一個數學結論的拓展及其應用

楊曉俊

在中學數學教學中經常見到這樣一個性質：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高。關于此性質的證明有如下兩種方法：

方法1：如（圖1）利用面積，連結AP，兩個三角形面積之和等于大三角形面積可得。

方法2：如（圖2）截長，作PG垂直CD于G，易證PE=DG，后證三角形CPG與三角形CPF全等，可得CG=PF，即得。

該性質是教學中經常遇見的命題，但是對該命題進行研究，發現該性質可以作如下拓展：等邊三角形內（含邊）任意一點到三邊距離之和等于等邊三角形的高。

對于這個拓展命題的證明，我們可以仿照原命題的證明方法進行，這里從略，下面主要列舉原命題和拓展命題在數學競賽題上的應用。

例1.如（圖3），在矩形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，AB=3，AD=4，P是AD邊上的一個動點，且PE⊥AC于E點，PF⊥BD于F點，則PE+PF=

解：作AG⊥BD于G點.在Rt△ABD中，BD=5.

∵△ABD是直角三角形，且AG是斜邊BD上的高，

∴S△ABD=AB·AD=BD·AG，AG=2.4.

由四邊形ABCD為矩形，可知OA=OD，即△OAD為等腰三角形.

∵P是底邊AD上的任意一點，且PE⊥AC于E點，PF⊥BD于F點，根據原命題有PE+PF=AG.即PE+PF=AG=2.4

例2.如（圖4），已知等邊三角形ABC內有一點N，ND⊥BC，NE⊥AB，NF⊥AC，D，E，F都是垂足，M是三角形ABC中異于N的另一點，若P1=ND+NE+NF，P2=MD+ME+MF，那么P1與P2的大小關系是

解：設△ABC高為h，過M點分別作BC、AB、AC的垂線，垂足分別是D′、E′、F′

∵N是等邊三角形內一點，NE⊥AB，ND⊥BC，NF⊥AC，

根據拓展命題有NE+ND+NF=h=P1，同理MD′+ME′+MF′=h

又∵MD′≤MD，ME′≤ME，MF′≤MF（三個等號中最多有一個成立）

∴P1=NE+ND+NF=MD′+ME′+MF′

∴P1

例3.如（圖5），等邊三角形ABC內有一點P，過點P向三邊作垂線，垂足分別是S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，求△ABC的 面積。

解：設等邊三角形邊長為a，高為h，

則根據拓展命題有h=6+8+10=24

a2=（）2+24×24 a=16

∴S△ABC=×16×24=192

例4.如（圖6），設P是等邊三角形ABC內任意一點，從點P作三邊的垂線PD、PE、PF，點D、E、F是垂足，則=

（A） （B） （C） （D）

解：設等邊三角形邊長為a，高為h，

a2=（）2+h2 a=h

根據拓展命題有=×=.

例5.如（圖7），在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=AD=CD=2，E是BC上任意一點，EM⊥BD，EC⊥AC于N，求EM+EN的值

解：在等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=2，∠ABC=60°，

則容易得BC=4，∠BDC=90°，

OB=OC，從而根據原命題有EM+EN=CD=2

學習數學，不能只記憶書本上的幾條定理，應該將例題、習題中反映的性質做深入研究，爭取做到融會貫通，舉一反三，這種學習方法對于提高學生解題能力會有很大幫助。

參考文獻：

朱克祥.初等幾何研究[M].高等教育出版社，2103-01-01.

？誗編輯 王團蘭