕩監測的Duffing振子可停振動系統法

趙 妍 李志民 李天云

（1.哈爾濱工業大學電氣工程及自動化學院 哈爾濱 150001 2.東北電力大學輸變電技術學院 吉林 132012）

0 引言

我國互聯電網規模和范圍的成倍增長以及特高壓電網的發展，提高了電網運行的可靠性和經濟性的同時，也帶來了新的安全隱患。近年來多次發生的低頻振蕩嚴重危及了電網的安全穩定運行，引起了工業界和學術界的廣泛關注。目前研究的熱點主要集中在低頻振蕩辨識、低頻振蕩產生的機理和抑制低頻振蕩三個方面[1-6]。值得注意的是，這三類問題的研究前提是需要監測是否發生了持續、穩定的低頻振蕩。這是因為，實測低頻振蕩信號往往表現為一個典型的非線性、非平穩隨機過程，即信號的統計性的時變特性（包括時域和頻域統計特性），而在動態電力系統分析中往往同時存在多個非線性振蕩模式，各振蕩模式間存在著或強或弱的非線性相互作用，衍生出新的振蕩模式，具有一定的不確定性和不穩定性，使低頻振蕩的處理更加復雜。低頻振蕩信號時域的主要特點為振蕩模式出現的時間不確定、持續的時間不確定以及振幅帶有阻尼特性且隨時間變化。因此，在進行低頻振蕩的參數辨識時，應確定是否發生了持續、穩定的低頻振蕩。電力系統在故障或異常運行時，可能隨機出現短暫的“低頻振蕩”，這類振蕩模式存在時間短、可以自動平息，是無需處理的“瞬變的低頻振蕩模式”。然而，現在認可度較高的電力系統振蕩分析方法都是以發生了低頻振蕩為假設前提的，并不進行此判別，可能會將瞬變的低頻振蕩模式誤判為穩定的低頻振蕩信號，缺乏真實性。

另外，當電網發生低頻振蕩時，正確判斷振蕩模式和模式的阻尼特性，對合理選擇振蕩抑制措施、快速抑制振蕩具有重要意義。低頻振蕩產生的機理包括負阻尼理論、強迫功率振蕩理論和非線性理論等。負阻尼理論認為，電力系統負阻尼低頻振蕩是系統受擾動后的自由振蕩，振蕩衰減與否由系統的阻尼特性決定，若系統不存在負阻尼，則不會發生增幅低頻振蕩[7,8]。強迫振蕩理論指出，持續的周期性小擾動會引起電力系統強迫振蕩，當擾動頻率接近于系統固有頻率時，會導致系統出現大幅度的功率振蕩，這種振蕩的表現形式類似于負阻尼低頻振 蕩[8,9]。雖然負阻尼振蕩和強迫功率振蕩具有非常相似的表現形式，但是由于具有不同的發生機理，采用的抑制措施也不相同。在調度運行中，對于負阻尼機理引起的振蕩主要采用各種增強系統阻尼的措施，抑制強迫功率振蕩的最直接有效的方法就是迅速找到并切除擾動源。因此，在振蕩發生時能夠根據振蕩特征迅速判斷振蕩模式，對于快速抑制振蕩、防止振蕩擴散具有重要意義。文獻[10]結合負阻尼振蕩和強迫功率振蕩不同振蕩階段的振蕩波形特征和振蕩模式分布統計特征，對電力系統低頻振蕩性質進行了分析和判斷，但是難以滿足實時監測的需求。

為了解決上述問題，本文將可停振動系統理論應用于電力系統低頻振蕩監測與分析中，提出了低頻振蕩監測的Duffing 振子的可停振動系統分析方法。Duffing 振子的可停振動系統在受到微小隨機擾動時以概率1 漸近穩定，其對應的狀態稱為可停振動狀態。該系統輸入恒定幅值周期信號時，系統有周期解或擬周期解為不可停狀態。這類系統對周期信號敏感,對隨機微小擾動不敏感,利用可停振動狀態的改變，可以進行周期未知微弱信號檢測[11]。

本文將量測信號輸入到Duffing 振子的可停振動系統中進行分析，根據可停振動系統相軌跡的狀態改變，可以跟蹤系統運行方式的變化，對電力系統低頻振蕩的全過程進行可視化的監測。為調度員提供可視化圖像，來判斷是否發生了低頻振蕩、振蕩模式和模式的阻尼特性。為快速準確地告警、合理地選擇振蕩抑制措施和快速抑制振蕩提供依據。

1 Duffing 振子的可停振動系統

1.1 可停振動系統檢測理論

定義 設隨機微分方程

式中，X/F為二維矢量隨機過程；q為微分方程的階數，q∈ R；ξ(t)為系統輸入的隨機擾動；e為隨 機擾動幅度；η0是其平凡解（F(η0,t)=0）。

②當系統（1）的輸入為周期信號時，系統有周期或者是擬周期解。文獻[11]中將其對應的狀態稱為可停狀態，由定義可知：可停振動系統的可停振動狀態變化對噪聲不敏感，對周期信號敏感，因此通過系統的相平面軌跡可以在預先未知信號周期的情況下判斷系統輸入是否含有未知的周期信號。

1.2 Duffing 振子的可停振動系統

考慮Holmes 型Duffing 振子

式中，i(t)為系統輸入；k為阻尼系數。

將式（2）改寫成一階微分方程組的形式，并令系統輸入為Guass 白噪聲

設k、e都為ε階無窮小量[12,13]，則式（3）所示系統的Hamilton函數為

其中B(t)是標準的Winner 過程

因此，在式（3）的平衡點（±1,0），方程（5）的Lyapunov 指數為

當k＞0時，Duffing 振子（見式（2））滿足定義中的條件①[12]。又當k＞0時，系統輸入為恒定幅值的周期信號時，Duffing 振子是耗散系統[13]。所以，當k＞0時，Duffing 振子是可停振動系統，因此可以利用Duffing 振子可停系統對未知周期、未知形式的微弱周期信號進行檢測。

2 電力系統端部輸出信號分析

電力系統端部輸出信號即為模型（2）的i(t)，i(t)為Holmes 型Duffing 振子的激勵，將i(t)輸入到可停振動系統中進行相軌跡分析。i(t)的類型主要有恒定幅值的周期信號、白噪聲信號、帶噪的恒幅周期信號、衰減振蕩信號、發散振蕩信號及復合仿真信號。

2.1 第一類測試信號——周期、白噪聲和帶噪的周期信號

i(t)為恒定幅值的周期信號（0.1 cost）、白噪聲為噪聲強度）和帶白噪聲的周期信號（信噪比為3.01dB、?9.03dB），相軌跡如圖1～圖3所示，阻尼系數k=0.5。

圖1 i(t)為白噪聲的相軌跡Fig.1 Phase trajectory of input white noise signal

圖2 i(t)為周期信號的相軌跡Fig.2 Phase trajectory of input periodic signal

圖3 i(t)為帶噪周期信號的相軌跡Fig.3 Phase trajectory of input periodic signal with white noise

當i(t)中僅含有白噪聲時，相軌跡聚焦為一點，系統處于可停振動狀態；當i(t)中含有恒定幅值周期信號時，相軌跡為封閉圓環，表明系統立即從可停振動狀態變化為小尺度周期狀態。增加或者減小周期分量的幅值，幅值不同，相軌跡的封閉圓環數量也不同，但均為小尺度周期狀態。注意小周期狀態時，輸入周期分量的幅值不應超過0.36。

比較圖2和圖3，只要i(t)中含有周期信號不論是否含有噪聲，噪聲強弱都為小尺度周期狀態。噪聲附加在封閉環上，以周期信號作為骨架，含噪后信號相圖的拓撲結構不變。根據文獻[11]噪聲為Gauss 白噪聲時，檢測門限可達到?66dB，達到了極低的檢測門限，該方法對噪聲具有免疫性。

綜上，可停振動狀態的改變對周期策動力敏感，對零均值隨機微小擾動不敏感。這就從仿真上也驗證了系統（2）是可停振動狀態系統，可以用于未知周期信號的檢測。

2.2 第二類測試信號——衰減、發散振蕩信號

i(t)為衰減振蕩信號0.1e?0.1tcost、發散振蕩信號0.1e0.1tcost，初值均為（1，0），相軌跡如圖4和圖5所示。

由圖4和圖5可知，i(t)為衰減振蕩信號時，圖形以初值螺旋收縮，將從減幅的小周期狀態過渡到可停狀態；i(t)為發散振蕩信號時，圖形以初值螺旋 發散，從增幅的小周期狀態進入多周期狀態。

圖4 i(t)為衰減振蕩信號的相軌跡Fig.4 Phase trajectory of input damped oscillation signal

圖5 i(t)為發散振蕩信號的相軌跡Fig.5 Phase trajectory of input divergent oscillation signal

2.3 第三類測試信號——復合信號

2.3.1 復合測試信號1

構造一個含有噪聲的復合測試信號模擬弱阻尼振蕩，如圖6所示。其表達式為

式中，λ(t)為白噪聲，此信號包含了一個區域間振蕩頻率和一個區域內振蕩頻率，信噪比為9.17dB。為了使信號處于小尺度周期狀態，將信號歸一后乘以0.1 的系數，輸入到可停振動系統中，改變仿真時間連續觀察其相軌跡，其相軌跡如圖7所示。此相軌跡以初值螺旋收縮，噪聲附加在螺旋上，由小周期狀態過渡到可停狀態。可以判斷信號中包含有衰減振蕩信號，為弱阻尼振蕩模式，噪聲不影響相軌跡的拓撲結構。仿真時間為20s時，形成具有明顯特征的軌跡圖，通過對相軌跡的實時監測可以對低頻振蕩的過程進行可視化的監測，滿足實時監測的快速性要求。

圖6 含噪聲的復合測試信號1Fig.6 The input composite test signal 1 with white noise

圖7 含噪聲的復合測試信號1 的相軌跡Fig.7 Phase trajectory of the input composite test signal 1

2.3.2 復合測試信號2

在文獻[8]中指出，強迫功率振蕩的特點是振蕩波形瞬態階段出現了明顯的拍頻，進入穩態階段后其振蕩幅值較為穩定，為等幅振蕩的穩態振蕩階段。根據文獻[8]構造另一個含有噪聲的復合測試信號模擬強迫功率振蕩；即

圖8 含噪聲的復合測試信號2Fig.8 The input composite test signal 2 with white noise

將該信號歸一后乘以0.1 的系數輸入到可停振動系統中，改變仿真時間連續地觀察其相軌跡，信噪比為23.02dB，相軌跡如圖9所示。

該相軌跡以初值螺旋收縮為封閉圓環（極限環），噪聲附加在軌跡上，最終為小周期狀態?？梢耘袛嘈盘栔邪兴p振蕩信號和不衰減的振蕩信號。仿真時間為25s時，形成具有明顯特征的軌跡圖。

圖9 復合測試信號2 的相軌跡Fig.9 Phase trajectory of the input composite test signal 2

2.3.3 復合測試信號3

圖10為Kunder 四機兩區域系統接線圖，具體參數見文獻[14]，基于Matlab 平臺搭建仿真系統。采用白噪聲激勵G1的勵磁模塊參考電壓，作用時間為20s。采集G4的相對功角搖擺曲線，如圖11所示。

圖10 四機兩區域系統接線圖Fig.10 Four machine two area system wiring diagram

圖11 G4相對功角振蕩曲線Fig.11 G4relative power angle oscillation curve

G4的相對功角搖擺曲線歸一后乘以0.1 的系數輸入到可停振動系統中，得到其相軌跡如圖12所示。此相軌跡以初值螺旋發散，從增幅的小周期狀態，進入多周期狀態可以判斷信號中包含有發散振蕩信號。

圖12 G4相對功角振蕩曲線的相軌跡Fig.12 Phase trajectory of G4relative power angle oscillation curve

利用中國電力科學研究院的PSD-SSAP 小干擾穩定分析模塊，進行特征值分析，計算得到的區域間模式模態、其振蕩頻率和阻尼比見表1。表1 證明了該系統對這兩種區域間的阻尼嚴重不足，是負阻尼類型的低頻振蕩。

表1 特征值計算結果Tab.1 The results of eigen values computation

綜上，強迫功率振蕩相軌跡是以初值螺旋收縮為極限環。弱阻尼模式低頻振蕩的相軌跡是以初值螺旋收縮為單個點。本文將這兩種模式定義為“低頻振蕩吸引子”。負阻尼模式低頻振蕩的相軌跡是以初值螺旋發散，由增幅的小周期狀態進入多周期狀態，文中定義為“低頻振蕩排斥子”。因此，將電力系統的實測信號歸一化后，乘以比例系數（＜0.36），輸入到可停系統，根據其輸出信號的相軌跡，是聚焦于一點，還是存在“低頻振蕩吸引子”或“低頻振蕩排斥子”就可以監測是否發生了低頻振蕩，而且可以判斷是何種機理模式的低頻振蕩，并得到該模式的阻尼特性。

3 低頻振蕩監測的步驟

3.1 自動識別算法

圖形變化的特征識別需要人的參與，為了自動給出計算機可識別的定量指標滿足自動監測的要求，本文提出了一種定量的自動識別算法。分別計算相軌跡中各點與其平衡點（1,0）的歐氏距離（Euclidean distance）的期望值及其對數距離，文中簡稱為平衡距dav和對數平衡距dlog（logarithm distance with equilibrium point）。平衡距

對數平衡距

不同強度白噪聲、周期信號及含噪周期信號的相軌跡的對數平衡距如圖13所示。其中，曲線1、2 和3 為白噪聲，噪聲強度分別為和1（D為噪聲強度）。曲線4 為圖2的周期信號。曲線5、6 為圖3信噪比為3.01dB 和?9.03dB 的帶噪周期信號。

圖13 白噪聲、周期信號及含噪周期信號的 對數平衡距Fig.13 dlogof white noise,periodic signal and periodic signal white noise

由圖13可知，白噪聲、周期信號（包括含噪周期信號）的對數平衡距dlog明顯分成兩類。第一類為白噪聲相軌跡圖（曲線1～曲線3），其dlog在?25dB以下波動，即可以判定輸出為可停狀態。第二類為周期信號相軌跡的dlog為?15～10dB 之間的一個穩態值，對應為小尺度周期狀態。對比圖13中曲線4～曲線6 可知，噪聲對周期信號的dlog的影響不大。通過大量的仿真并考慮到一定的裕度，將信號的相軌跡圖的dlog＜?20dB 判定為可停狀態。

圖14 白噪聲、弱阻尼、負阻尼和強迫功率振蕩的 平衡距和對數平衡距Fig.14 davanddlogof white noise,weak damping, negative damping signal and forced oscillation

從圖14中可見，曲線1～曲線4 存在著較明顯的差異，白噪聲相軌跡圖的平衡距dav在0 附近波動，負阻尼低頻振蕩的dav和dlog為先增加后穩定為穩態值。弱阻尼的低頻振蕩和強迫振蕩的dav和dlog都是持續衰減，前者衰減到可停狀態，后者衰減到小尺度周期狀態。

3.2 低頻振蕩監測的步驟

主要包括三部分：

（1）數據預處理。將PMU 采集得到的信號經過低通濾波器，截止頻率為2.5Hz。

（2）自動識別算法。預處理后的信號輸入到Duffing 振子可停振動系統，得到其相軌跡。每間隔一定的時間（2～5s）計算dlog值判斷狀態。

①dlog穩定在一個小的值，且dlog＜?20dB，相軌跡聚焦于一點，處于可停狀態，未發生低頻振蕩。

②dlog持續下降，30s 內衰減到?20dB 以下，或30s 仍舊下降，且dlog＜?15dB。存在“低頻振蕩吸引子”，吸引子是單個點，為弱阻尼低頻振蕩。

③dlog衰減小尺度周期狀態的穩態值基本不變，或30sdlog＞?15dB。吸引子為穩定極限環，為強迫功率振蕩。

④dlog為先增加后穩定為穩態值，存在“低頻振蕩排斥子”，為負阻尼的低頻振蕩。

（3）結合其他方法對振蕩頻率、阻尼比、振型進行識別。

4 仿真及實例分析

4.1 實例一

圖15為南方電網在豐大運行方式下，對系統施加小擾動，用BPA 穩定計算程序得到的貴天線（貴陽變—天生橋II 級）的有功功率時域仿真圖形[15,16]。輸入到可停振動系統中分析，得到其相軌跡和對數平衡距如圖16所示。

圖15 貴天線功率振蕩曲線Fig.15 Power oscillation waveform of Gui-Tian transmission system

圖16 貴天線功率振蕩曲線的相軌跡和對數平衡距Fig.16 Phase trajectory anddlogof power oscillation waveform of Gui-Tian transmission system

圖16以初值螺旋收縮，存在“低頻振蕩吸引子”，吸引子是單個點，其dlog12s 內衰減到?20dB以下，為弱阻尼模式的低頻振蕩。采用隨機子空間的方法進行辨識[17]，得出振蕩模式的振蕩頻率和阻尼比，具體見表2。表2 證明了該系統對這兩種區域間的阻尼不足，是弱阻尼模式的低頻振蕩。

表2 低頻振蕩模態分量參數Tab.2 Parameters of low frequency oscillation model functions

4.2 實例二

采用南方電網作為研究對象。圖17為云南小灣機組存在頻率為 0.496Hz 的周期性機械功率擾動時，小灣機組與廣東大亞灣機組的功角振蕩曲線。

圖17 小灣、大亞灣機組功角振蕩曲線Fig.17 Power-angle oscillation of XW,DYW generators

圖18為大亞灣和小灣功角振蕩曲線輸入到可停振動系統中得到的相軌跡。該相軌跡以初值螺旋收縮為封閉圓環，存在“低頻振蕩吸引子”，吸引子為穩定極限環，dlog15s 衰減到穩態值?10dB，可以判斷為強迫功率振蕩，應該迅速找到并切除擾動源。

圖18 小灣、大亞灣機組功角振蕩曲線的相軌跡Fig.18 Phase trajectory anddlogof power-angle oscillation of XW,DYW generators

5 結論

本文將Duffing 可停系統理論應用于電力系統低頻振蕩的監測中。該方法的核心思路是將端口上的量測信號輸入到可停系統中，根據輸出的相軌跡是聚焦為一點還是存在低頻振蕩吸引子或排斥子來判斷是否發生低頻振蕩，是何種機理模式、阻尼特性的低頻振蕩。與其他方法（prony、HHT 和原子稀疏分解等）相比，該方法是一種可視化的圖像分析方法。具有實時和可視化的優點，且對噪聲具有免疫力，為后期低頻振蕩參數定量識別，提供預判的依據。

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