數(shù)學中的“事做的正確和正確地做事”

胡天寶

一、問題產(chǎn)生

日前筆者教學中，遇到如下問題：

過雙曲線x2-■=1的右焦點F2作直線l交雙曲線于A， B兩點，若|AB|=4，則這樣的直線l有_______條。

學生的答案五花八門，有一條的、兩條的、三條的，問了幾個回答正確的學生，都認為通徑算一條，然后“斜的”還有兩條。答案雖然正確，但過程有點憑感覺。說得通俗一點就是學生“把題目寫對了，但沒有準確地把題目做對”，這與我們學習數(shù)學追求嚴謹性相悖，因此，與必要在此進行研究。學生出現(xiàn)此問題，究其原因，還是對雙曲線通徑的理解上存在問題。

二、問題探究

為了解決此問題，我在此題的教學時，首先回顧了雙曲線的焦半徑公式：

雙曲線上任意一點到其焦點的距離稱為該點的焦半徑。

已知點P（x0，y0）在雙曲線■-■= 1（a>0，b>0）上，F(xiàn)1， F2分別為雙曲線的左、右焦點。若點P在右半支上，則 PF1 =ex0+a，PF2=ex0-a；若點P在左半支上，則PF1=-ex0+a，PF2=-ex0-a。

設(shè)右支通徑為AB，則AB=2■。

可以證明通徑是直線與右支有兩個交點的弦長中最短的弦。設(shè)過右焦點的直線與右支交點分別為P1（x1，y1），P2（x2，y2），則弦長P1P2=P1F2+P2F2=ex1-a+ex2-a=e（x1+x2）-2a≥e·2c-2a=2■，當且僅當F2為P1，P2中點時取等號。

對于開頭的問題，我們可以這樣說明：雙曲線的兩個頂點之間的距離是2，小于4，過拋物線的焦點一定有兩條直線，使得交點之間的距離等于4，而當直線與實軸垂直時，此時即為通徑長，也是等于4的線段，綜上可知有三條直線滿足|AB|=4。

當然，解決此問題也可以從交點弦的角度進行研究：

設(shè)雙曲線■-■= 1（a>0，b>0），其中兩焦點坐標為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），過F1的直線的傾斜角為α，交雙曲線于A、B兩點，求弦長|AB|。

（如圖）當直線與雙曲線的兩個交點A、B都在雙曲線同一支上時，連接F2A，F(xiàn)2B，設(shè)|F1A|=x，|F1B|=y，由雙曲線定義可得|F2A|=2a+x，|F2B|=2a+y，由余弦定理可得x2+（2c）2-2x·2c·cosα=（2a+x）2整理可得x=■，同理y=■，則可求得弦長|AB|=x+y=■+■=■。

由公式可知，當α=90°時，弦長|AB|最短。因此，開頭的問題中，若A、B兩點都在右支上，則等于4的弦只有一條，另外兩條的說明同前。

課程改革對當前的教育教學提出了更新更高的要求，新課程標準也向每一位教師提出了前所未有的挑戰(zhàn)。作為一名一線教師，在追求數(shù)學教育的核心目標上要不斷努力，做好學習者的角色。

《普通高中數(shù)學課程標準》中“以人為本”的理念決定著數(shù)學教學的目標指向：適應(yīng)并促進人的發(fā)展。這就要求數(shù)學教師必須以學習者的角色去讀懂學生。只有了解學生的知識水平、優(yōu)勢與不足、學習的最佳方式以及學生之所需，教師才能教好學生，才能找到有效的教學方式。教師要摸清學生數(shù)學學習過程中的心理機制、認知特點，以學習者的角色去體驗數(shù)學學習，從學習者的立場來發(fā)現(xiàn)問題、反思問題，進而引發(fā)學生“學會向數(shù)學知識提問”“學會向數(shù)學問題解決提問”（即問題解決后的反思），引導學生不僅“把事做的正確”，更要引導學生“正確地做好事”。只有這樣，教師才能找到最佳的教學方案，從而達到事半功倍的教學效果，真正達到有效教學的目標，同時提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

？誗編輯 李 姣