談大學物理微積分思想和方法

王娜

大學物理是高等學校面向廣大理工科生開設的一門公共基礎課程，區別于高中物理，它要求學生更多地運用微積分思想和方法處理物理問題，從而體會物理思想以提高解決物理問題的能力。對于中學階段主要應用代數運算的大一學生而言，微積分思想和方法是他們在大學物理學習中面對的最困難的問題。縱觀整個教學內容，微積分思想和方法在力學、電磁學和熱學部分都有應用，但是總結起來可以分為兩類，一類是速度為代表的微分思想，另一類是功為代表的積分思想。力學部分是學生接觸微積分思想和方法的第一站，也是最具有代表性的部分。本文通過描述速度、加速度、功和萬有引力勢場的定義以及計算中微觀量的物理意義，給出大學物理中微積分思想和方法應用的特點。

一、速度和加速度

1.歷史和定義。17世紀，工業和科技的發展向數學提出了許多問題，促使了微積分學科的誕生。這些問題被稱為“四類問題”，其中第一類就是表征運動物體的瞬時速度。在變速直線運動中，路程上任一點的速度定義為該點附近所取的無限短路程與其對應的無限短時間的比例。若無限短路程用ds表示，對應的無限短時間用dt表示，則速度v=，其中微小量ds和dt被稱為微分量，這種方法被稱為微積分方法。這個概念分別由牛頓和萊布尼茨創立，它的第一個應用就是給出速度的概念。

2.微分量的物理意義。定義中無限短路程近似為無限小直線段，無限短時間內質點的運動近似為勻速直線運動。例如，直線運動（假設沿x軸），速度表示為v=。推廣到具有普遍意義的三維空間，情況又怎樣呢？依據運動的疊加原理不難想象，在直角坐標系中dt時間內物體的無限短路程ds（直線段）可以看成dt時間內沿x方向勻速移動dx距離、沿y方向勻速移動dy距離、沿z方向勻速移動dz距離的合效果，即ds是邊長為dx、dy、dz的平行六面體的體對角線。我們用矢量來表示這個合效果，無線短路程ds對應的矢量用d表示，即（d=dx+dy+dz（dx、dy、dz是d三個正交分量的數值），dt時間內每一維均對應勻速直線運動，即速度的三個正交分量的數值分別為vx=，vy=，vz=.也可以寫成矢量式.

3.加速度。加速度是為了描述速度的變化而引入的新概念，類比速度的概念，加速度被定義為速度對時間的變化率。比如直線運動，若無限短dt時間內速度增量為dv，則加速度a=，即dt時間內質點的運動近似為勻變速直線運動（加速度不變）。類比速度，很容易推導出直角坐標系下的加速度公式。在速度空間中dt時間內物體的微小速度增量dv（直線段）可以看成dt時間內沿x方向增量dvx、沿y方向增量dvy、沿z方向增量dvz的合效果，即dv是邊長為dvx、dvy、dvz的平行六面體的體對角線。dt時間內每一維均對應勻變速直線運動，即加速度的三個正交分量的數值分別為：ax=，ay=，az=.也可以寫成矢量式.

二、功

1.歷史和定義。若給物體加上一個力，使得物體沿著力的方向上移動的時候，我們說力對物體做了功。如物體在力F的方向上移動的距離為S，這個力對物體所做的功就是W=FS，若力的方向與物體位移方向不一致的時候，力對物體所做的功等于力與移動距離在力的方向上的分量的乘積或者等于移動距離與力在移動距離上的分量的乘積，可以用數學矢量式表示上述定義，即W=·.上述結論適用于恒力作用下的直線運動，這也是較為簡單的一種運動形式，但是物體運動形式往往要復雜得多。

2.微分量的物理意義。當力不再是恒力，面對的又是復雜的曲線運動時，必須將路程分成許許多多個無限短的路程ds（直線段），質點在每一個ds上所受的力可以視為恒力。因此，每一個ds上質點的運動近似為恒力作用下的直線運動。任一ds上，力F所做的無限小的功，又稱元功可以表示為：dw=·d=（x+y+z）·（dx+dy+dz）=Fxdx+Fydy+Fzdz.該表達式與運動的疊加原理也是對應的。功是個過程量，整個曲線運動過程，變力所作的功等于所有元功之和：W=∫·d.

三、萬有引力勢場

1.歷史和定義。萬有引力=-G，其中M為施力物體的質量，m為受力物體的質量。萬有引力還可以表示為=m，其中=-Gr。易見，無論m存在，總是存在的，它作用于每個可能放在該處的任一質量上。是空間位置的函數，我們稱之為萬有引力場，也可以說質量為M的物體產生了萬有引力場。

2.微分量的物理意義。我們知道萬有引力是保守力，而且保守力所作的功等于引力勢能（U）增量的負值。例如，直線運動保守力所作的元功根據上述關系可以表示為：dW=Fdx=-dU.考慮元位移上力為恒力，即F=-，這就是由勢能函數求力的思路。對于三維情況，不難給出：引入算符.

四、小結

從上文不難看出微積分思想和方法在大學物理上的應用特點，即將復雜的物理問題進行時間、空間范圍上的無限次分割，在無限小的局部范圍內近似為最基本、最簡單、可研究的物理問題，比如直線運動與曲線運動、恒力做功與變力做功等，然后將各個局部結果累加起來，給出問題結果。這種分析和解決問題的思路對電磁學和熱學部分同樣適用。

（作者單位：安徽科技學院數理與信息工程學院）

□責任編輯：鄧 鈺