一類非線性脈沖拋物型系統在Robin邊值條件下的振動性

劉俊紅, 鄭素文, 李立峰, 金 琦

(裝甲兵工程學院基礎部，北京 100072)

一類非線性脈沖拋物型系統在Robin邊值條件下的振動性

劉俊紅, 鄭素文, 李立峰, 金 琦

(裝甲兵工程學院基礎部，北京 100072)

討論了一類含脈沖的非線性拋物型方程組非零解的振動性，利用Green定理及Jensen不等式，得出了該系統在Robin邊界條件下非零解振動的若干準則。

非線性；脈沖；拋物型系統；振動性

近十幾年來，非線性脈沖控制偏微分系統問題受到了學者的廣泛關注，其中振動性也隨之成為研究的熱點之一。傅希林等[1]、Deng等[2]分別研究了相關脈沖拋物系統在2類邊界條件下解的振動準則。另外，Drumi等[3]研究了一類脈沖拋物方程解的振動準則，文獻[4-5]作者研究了脈沖時滯拋物方程解的振動條件，得出了相關結論。

本文在文獻[1-2]的基礎上，開展2方面的研究工作:1) 將系統進行改進，并對其非線性項放寬了條件，改進的系統為

(1)

2) 研究該系統在Robin邊值條件

(2)

1 基本假設

對于上述邊值問題，本文作如下假設。

I(tk,x,-u(tk,x))=-I(tk,x,u(tk,x)),k=1,2,…;且∫ΩI(tk,x,u(tk,x))dx≤αk∫Ωu(tk,x)dx,k=1,2,…,其中αk>0,為常數。

定義1: 若下列條件成立,則稱u(t,x)為邊值問題(1)、(2)的解。

1)u(t,x)關于t一階可微，關于x二階可微，t≠tk,k∈I∞，I∞={1,2,…}；

2)u(t,x)在t=tk(k∈I∞)處為關于t的第1類間斷點的光滑連續函數，且H3成立；

3)u(t,x)在區域G內滿足式(1)、(2)。

定義2: 設u(t,x)為邊值問題(1)、(2)的1個非零解，若存在T>0,使得當(t,x)∈[T,+∞)×Ω時，u(t,x)恒正或恒負，則稱u(t,x)在區域G內是非振動的；否則，是振動的。

2 主要結論

引理1[6]: 假設λ1為特征值問題

(3)

的最小特征值，Φ1(x)為對應的特征函數，且β(x)∈C(?Ω,(0,+∞)),則λ1>0,Φ1(x)>0。令

F1(t)=∫?Ωφ1(t,s)Φ1(s)ds,

定理1: 假設條件H1,…,H4成立，若脈沖微分不等式

(4)

和

(5)

無最終正解，則邊值問題(1)、(2)的所有非零解在區域G內是振動的。

證明： 應用反證法進行證明。設u(t,x)為邊值問題(1)、(2)的1個非零解，且存在T>0,使得當(t,x)∈[T,+∞)×Ω時，u(t,x)不變號，不妨設u(t,x)>0。

當t≠tk時，在式(1)兩端乘以式(3)的特征函數Φ1(x)，并對x在Ω上進行積分，則

(6)

利用Green定理，結合式(2)、(3)，有

∫ΩΦ1(x)Δu(t,x)dx=

∫?Ωφ1(t,s)Φ1(s)ds-λ1∫ΩΦ1(x)u(t,x)dx=

F1(t)-λ1∫ΩΦ1(x)u(t,x)dx,t≠tk,t≥T。

(7)

利用Jensen不等式，結合假設H2，有

t≠tk,t≥T。

結合假設H4，進一步有

(8)

結合式(6)-(8)，有

∫ΩΦ1(x)u(t,x)dx-a0(t)∫ΩΦ1(x)dx×

(9)

令

(10)

可得

t≠tk,t≥T。

(11)

Φ1(x)dx≤αk∫Ωu(tk,x)Φ1(x)dx,k=1,2,…。

于是有

(12)

由式(11)、(12)可知：V1(t)是脈沖微分不等式(4)的1個最終正解，這與定理1的條件相矛盾。所以，u(t,x)在區域G內是振動的。

是式(5)的一個最終正解，這與定理1的條件相矛盾。所以，u(t,x)在區域G內是振動的。

證畢。

定理2: 假設H1,…,H4成立，且

(13)

若對于充分大的T>0,有

(14)

和

(15)

成立，則邊值問題(1)、(2)的所有非零解在區域G內是振動的。

證明： 由定理1可知,只需證明脈沖微分不等式(4)、(5)無最終正解即可。

令V1(t)為脈沖微分不等式(4)的一個最終正解，則存在T>0,使得當t≥T時，V1(t)>0,且f(V1(t))>0。于是,

由引理2可得

L1(s)ds,t≥T。

(16)

進一步可得

L1(s)ds,t≥T。

(17)

令t→+∞,并考慮式(14)，可得

(18)

利用式(15)也可以推出脈沖微分不等式(5)無最終正解。

證畢。

[1] 傅希林, 閆寶強, 劉衍勝, 脈沖微分系統引論[M].北京:科學出版社,2005,273-278.

[2] Deng L H, Tan Y M, Yu Y H.Osillation Criteria of Solutions for a Class of Impulsive Parabolic Differential Equation [J]. India J Pure Appl Math,2002, 33(7):1147-1153.

[3] Drumi B， Emil M.Oscillation of the Solutions of Impulsive Parabolic Equations[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics,1996,69(2):207-214.

[4] Fu X L, LieJune S. Oscillation Criteria for Impulsive Parabolic Boundary Value Problem with Delay[J]. Applied Mathematics and Computation,2004,153(2):587-599.

[5] Han M A, Li W N. Oscillation of Solutions for Certain Impulsive Vector Parabolic Differential Equations with Delays[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications,2007,326(1):363-371.

[6] 葉其孝,李正元.反應擴散方程引論[M].北京:科學出版社,1990:194-195.

[7] Pirapikaran R. Diff Equs Applied by R Aftabizabeh [M]. Ohio State: Ohio University Press, 1989: 296-308.

(責任編輯: 王生鳳)

Oscillation Criteria for a Class of Nonlinear Impulsive Parabolic System under Robin Boundary Condition

LIU Jun-hong, ZHENG Su-wen, LI Li-feng, JIN Qi

(Department of Fundamental Courses, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China)

In this paper, the authors discuss oscillation of non-zero solutions for a class of nonlinear impulsive parabolic system. Several oscillation criteria are obtained under Robin boundary condition by using the Green formula and Jensen inequality.

nonlinear; impulse; parabolic system; oscillation

1672-1497(2015)03-0108-03

2014-12-23

劉俊紅(1976-)，男，講師，博士。

O175.26

A

10.3969/j.issn.1672-1497.2015.03.022