高三復習課“函數的對稱性”的教學設計與反思

張征

高三復習課不僅要復習舊知識，還要提升學生的認知水平和能力。本節課重在引導學生對知識自主歸納、總結和探究，提升學生數學思維能力和對數學本質的理解。下面從教學內容、學情分析、教學過程、教學反思幾個方面進行說明。

一、教學內容

函數的奇偶性、周期性和對稱性是函數的重要性質，是研究函數的重要工具，也是高考熱點。本節課是在復習了奇偶性、單調性、周期性及基本初等函數后的一節內容，也是函數性質的綜合應用。

二、學情分析

學生對函數對稱性有了基本了解，但缺乏深入的研究，抽象思維能力弱，對問題隱含的“對稱性”不能正確理解、區分、運用，原因是不能將符號化的語言向描述性語言或圖形語言轉化。基于以上分析制訂了本節課的重點和難點。

重點：函數對稱性等性質綜合應用和符號化語言的轉化。

難點：掌握描述性的語言和符號語言之間的轉化。

三、教學過程

1.師生共同探究

例.函數f（x）=x2+bx+c對于任意t∈R均有f（1+t）=f（1-t），則f（1），f（2），f（4）大小關系是 。

（1）設計意圖

從學生熟悉的二次函數對稱引導其關注自變量，掌握符號化語言和描述性語言之間的轉化，正確理解f（1+t）=f（1-t），從“關注函數自變量具有什么關系時函數值才能相等”的代數角度分析對稱。

（2）問題啟發

①現在的問題是什么？

②一般的，如何比較幾個數的大小？

③這幾個數是二次函數的函數值，如何比較大小？

④如何判斷二次函數的單調性？

⑤如何理解f（1+t）=f（1-t）這個數學表達式？它反映了函數的什么性質？

（3）反思

學生一般先畫圖，教師可追問上面的問題，幫助學生轉化符號語言：在x軸上，自變量所取的兩個值在軸上所對應的點是以1為中點，其對應的函數值相等。對任意t∈R均有f（1+t）=f（1-t），圖象又有什么特征？顯然圖象關于x=1對稱。故函數在（1，+∞）上單調遞增，則f（1）

由上例可知：若函數f（x）滿足f（1+x）=f（1-x）， 則圖象關于直線對稱。教師可繼續啟發并由學生自主探究。

追問1：若函數數f（x）滿足f（2-x）=f（x），圖象有什么特點？你是怎樣發現的？

追問2：你能寫出“函數f（x）關于直線x=a對稱”的數學表達式嗎？

結論1：f（x）圖象關于x=a對稱的充要條件是f（a+x）=f（a-x），即f（2a-x）=f（x）。

2.小組合作，自主探究

【探究一】

例1.若函數f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），圖象有什么特征？你是怎樣發現的？

（1）設計意圖

引導學生分析自變量，得到函數圖象中心對稱，培養其觀察探究能力與合作精神。充分思考并對比結論1符號化語言的意義，探究自己的結論。

（2）問題啟發

在x軸上，自變量所取兩個值所對應的點還是以1為中點，且其對應的函數值相等嗎？如果不是，哪些地方變了？（在x軸上，自變量所取兩個值所對應的點以1為中點，函數值互為相反數，故關于點對稱）。

結論2：函數f（x）圖象關于點（a，0）對稱的充要條件是f（a+x）+f（a-x）=0，即f（x）+f（2a-x）=0

追問：你還能說出函數f（x）的圖象關于點（a，b）對稱的充要條件嗎？[f（x）=f（2a-x）=2b]

（3）反思： 學生類比引例，得出關于點對稱的充要條件，教師可指導學生多表達。

【探究二】

例2.在R上定義的函數f（x）是偶函數，且f（x）=f（2-x），若f（x）在區間[1，2]上是減函數，則f（x）（ ）

A.在區間[-2，-1]上是增函數，在區間[3，4]上是增函數

B.在區間[-2，-1]上是增函數，在區間[3，4]上是減函數

C.在區間[-2，-1]上是減函數，在區間[3，4]上是增函數

D.在區間[-2，-1]上是減函數，在區間[3，4]上是減函數

（1）設計意圖

鞏固對稱性的符號表達，引導學生探究兩次軸對稱可得到周期性。

（2）問題啟發

①現在的問題是什么？

②一般的，如何判斷函數的單調性？

③這個函數沒有給解析式，怎樣判斷它在某區間上的單調性？

④畫出示意圖，還能得出什么結論？為什么會產生周期？

⑤你能說出一個一般性結論嗎？

結論3：若函數y=f（x）圖象同時關于直線x=a和直線x=b成軸對稱 （a≠b），則y=f（x）是周期函數，且2a-b是其一個周期。

（3）反思

教師搭建問題臺階，引導學生數形結合，發現周期性和對稱性的關系。

【探究三】

例3.設y=f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x+2）=f（x），當0≤x≤1時，f（x）=x，則f（7.5）= （ ）

A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

（1）設計意圖

引導學生對已知一段解析式的函數性質進行探究。發現具有周期性的奇函數也具有對稱性。

（2）問題啟發

①現在的問題是：已知自變量的取值求函數值。

②一般的，如何求函數值？

③這個函數的解析式是已知的嗎？

④只知道函數在一段區間的解析式，怎么求其他區間上的函數值呢？

（3）反思

高考常考查分段函數的周期性和對稱性，學生利用周期性和奇函數易得結果，但畫圖得知函數有周期且為奇函數，故得知又有對稱性。

3.歸納小結

師生共同總結，追問“我們為什么要學習奇函數和偶函數？”目的是研究函數對稱性的本質，關注函數自變量間的關系，注意符號化語言的理解和轉化，提升學生對函數本質的理解。

總之，本節課學生通過師生共同探究、自主探究、總結函數的性質，對函數的對稱性達到更深層次的理解，進一步掌握符號化的數學語言和描述性的數學語言之間的轉化，并能用函數的思維解決函數的問題。

？誗編輯 李 姣