基于等效變預載法的靜電加速度計閉環零點調節

劉 爽，劉云峰，韓豐田，徐 哲，董景新

（清華大學 精密儀器系 高精度慣性儀表及系統技術教育部重點實驗室，北京 100084）

基于等效變預載法的靜電加速度計閉環零點調節

劉 爽，劉云峰，韓豐田，徐 哲，董景新

（清華大學 精密儀器系 高精度慣性儀表及系統技術教育部重點實驗室，北京 100084）

閉環零點位置對差動電容式靜電加速度計性能具有重要影響，閉環零點偏離機械零點會增大標度因子非線性。為精確調節閉環零點，提出了一種等效變預載閉環零點調節方法，能夠在預載和反饋電壓不對稱情況下實現閉環零點位置的精確辨識和調節。利用靜電加速度計原理樣機測試了閉環零點調節前后的系統非線性特性，實驗結果表明采用上述方法進行閉環零點調節后，表征標度因子非線性的二次項系數由-1.7×10-7降低為-3.3×10-8,驗證了上述方法的有效性。

非線性；變預載；閉環零點位置；靜電加速度計

空間應用的高精度的靜電加速度計依靠可控的靜電力將敏感質量懸浮起來，具有分辨率高、量程小、頻帶窄等特點，適合測量緩變的微弱加速度，其分辨率可達10-7～10-14g/Hz1/2（0.1 mHz～0.1 Hz），可應用在衛星精密定軌、重力場測量及等效原理驗證等空間應用領域[1-3]。

靜電加速度計具有極高分辨率，因此要求其具有極低標度因子非線性。閉環工作時，電容式靜電加速度計閉環零點位置偏離機械零點（電極框幾何中心）是造成標度因子非線性的主要因素[4-5]，使敏感質量工作在機械零點可以降低標度因子非線性。此外閉環零點位置還會影響標度因數和零偏，因此有必要對靜電加速度計閉環零點位置進行精確測量和調節。

一般電容式靜電加速度計可采用翻滾法[6-7]和變預載法調整閉環零點位置[4]。靜電加速度計水平方向量程遠小于1g，不適用翻滾法。范[4]等提出的變預載閉環零點調節方法在MEMS電容式靜電加速度計上得到了很好的應用，但直接應用在高精度的靜電加速度計上存在很大誤差，原因是該方法未考慮預載和反饋電壓不對稱情況帶來誤差。敏感質量與極板標稱間隙為60 μm，要實現納米級閉環零點位置調節必須采取精確的調節方法，因此本文提出基于等效電壓的變預載閉環零點調節方法，解決了預載和反饋電壓不對稱情況下閉環零點精確調節問題。在加速度計量程內任意恒定加速度輸入情況下，僅需幾步即可將敏感質量調節到機械零點納米級誤差范圍之內。

1 系統組成及工作原理

靜電加速度計系統如圖1所示，由表頭結構、電容檢測電路、DSP控制電路及高壓反饋電路組成。表頭由敏感質量和電極框構成6對差動電容（Y1和Y2連接，X1和X4連接），利用可控的靜電力將敏感質量懸浮在電極框中，實現3個線加速度和3個角加速度的6自由度控制和測量[8]。

圖1 靜電加速度計工作原理圖Fig.1 Schematic diagram of electrostatic accelerometer

1.1 閉環工作原理

以Y軸為例，位移檢測電路輸出端有如下電壓關系：

式中：Udc_0為檢測電路零偏，ΔUdc為表頭差動電容引起的檢測電路輸出，二者構成檢測電路輸出電壓Udc；U0_PID為PID校正零點調節電壓；Uin_PID為PID校正網絡輸入電壓。PID校正作用使Uin_PID近似為零。

假設檢測電路無零偏（Udc_0=0），則敏感質量閉環零點位置位于機械零點，即Δx=0，且未加校正電壓（U0_PID=0）時，當外界加速度引起質量塊位置偏移Δx，與上、下電極板產生差動電容ΔC，經過檢測電路轉化成差動電壓ΔUdc，經過PID控制電路生成控制電壓vb，再經過反饋高壓電路在上、下極板產生±Vb反饋電壓，從而與預載電壓Vr一起生成靜電力Fe拉動敏感質量塊回到初始位置，此時ΔC=0，因此ΔUdc=0。PID中積分器作用維持輸出控制電壓vb產生靜電力與外界力平衡，此時反饋電壓與外界加速度成線性關系。

1.2 系統受力分析

如圖1示，假設閉環零點相對機械零點向下偏移Δx，敏感質量所受合靜電力表示為[9]

式中：εr為相對介電常數，ε0為真空介電常數，A為電極板面積，Vr1、Vr2分別為上、下極板預載電壓，Vb1、Vb2分別為上、下極板反饋電壓，Vs為高頻激勵電壓，且有為標稱間距。

理想情況下有Vr1=Vr2=Vr，Vb1=-Vb2=Vb，則Fe可表示為

式中：FeL表示直流分量，FeH表示交流分量。由式(2)可得到FeL和FeH表達式如下：

實際應用中，激勵頻率遠遠高于加速度計工作帶寬，因此高頻分量FeH可忽略，則靜電力表達式簡化為Fe=FeL。在靜態閉環狀態下，靜電力Fe總是與其他施加到質量塊上的外力平衡，即

因此有

若閉環零點位置向上偏移Δx（如圖2），可將式(7)中Δx換成-Δx。為此將Δx統一用x表示，規定其向上偏移為正，即與靜電力合力方向相同為正，反之為負。

由式(7)得：

圖2 閉環零點向上偏移Fig.2 Upward offset of the close-loop equilibrium position

當x=0時，有：

此時反饋電壓與輸入加速度成線性關系。

由于檢測電路不對稱通常會存在零偏（Udc_0≠0），PID控制作用仍然是使得Uin_PID=0，最終結果是產生反饋電壓，生成靜電力拉動敏感質量塊運動，使得質量塊偏移中心位置位移為x0，產生差動電容ΔC0，進而使得檢測電路產生差動變化電壓ΔUdc與Udc_0相抵消，以保證Uin_PID=0。顯然此時質量塊已經偏離機械零點，即產生閉環零點位置偏移，造成標度因子非線性。閉環零點偏移x0與Udc_0關系可表示為[10]

式中：KΔC→Udc為檢測電路標度因數，C0為標稱電容。由式(1)和式(10)可知，調節U0_PID可以調節x0大小，即調節閉環零點位置，當使得U0_PID=-Udc_0，則敏感質量便調節到機械零點。關鍵是如何精確地獲得U0_PID或x0值。

2 變預載閉環零點調節原理

采用變預載閉環零點調節方法可以有效解決具有機械梁的電容式加速度計閉環零點調節問題，可將其思想借鑒到無梁的靜電加速度計上。但由于靜電加速度計采用的預載和反饋電壓高，電壓不對稱明顯，直接應用該方法會有很大誤差。因此本文在該方法基礎上提出基于等效預載和等效反饋的變預載閉環零點調節方法（簡稱等效變預載閉環零點調節方法），可以有效解決電壓不對稱造成閉環零點調節誤差問題。首先需要簡單介紹下變預載閉環零點調節原理[4]。

當x=0時，由式(9)可得

可見，在外界輸入加速度不變情況下，Vr×Vb為定值，當Vr變化時，Vb也隨之變化。

當x≠0時，由式(8)得ma=f(Vr，Vb，x)，即Vr和Vb與x有關，當x不變時，給定Vr，可唯一確定Vb值。將式(8)做如下變換：

在外界輸入加速度不變情況下，改變一次預載電壓前、后可得到兩組數據（Vr_a, Vb_a）和（Vr_b, Vb_b），代入式(12)中可得式(13)(14)，注意到，若消除反饋對檢測電路的耦合，則變預載過程中不會引起閉環零點位置的變化[10]。

將式(13)減去式(14)，可以得到

由式(15)可知，給定兩組預載電壓和反饋電壓，便可得到以x/d0為未知數的一元二次方程，解方程得到兩個解，絕對值小于1的那個解就是當前閉環零點相對位置，其值為正說明x與靜電力方向相同，反之與靜電力方向相反。將這個解代入到式(13)，得

接下來通過基于LabVIEW編寫的靜電加速度計控制程序，逐漸改變DSP控制算法中PID校正零點調節電壓U0_PID，即可調節敏感質量閉環零點位置，同時相應的Vb值跟隨變化。測量反饋電壓值，當其值為計算得到的反饋電壓值Vb_0時，敏感質量理論上便位于機械零點。注意實際測量的是D/A輸出端的控制電壓vb，因此需將Vb_0除上放大倍數K，求得vb_0。

上述推導過程基于一個重要前提：上、下極板電壓對稱，即Vr1=Vr2=Vr，Vb1=-Vb2=Vb；若不滿足此條件，采用上述方法調節閉環零點存在很大誤差，甚至得到完全錯誤的結果。

圖3給出仿真預載和反饋存在誤差情況下閉環零點調節誤差。假定閉環零點位于機械零點，設定輸入加速度a=1.43 mg（與后面實驗一致），根據表1中表頭參數，由式(11)可計算出常數C。因此在預載電壓Vr_a=55 V時，得到相應反饋電壓Vb_a=C/Vr_a；變預載后Vr_b=95 V，相應反饋電壓Vb_b=C/Vr_b，且有Vr_b＞Vr_a＞Vb_a＞Vb_b，在兩組理想預載和理想反饋電壓基礎上加入誤差電壓ΔV，按照式(15)計算出存在電壓誤差時得到的閉環零點位置誤差，仿真結果如圖3所示。

表1 Y通道參數Tab.1 Parameters for channel Y

由圖3可見，預載電壓和反饋電壓誤差對x/d0結果十分敏感，1 V電壓變化最大會引起閉環零點位置1.75%的變化。若期望調節閉環零點相對偏差至10-4以下，電壓不對稱誤差應小于0.01 V，實測電壓不對稱誤差遠大于此值。因此為解決預載和反饋電壓不對稱誤差對環點調節精度的影響，提出等效變預載閉環零點調節方法。圖3中其他誤差情況仿真結果介于四條曲線之間。

圖3 存在電壓誤差情況下閉環零點調節誤差Fig.3 Different x/d0in the presence of voltage error

3 等效變預載閉環零點調節原理

由圖1可知有如下電壓關系：

式中，Ka、Kb為D/A輸出端的控制電壓vb1、vb2到上、下極板反饋電壓Vb的增益，且有vb1=-vb2=vb。

由于電路參數很難做到完全對稱，因此有預載電壓不等，反饋電壓絕對值不等，即

現定義Vrs為等效預載電壓，其值為上、下極板總電壓代數和的一半；Vbs為等效反饋電壓，其值為實際電壓減去Vrs，即

令上、下極板等效預載電壓相等，即

聯立式(18)(20)(21)得

令V1s、V2s分別為上、下極板做等效變換后實際總電壓，有

將式(22)代入式(23)得

即做等效后不改變實際加載電壓，因此不會影響加力效果，但做等效之后保證了上、下極板等效預載電壓相等，等效反饋電壓互為相反數，滿足式(8)前提條件。

實際應用時，改變預載電壓前、后可得到的兩組電壓(Vr1_a, Vr2_a, vb_a)和(Vr1_b, Vr2_b, vb_b)，Ka、Kb事先通過實驗數據線性擬合得到。按照式(22)換算成兩組等效預載和等效反饋電壓(Vrs_a, Vbs_a)和(Vrs_b, Vbs_b)，代入式(15)求得閉環零點相對位置x/d0，進而按照式(16)可得到常數C。

敏感質量位于機械零點時，由式(11)得

聯立式(22)和式(25)得

化簡得

將Vr1_a和Vr2_a替換上式中Vr1和Vr2求解關于vb的一元二次方程，取其中唯一合理解vb_0，即為在當前預載電壓下將閉環零點調節到機械零點時所需的控制電壓值，接下來調節U0_PID，使得實測vb值等于vb_0，即將閉環零點調節到機械零點。

需要注意的是采用上述方法雖然將敏感質量調節到機械零點，降低了由于閉環零點偏移引起的標度因子非線性，但由于反饋通道不對稱仍然存在一定的非線性，理由如下。聯立式(25)(27)得

式(28)說明，即使閉環零點完全位于機械零點，由于反饋回路的不對稱，加速度a與控制電壓vb仍然存在非線性關系，其二次項系數與Ka、Kb平方差有關。但在保證Ka、Kb相差較小情況下，由反饋通道帶來的標度因子非線性遠小于由閉環零點位置偏移帶來的標度因子非線性。此外，采用上述方法可對敏感質量在電極框中姿態進行精確識別和辨識，從而使敏感質量在電極框中姿態處于理想位置，便于實現閉環控制。因此采用等效法調節閉環零點位置具有實際意義。

4 實驗研究

4.1 實驗設置

利用靜電加速度計原理樣機進行實驗研究，實驗裝置如圖4所示。以Y軸為例，通過基于LabVIEW的實時控制程序，在靜電加速度計正常懸浮狀態下改變預載電壓Vr，通過D/A端口采集控制電壓vb。

通過實驗測量閉環零點調節前后Y軸二次項系數來驗證上述調節方法的有效性。調整測試平臺傾角，通過電子水平儀記錄平臺偏轉角度α，則水平Y方向輸入加速度可表示為a=g×α，同時記錄Y向控制vb值，將vb乘上放大倍數40，得到反饋電壓Vb。做出一系列a和Vb數據點，采用最小二乘法進行二次曲線擬合，得到的二次項系數可反映系統標度因子非線性。

圖4 實驗裝置框示意圖Fig.4 Block diagram of experiment

4.2 實驗結果及討論

等效變預載閉環零點調節過程如下：在靜電加速度計穩定懸浮狀態下，測量Y向變預載前后的兩組預載和控制電壓值如下：(55.6343 V，53.2655 V，0.74335 V)、(94.3216 V，92.2321 V，0.41838 V)。其中已知Ka=-38.538，Kb=-38.843，根據式(22)求得兩組等效預載和等效反饋電壓為(54.563 V，-27.576 V)和(93.343 V，-15.143 V)，將其代入式(15)可求得此時閉環零點位置x/d0=-0.017536。根據式(16)和(27)計算在初始預載電壓下將敏感質量調節到機械零位時所需控制電壓vb_0=0.77533 V，接下來逐漸調整U0_PID直至vb接近vb_0(vb=0.77528 V)，此時U0_PID=-0.0872 V。再次變預載得到兩組控制電壓vb分別為0.77528 V和0.46252 V，結合之前的預載電壓重新計算閉環零點位置，得x/d0=1.4×10-4，此時已非常接近機械零點，完成閉環零點位置調節。若不滿足精度要求，重復上述過程。

若采用直接變預載法調節閉環零點位置，認為上、下極板預載電壓相等。變預載前后得到兩組預載和控制電壓值(55 V，0.74637 V)、(95 V，0.42036 V)，按式(15)計算出x/d0=-0.00828，按照式(16)和(17)計算出vb_0=0.76142 V，接下來逐漸調整U0_PID直至vb接近vb_0(vb=0.76149 V)，此時U0_PID=-0.042 V。再次變預載得到兩組控制電壓(55 V，0.76149 V)、(95V，0.44195 V)，求得此時閉環零點位置為x/d0=7.714×10-4。

為驗證閉環零點調節方法的有效性，分別測量未調節閉環零點、直接變預載調節及等效變預載法調節閉環零點情況下輸入加速度與反饋電壓關系，將得到的輸入加速度a和反饋電壓Vb進行二次曲線擬合，擬合得到的二次項系數K2見表2。

表2 閉環零點調節前后二次項系數K2值Tab.2 Values of K2before and after debugging

由表2擬合結果可知，采用等效變預載法閉環零點調節后，二次項降低5倍左右，驗證了等效變預載閉環零點方法有效；而由于反饋通道誤差，采用直接法調節閉環零點后，系統仍然存在較大標度因子非線性，說明由于反饋通道不對稱采用直接法調節閉環零點位置存在較大誤差，且反饋通道不對稱越大，則調節誤差將會越大。

此外將表頭與檢測電路斷開，實測檢測電路零偏Udc_0=0.07693 V，已知C0=17.96 pF，KΔC→Udc=0.115 V/pF，代入式(10)可得x0/d0=-0.01862。該結果與等效變預載法計算求得的閉環零點調節前位移(-0.01754)相符，而直接法求得x/d0=-0.008280，與實際情況相差較大，因此進一步驗證了等效變預載閉環零點調節方法的正確性。

值得注意的是，由于反饋通道不對稱使得加速度計仍然存在一定的標度因子非線性，造成K2不完全為零。因此若要進一步降低系統標度因子非線性，需要提高反饋通道對稱性。

5 總 結

采用本文提出的等效變預載閉環零點調節方法，能夠在預載和反饋電壓不對稱情況下實現閉環零點精確調節，從而有效地改善靜電加速度計的標度因子非線性。該方法同樣適用于有梁的MEMS電容式加速度計。此外降低反饋電壓噪聲、提高預載和反饋電壓測量精度可進一步提高閉環零點調節精度。

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Closed-loop equilibrium position adjustment of electrostatic accelerometer based on equivalent varying preload

LIU Shuang, LIU Yun-feng, HAN Feng-tian, XU Zhe, DONG Jing-xin
(Key Laboratory for High-precision Inertial Instrument and System Technology of the Ministry of Education, Department of Precision Instrument, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

The closed-loop equilibrium position(CLEP) has an important impact on the performance of electrostatic accelerometer(EA), which is based on differential-capacitance position sensing. The deviation of CLEP from mechanical zero point would result in scale-factor nonlinearity. In order to adjust the CLEP accurately, a novel method based on equivalent varying preload is proposed to accurately adjust the CLEP in the presence of asymmetry in preload and feedback voltages. An experiment is carried out with the prototype EA to verify the above method. The results show that the quadratic term coefficient, which stands for the nonlinearity of the scale factor, decreases to -3.3×10-8from -1.7×10-7after adjusting CLEP, verifying the effectiveness of the above method.

nonlinearity; varying preload; closed-loop equilibrium position; electrostatic accelerometer

U666.1

A

1005-6734(2015)04-0550-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.04.024

2015-04-24；

2015-07-27

國家自然科學基金（91436107）

劉爽（1985—），男，博士研究生，從事微重力測量關鍵技術研究。E-mail：s-liu08@mails.tsinghua.edu.cn

聯 系 人：董景新（1948—），男，教授，博士生導師。E-mail：dongjx@mail.tsinghua.edu.cn